1.1.1探索勾股定理　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

1.1.1探索勾股定理 Part 01 复习回顾 2.直角三角形两个锐角有什么样的关系？ 解：有一个角是90°的三角形是直角三角形. 1.什么是直角三角形？ 3.正方形的面积？ 解：直角三角形两锐角互余. 解：正方形的面积=边长×边长 直角三角形中，任意两边确定了，另一条边也就随之确定，三边之间存在这一种特定的数量关系。 1.掌握直角三角形三边平方之间的关系：勾股定理，并会用字母表示三边的关系。 2.会采用数格子的方法探索勾股定理。 3.会运用勾股定理解决简单的实际问题。 学习目标 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系． 毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年~约前500（490）年），古希腊数学家、哲学家天文学家。 情景导入 A B C 1.正方形A、B、C的面积有什么关系？ 5 1.借助手中的等腰直角三角板，测量它的三边，看看三边的平方之间有怎样的关系？ 2.课本第2页图1-2中中直角三角形三边的平方分别是多少？他们满足你所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？ 输入标题 （每个小方格代表1单位面积） 观察图2-1和图2-2，完成下方表格： A的面积 B的面积 C的面积 图2-1 图2-2 a b c b a c 根据表中数据，等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系? a2+b2=c2 9 9 18 4 4 8 a2 b2 c2 探索新知 1 知识点 勾股定理 知识点 （图中每个小方格代表1单位面积） (3)对于下图中的直角三角形是否还满足上述的数量关系？ 怎样计算正方形C的面积呢？ 9 16 25 a2+b2=c2 SA= = SB= = SC= = 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探索新知 A B C a c b SA+SB=SC 观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ a2+b2=c2 10 注意：2、直角三角形才能使用勾股定理 符号语言： 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. b c 注意：1、在应用时式子的字母要根据实际的三角形各边的字母变化而变化。 勾股定理: （易错点） (毕达哥拉斯定理) 勾 股 弦 如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜边为c，那么 在Rt△ABC中 ，∠C=90°， A B C 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB, AC=3, BC=4. 求CD的长. 利用勾股定理进行计算 二 典例精析 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 方法总结 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16； 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 例2 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12， 求△ABC的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 方法总结 勾股数 已知在Rt△ABC中,∠C=90° （1）若a=6,b=8,则 c = ； (2) 若a=8,c=17,则 b = ； (3) 若c=13,b=5,则 a = ； （4） 若c=25,b=7,则 a = . 10 15 12 24 解析：因为AE＝BE， 所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2， 所以S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2， 所以阴影部分的面积为 AB2＝ . 例3 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________． 方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 探索新知 【例2】 2 知识点 利用勾股定理求面积 如图,以直角三角形的三边为直径作半圆，它们的面积分别记为1,2,3,则它们的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 1 2 3 结论：以直角三角形两直角边为直径的半圆的面积之和，等于以斜边为直径的半圆的面积. B 19 中考热点 勾股树 1.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方 形，正方形 ， ， ， 的边长分别是3，4，1，2，则 最大正方形 的面积为____. 30 20 2.(2023·多维原创)如图，利用直角三角形的三边作形状相同的图形， 则满足 的是__________（填序号）. ①作正方形 ②作等边三角形 ③作半圆 ④作等腰直角三角形 ①②③④ 21 勾股定理 内容 注 意 直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 在直角三角形中 看清哪个是直角 已知两边，没有指明是直角边还是斜边时，一定要分类讨论 22 $$