2025年九年级中考数学复习 图形的性质 0.8 圆的基本性质及有关计算

图形的性质 0.8 圆的基本性质及有关计算 考点1: 圆的基本概念及性质 圆： ①动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆，其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径. ②静态：到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆 同心圆：圆心相同、半径不等的圆叫作同心圆 等圆：能够重合的两个圆叫作等圆(半径相等) 半圆：圆分成两条相等的弧，每一条弧都叫作半圆 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 (如图中弦CB) 直径：经过圆心的弦叫做直径(如图中线段DE为直径d) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧(如图中劣弧)，大于半圆的弧叫做优弧(如图中优弧) 圆周角：在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角(如图中∠ACB) 圆心角：顶点在圆心并且两边都与圆相交的角叫做圆心角(如图中∠AOB) 弦心距：圆心到弦的垂直距离 · 不在同一直线上的三点确定一个圆 在运用圆周角定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”的条件 一条弦对应两条弧,对应两个圆周角且这两个圆周角互补 一条弧只一个圆心角,但却对应着无数个圆周角 考点2: 与圆有关的性质 (1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心 (2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 考点3: 垂径定理及其推论 (1)定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 · 根据圆的对称性，在以下5个结论中：①＝；②＝ ；③AE＝BE(AB不是直径)； ④CD⊥AB；⑤CD是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三” 练习1. 1. 下列对圆的说法中，错误的是(　 　) A．半圆是弧 B．半径相等的圆是等圆 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 2. 下列命题中正确的有(　 　) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　 　) A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm 4. 往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为(　 　) A. 8 cm B. 10 cm C. 16 cm D. 20 cm 5. 如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，OP＝，则⊙O的半径为(　 　) A．5 B．3 C．4 D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，以M(2，3)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ． 7. 如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋与圆O相交于A、B两点，且点A在x轴上，求弦AB的长． 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6． (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值． 9. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点． (1)尺规作图：过点D作AB的垂线，交半圆AB于点E，交线段直径AB于点F(保留作图痕迹，不写做法)； (2)点P是弧AE上一点，连接BP，CP，AC＝6， BF＝2． ①求tan∠BPC的值； ②若CP为∠ACB的角平分线，求CP的长． 考点4: 弦、弧、圆心角之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 · 如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则＝，AB＝CD (2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 · 如图，在⊙O中，若＝，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧与劣弧分别相等 · 如图，在⊙O中，若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，＝ 考点5: 圆周角定理及其推论 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)直径(或半圆)所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径 常见 图形 图① 图② 图③ 结论 ∠APB＝∠AOB 应用：如图①，已知AP是⊙O的直径，点B是圆上一点(不与A，P重合)，连接AB，则有∠ABP＝90° 练习2. 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝(　 　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 2. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为(　 　) A． B．2 C．1 D．2 3. 如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，∠D＝54°，则∠C的度数为(　 　)      A．36° B．54° C．72° D．80° 4. 如图，在⊙O中，直径DE⊥弦AB，C是圆上一点，若∠ACD＝26°，则∠AOB的度数为(　 　) A．104° B．103° C．102° D．52° 5. 如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为(　 　) A.42° B.41°20' C.41° D.40°20' 6. 如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝ °．    7. 在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 °． 8. 半径长为n的⊙O中，有一条弦AB的长为n，则弦AB所对的圆周角度数等于 ． 9. 在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB＝4cm，∠BOD＝90°，则AB与CD之间的距离是 cm． 10. 已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm ，则AB与CD之间的距离为 cm． 11. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 ． 12. 如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE． (1)求证：∠A＝∠E； (2)若BC＝3，BE＝5，求CE的长． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. 图① 图② 图③ (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度； (3)如图②，连接DO并延长，交于点G，若∠ADB＝2∠BDG，求证：AB∥DG； (4)如图③，BD交AC于点H，且AH＝OH，求sin ∠ACD的值. 考点6: 圆的内接四边形 概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形 性质 (1)圆内接四边形的对角互补，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝∠BAD 练习3. 1. 如图，已知四边形ABCD，过点A，B，C的圆交AD于点E，连接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，则∠DCE的度数为(　 　) A. 10° B. 30° C. 50° D. 60° 2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　 　) A. 50° B. 100° C. 130° D. 150° 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为(　 　) A.5　　　　 B. 3　　　 C. 2　　　 D. ＋2 4. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AC到E，且有∠EBC＝∠CAB. (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若BC＝，AD＝5，求圆的直径AC及切线BE的长 考点7: 与圆有关的计算 1. 弧长与扇形面积 圆周长 C＝2πr r为圆(扇形)的半径； n°为弧所对的圆心角的度数； l是扇形的弧长 扇形弧长 l＝ 圆面积 S＝πr2 扇形面积 S扇形＝＝lr 2. 圆锥的相关计算 相关 计算 (1)圆锥的侧面展开图是扇形； (2)圆锥的母线长l为扇形的半径； (3)圆锥底面圆的周长2πr为扇形的弧长； (4)圆锥的高为h，则r2＋h2＝l2； (5)圆锥的底面圆周长：C＝2πr； (6)圆锥的底面圆面积：S＝πr2； (7)圆锥的侧面积：S＝πrl r为底面圆半径 l为圆锥的母线长 3. 正多边形与圆 名称 公式 图例 中心角 正n边形的每个中心角θ为 R：半径 r：边心距 a：边长 θ：中心角 边心距 正n边形的边心距r＝ 周长 正n边形的周长l＝na 面积 正n边形的面积S＝rl(l为正n边形的周长) 练习4. 1. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出π≈3．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为(　 　) A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15° 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为(　 　)cm．    A．π B．π C．π D．2π 3. 如图，直角三角板30°角的顶点A落在直径为6的⊙O上，两边与⊙O分别交于B、C两点，则劣弧BC的弧长为(　 　) A．π B．2π C．π D． 3π 4. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是(　 　) A．π B．π C．2π D．π 5. 如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1 P3 P7，四边形 P3 P4 P6 P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(　 　)   A．a＜b B．a＝b C．a＞b D. a，b大小无法比较 6. 如图，圆锥的母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是 °． 7. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ． 8. 如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m． 9. 如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 ． 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为 ． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－2，0)，B(0，2)，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到(点A平移后的对应点为C)． (1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； (2)在图中画出，并连接AC，BD； (3)求由，BD，DC，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．(结果保留π) 12. 综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）?用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π) 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$