第04讲 反比例函数45道压轴题型专项训练（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第04讲 反比例函数道压轴题型专项训练（9大题型） 压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴 压轴题型二 反比例函数的k值意义 压轴题型三 反比例函数的面积问题 压轴题型四 反比例函数的多结论问题 压轴题型五 反比例函数的实际应用 压轴题型六 反比例函数与几何综合 压轴题型七 反比例函数与一次函数综合 压轴题型八 反比例函数中的存在性问题 压轴题型九 反比例函数的新定义问题 【压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴】 1．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 2．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 4．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 5．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.    (1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围. 【压轴题型二 反比例函数的k值意义】 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 7．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为 ． 9．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 10．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【压轴题型三 反比例函数的面积问题】 11．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 12．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 13．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集_____； (3)若点为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，直接写出点的坐标_____． 【压轴题型四 反比例函数的多结论问题】 16．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，直线与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，于D，M、N分别是上的一动点，且．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 20．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点．则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④当时，点的坐标为 其中所有正确结论的序号是 ． 【压轴题型五 反比例函数的实际应用】 21．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 22．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 23．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 24．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 25．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【压轴题型六 反比例函数与几何综合】 26．已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 27．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 29．如图，A，B两点在反比例函数（）的图象上，其中，轴于点C，轴于点D． （1）若，，当时，k的值为 ； （2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且．若，，则 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为8，求点D的坐标； (3)若，求k的值． 【压轴题型七 反比例函数与一次函数综合】 31．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在函数的图象上，若，直接写出点的横坐标的取值范围． 33．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 34．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 35．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【压轴题型八 反比例函数中的存在性问题】 36．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 37．如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 39．如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【压轴题型九 反比例函数的新定义问题】 41．对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”，如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”有且只有个，则的取值范围是 ． 42．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 43．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 44．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． (2)①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． (3)在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 45．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 反比例函数道压轴题型专项训练（9大题型） 压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴 压轴题型二 反比例函数的k值意义 压轴题型三 反比例函数的面积问题 压轴题型四 反比例函数的多结论问题 压轴题型五 反比例函数的实际应用 压轴题型六 反比例函数与几何综合 压轴题型七 反比例函数与一次函数综合 压轴题型八 反比例函数中的存在性问题 压轴题型九 反比例函数的新定义问题 【压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴】 1．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 2．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小， ， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时， ∵y1＞y2， 当在第一象限时， ∴，解得； 当在第三象限时， ∴，解得； 综上所述：或； ②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时， ∵y1＞y2， ∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解， 因此，本题的取值范围为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，由反比例函数的性质得 ，可求出的取值范围，即可得出答案，利用一元二次方程根的判别式及反比例函数图象的性质求出整数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得且， ∵关于的反比例函数图象上有两点，，，， ∴， ∴， ∴且， ∴整数可以为，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入，即可求解， （2）由在每个象限内的增减性，与，得出，在不同的象限，得到 ，由，得到，即可求解， 本题考查了，求反比例函数解析式，根据反比例函数的增减性求参数，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】（1）解：将点代入，得：，解得：， ∴，， 故答案为：， （2）解：，，， ∵反比例函数，， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵，， ∴，在不同的象限， ∴，，即： ， ∵， ∴，即：， ∴当时，， 故答案为：． 5．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.    (1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围. 【答案】(1)图见解析，； (2)当时，； (3)或. 【分析】（1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值； （2）直接根据反比例函数的增减性即可求解； （3）画出一次函数的图象，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：如图；    将代入中，得，将代入中，得； （2）解：当时，，当时，， ∴当时，； （3）解：的图象与直线交于点，，作图如下：    由图可得：当时自变量的取值范围：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 【压轴题型二 反比例函数的k值意义】 6．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：C． 7．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 【答案】 【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴取，则；取，则，解得：． ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点， ∴矩形的面积为， 当矩形的面积是的面积的2倍时，， 解得：（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解． 8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据题意求得，由，即可得出，解方程求得的值，从而求得． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数与正比例函数的中心对称性，正确表示出的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，的面积为， ∴、关于原点对称， ∴， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 10．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数k的几何意义，设P点坐标为，用t表示E、F的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得k的方程． 【详解】解：设P点坐标为， ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【压轴题型三 反比例函数的面积问题】 11．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 12．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E， 设，， ∴； ∵是的中点， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴ ， 故选：C． 13．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先由一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点求得点和点的坐标，从而可得的值，再将一次函数与反比例函数的解析式联立，由判别式得到与的数量关系式及点和点的坐标，然后用含和的式子表示出四边形的面积，将含的部分配方，即可得出答案． 【详解】解：的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， 为中点， 在的图象上， ， 是唯一公共点， 由，得：， ， ， ， ，， ， 当，即时，取到最小值48． 四边形的最小面积是48． 故答案为：48． 14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的解析式； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式 （3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可． 【详解】（1）解：的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 过，， ， 解得， 直线解析式为：； （3）解：设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集_____； (3)若点为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，直接写出点的坐标_____． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，得到双曲线，根据点B的纵坐标为，即，利用待定系数法计算解析式即可． （2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． （3）根据直线与y轴的交点为C，且点，得到，结合，设点，则，根据面积关系列式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴双曲线， ∵点B的纵坐标为， ∴即， ∵一次函数经过、两点， ∴， 解得， 故解析式为；． （2）解：∵、，且， 故不等式的解集为或． 故答案为：或． （3）解：连接， ∵直线与y轴的交点为C， ∴点， ∴， ∴， 设点，则， ∴． ∵， ∴． 解得或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的综合，三角形面积的表示法，交点坐标的意义，交点横坐标确定解析式型不等式的解集，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【压轴题型四 反比例函数的多结论问题】 16．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 17．如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】解：直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， 与关于轴对称，设交x轴于点D， ， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， 当时，，故②正确； 与关于轴对称，， ， 点在直线上， ， 解得，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 18．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 19．如图，直线与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，于D，M、N分别是上的一动点，且．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】首先求得、的坐标，过点D作轴，过点A作于点P，过点C作于点Q，证明，即可求得的坐标，从而利用待定系数法求得的值；于点，作于点，易证，则②可以得证，然后利用待定系数即可证得③是正确的；利用，的特殊位置说明④的正确性． 【详解】解：在中，令， 解得：，则的坐标是； 令，解得：，则的坐标是， 是以为底的等腰直角三角形，, 点是中点，， 则的坐标是： ， 过点D作轴，过点A作于点P，过点C作于点Q， ， ， ， 的横坐标是，则纵坐标是， 则的坐标是：． 把代入得：． 故①正确； 作于点，作于点， 则，且， ， ， 在和中，， ． ，， 又等腰直角中，是中线， ， ，故②正确； 在直角中，， 设，， 则， ， 则③正确； 当在点时，正好在点，不会出现平分的情况，故④一定是错误的； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确求得的坐标是关键． 20．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点．则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④当时，点的坐标为 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可． 【详解】解：如图， ①∵，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据双曲线的轴对称性，可知当点D落在直线与双曲线的交点时，最短，最短为2，故③错误； ④∵，，，，为矩形， ∴， ∴点D的纵坐标为1，代入得， ∴点的坐标为， 故④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【压轴题型五 反比例函数的实际应用】 21．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 22．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． (1)问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． (2)探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 【答案】(1)①；② (2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出； ②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可； （2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可． 【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵点C为， ∴， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，， ∴点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设双曲线接解析式为， 把，代入得 ∴ 解得，， ∴点A在双曲线上； （2）由（1）可求：，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设和交于点，过作轴于，过作轴于，则， 若能恰好通过，则，在双曲线上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 把代入得， 解得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴此船最高载货2.8米 ∵， ∴此船不能通过， ∴船身下降的高度， ∵， ∴， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 23．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 24．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 25．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 【压轴题型六 反比例函数与几何综合】 26．已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 27．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，作轴，垂足为E，轴，垂足为F，设的横坐标为，则，，由所对直角边等于斜边一半得出，由勾股定理求出，得出，求出，得出，，再求出，得，，根据，在上，得，解得（舍去），，得出k值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为E，轴，垂足为F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 设的横坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∵，在上， ∴，解得（舍去），， ∴． 故选：D． 28．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 29．如图，A，B两点在反比例函数（）的图象上，其中，轴于点C，轴于点D． （1）若，，当时，k的值为 ； （2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且．若，，则 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求函数解析式，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先表示出，，由，根据两点间距离公式建立方程求解即可； （2）由求出反比例函数解析式为，则，由，根据两点间距离公式得到，再化简求解即可． 【详解】解：（1）∵A，B两点在函数的图象上，轴，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴； （2）由题意得，， ∴将代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵点B的横坐标为b，且点在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：；3． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为8，求点D的坐标； (3)若，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用中心对称的性质可得，则可得，表示出坐标，再代入反比例函数解方程即可； （3）列方程得到，表示出点的坐标，根据即可得到点的坐标，代入反比例函数即可解答． 【详解】（1）解：把代入，可得， ，即， ， ， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E， 点关于原点中心对称， ， , 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得， ， 点都在双曲线上， ， 解得， ； （3）解：列方程， 整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入直线解析式可得， ， ， ， ， ， 解得（舍去）， ， 把代入反比例函数可得， 【压轴题型七 反比例函数与一次函数综合】 31．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在函数的图象上，若，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)；； (2)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）把代入得，得到，求得反比例函数的解析式为；把代入得到，求得，设一次函数的表达式为，解方程组得到一次函数的表达式为； （2）分两种情况讨论：当点在第一象限时，当点在第三象限时，在第一象限再分两种情形：点在点的下方或上方分别求解，再根据对称性解决问题． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得，， ， 设一次函数的表达式为， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：当点在第一象限时， 点在函数的图象上，， 点在点的下方， 当的面积的面积时，， 点的横坐标的取值范围为； 当点在第三象限时，点关于点的对称点为， 当点为时，， 时，， 当点在点的上方时，设， 当的面积的面积时， ,,, 利用割补法，可得的面积为， ， 利用割补法，可得的面积为， 则可得方程， 解得（不符合题意的根舍去）， 经检验是原方程的解， 满足条件的的值为， 根据反比例函数的对称性，时也符合题意， 综上所述：或或或． 33．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式． （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积． （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴ （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：延长交的延长线于点，如图 ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点 ∵点是的中点 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的综合应用，涉及反比例函数的性质与应用，一次函数的性质与应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理，角平分线的性质，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 34．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 35．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或； （3）解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求一次函数解析式，求反比例函数解析式，根据交点确定不等式的解集，一次函数图象平移问题，三角形的面积公式，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 【压轴题型八 反比例函数中的存在性问题】 36．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 37．如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为； (2)； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）将点A的坐标为代入直线x中，可求得点A坐标，即可求得k，解方程组，即可求出点B的坐标； （2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点的坐标为，过点B作轴于点E，通过，建立方程求解即可； ②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，设点P2的坐标为，利用，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标为代入直线x中， 得， 解得：， ， ， 反比例函数解析式为， 联立， 解得：或， 点B的坐标为； （2）解：如图1，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G， 则即为的最小值， ， ， ； （3）解：存在．理由如下： ①当点P在x轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点B作轴于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； ②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2， 设点的坐标为， ， ， ， ， 即， ， 点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，学会利用对称解决最短问题，同时学会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)所有符合条件的点的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于， 对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解并经检验得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 39．如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点G为x轴坐标轴上一点，先求出点B的纵坐标，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再证明，得到，据此可得答案； （3）设出点C坐标，利用勾股定理求出，再分， 三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 【压轴题型九 反比例函数的新定义问题】 41．对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”，如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”有且只有个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由直线可得是等腰直角三角形，得到，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，，得是等腰直角三角形，可得，即得，先找图形到直线的“距点”只有个时，即只有个解，即或只有个解，分两种情况解得当，时，点为图形到直线的“距点”， 作出当，时的图象，通过图象发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据临界点即可求解． 【详解】解：令直线与轴、轴分别交于点、点， 对于直线，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 先找图形到直线的“距点”只有个时，即只有个解， 则或只有个解， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 则， 解得， 此时，， 解得， 即点为图形到直线的“距点”； 当时，即， 则， 解得， 此时，， 解得， 即点为图形到直线的“距点”； 作出当，时的图象如下： 通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为， ∴当图形到直线的“距点”只有个，当图形到直线的“距点”只有个， ∴当图形到直线的“距点”只有个时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解题的关键． 42．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可． 【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点， 对于直线：，当时，，当时，， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，则， 设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，， 则是等腰直角三角形， ∴，则， 即：， 先找图形到直线的“距点”只有1个时， 即：只有1个解， 亦即：或只有1个解， ∵，则， ∴， 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 作出当，时的草图，如下： 通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为， ∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个， 则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键． 43．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 44．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． (2)①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． (3)在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 【答案】(1)不是；4 (2)18； (3)或或 【分析】（1）分计算矩形的周长和面积，然后结合“美好点”的定义，即可判断点是否为“美好点”；分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得，然后求解即可； （2）①分计算矩形的周长和面积，结合“美好点”的定义可得求解即可确定点，再将其代入双曲线解析式，求解即可；②首先确定点，过点作轴，垂足为，然后由求解即可； （3）设，分为对角线、为对角线和为对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 又∵， ∴点不是“美好点”； 如下图， ∵， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 若点是“美好点”， 则有，解得， ∴． 故答案为：不是；4； （2）解：①∵点为“美好点”， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴矩形的周长，矩形的面积， 则有，解得， ∴， ∵点在双曲线的图像上， ∴，解得， 故答案为：18； ②由①可知，该双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， 则有，即， 如下图，过点作轴，垂足为， 则，，，， ∴， ∴ ； （3）解：如下图， 设， ∵，，， 若以为对角线， 则有，， 解得：，， ∴； 若以为对角线， 则有，， 解得，， ∴； 若以为对角线， 则有，， 解得，， ∴． 综上所述，G点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”、坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 45．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 57 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $$