专题05 二元一次方程组（考题猜想，高频重难点15大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题05 二元一次方程组（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程的定义 · 题型二 二元一次方程的解（高频） · 题型三 判断是否是二元一次方程组 · 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 · 题型五 代入消元法 · 题型六 加减消元法（高频） · 题型七 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 · 题型九 方案问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十 行程问题(二元一次方程组的应用) （高频） · 题型十一 分配问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十三 几何问题(二元一次方程组的应用) · 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用)（难点） · 题型十五 三元一次方程组的定义及解 （难点） 题型一 二元一次方程的定义 1．（22-23六年级下·上海静安·期末）下列方程中，二元一次方程是（    ） A． B． C． D．． 2．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 3.下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是 （只填序号）． 题型二 二元一次方程的解 4.（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）二元一次方程的非负整数解有（　　） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 5.（23-24六年级下·上海·期末）将方程变形为用含有的式子表示，则 ． 6.（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8.（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 9.已知是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10.有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 11.已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 题型五 代入消元法 12.（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 13.（22-23六年级下·上海虹口·期中）将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 14.（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 题型六 加减消元法 15.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 16．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解方程组： 题型七 二元一次方程组的特殊解法 17.（2023六年级下·上海·专题练习）方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 18.（20-21八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为 ． 19.（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 20.（20-21六年级下·上海·期末）整数为 时，方程组有正整数解． 21.若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 题型九 方案问题(二元一次方程组的应用) 22.（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 23．（2024六年级下·上海·专题练习）某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 24．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 题型十 行程问题(二元一次方程组的应用) 25.（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 26.（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 题型十一 分配问题(二元一次方程组的应用) 27.（20-21六年级下·上海闵行·期中）眼镜厂共有工人48人，每位工人每天能生产镜片40片或镜架28副．怎样分配工人能使一天生产的镜片和镜架配套？ 28．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 题型十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 29.（2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 30．（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 31．“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 题型十三 几何问题(二元一次方程组的应用) 32.（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知点是线段上一点，过点作射线，如果比大，那么的度数是 度． 33.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 34.（22-23六年级下·上海宝山·期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm．    35.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 题型十五 三元一次方程组的定义及解 36.（21-22六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝ ． 37.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 38． （23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． $$专题05 二元一次方程组（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程的定义 · 题型二 二元一次方程的解（高频） · 题型三 判断是否是二元一次方程组 · 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 · 题型五 代入消元法 · 题型六 加减消元法（高频） · 题型七 二元一次方程组的特殊解法（难点） · 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 · 题型九 方案问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十 行程问题(二元一次方程组的应用) （高频） · 题型十一 分配问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（高频） · 题型十三 几何问题(二元一次方程组的应用) · 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用)（难点） · 题型十五 三元一次方程组的定义及解 （难点） 题型一 二元一次方程的定义 1．（22-23六年级下·上海静安·期末）下列方程中，二元一次方程是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 根据二元一次方程的定义可得答案． 【详解】解：A．不是等式，故不属于二元一次方程，不符合题意； B．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意 C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意； D．含有3个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 2．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面求常数、的值即可．解题的关键是掌握二元一次方程的形式及其特点：只含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 3.下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，判断各式即可得出答案． 【详解】解：①是代数式，不是方程，故不是二元一次方程； ②，不是整式方程，故不是二元一次方程； ③，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程． ④,未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程； ⑤，只含有一个未知数，故不是二元一次方程； 故是二元一次方程的是③． 故答案为：③． 题型二 二元一次方程的解 4.（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）二元一次方程的非负整数解有（　　） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【分析】先求出，再由、都是非负整数，得到或或，据此求解即可． 【详解】解：， ， 、都是非负整数， 或或， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 二元一次方程的非负整数解的个数是三组． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 5.（23-24六年级下·上海·期末）将方程变形为用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将看作已知数求出即可． 【详解】解： ∴ ∴， 故答案为：． 6.（2024·上海·模拟预测）求证：方程有无数多解 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 将方程化为，得出当y取任意一个实数，则有对应的x值，即可证明． 【详解】证明：方程可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，当y取任意一个实数，则有对应的x值， 可以取任意值， 此时方程有无数组解． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的判别，熟悉二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A． ，是二元一次方程组； B． ，方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组； C． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； D． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； 故选：A． 8.（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 9.已知是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 根据两个二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可． 【详解】解：由二元一次方程组的解的定义可知，这个方程组的解为. 故选：B． 10.有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 11.已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 题型五 代入消元法 12.（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13.（22-23六年级下·上海虹口·期中）将方程变形，用含有的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数解关于y的方程即可． 【详解】解： 则， ∴， 故答案为： 14.（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．由①得，再代入②消去求，再求的值．关键是熟练掌握代入消元法，加减消元法解方程组的解题步骤． 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以，原方程组的解为． 题型六 加减消元法 15.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理得到，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：整理得， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 16．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据求出的值，再将的值代入，即可得解．解题的关键是掌握消元的思想和消元的方法（代入消元法与加减消元法）． 【详解】解：，得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为． 题型七 二元一次方程组的特殊解法 17.（2023六年级下·上海·专题练习）方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是注意观察两个方程的未知数的系数之间的关系． 【详解】解：观察方程组，发现第一个方程可以变形为， ∴该方程组有无数组解． 故选：D． 18.（20-21八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】将代入原方程组即可得． 【详解】解：将代入方程组 得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解题关键． 19.（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组，设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可，正确换元是解此题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 20.（20-21六年级下·上海·期末）整数为 时，方程组有正整数解． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出的值． 【详解】解：， ①②2，得 ， ， 将代入②式，得： ， 又方程组是正整数解， 12时满足x、y均为正整数， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 21.若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．法一：把参数m当成常数，按正常的方程组求解，再把方程组的解代入满足的第三个方程得到关于m的一元一次方程即可求出m的值；法二：消参，方程①－②就可以消去m；法三：整体代入，由，可知，，即可得关于m和y的二元一次方程组，即可求出m的值． 【详解】解：法一： ①得③， ②得④， ③④得， 把代入②得， 解得， 将代入得， 解得； 法二：①②得， ∵， ∴， 解得， 将代入得， 解得， 将，代入②得； 法三： 由，可知，，代入得， ∴， 解得． 题型九 方案问题(二元一次方程组的应用) 22.（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 【答案】两种购票方案，见解析 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，要能够分情况列出二元一次方程，根据它们的解必须是正整数进行分析讨论． 此题分三种情况讨论：可以设一等席和二等席或一等席和三等席或二等席和三等席．然后根据解应是正整数进行分析其解． 【详解】解：①设购买一等席门票张，二等席门票张，根据题意可列方程组 解得 因为、都是正整数，所以此方案不可行． ②设购买一等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买一等席门票3张，三等席门票33张． ③设购买二等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买二等席门票7张，三等席门票29张． 答：共有两种购票方案，购一等席门票3张，三等席门票33张，或购二等席门票7张，三等席门票29张． 23．（2024六年级下·上海·专题练习）某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲种车有12辆，乙种车有10辆 (2)存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲种车有辆，乙种车有辆，根据甲、乙两种车22辆在满载情况下恰好一趟运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆，求出总运费，由该值大于34500，可得出该方案不符合题意；当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆，根据分配的两种车分两趟恰好运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各分配方案，再结合要求总运费不超过34500元，即可找出符合题意的配车方案． 【详解】（1）设甲种车有辆，乙种车有辆， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种车有12辆，乙种车有10辆； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆， （元，， 该方案不符合题意； 当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆， 根据题意得：， ． 又，均为自然数， 或或， 该情况下共有3种配车方案， 方案1：分配乙种车10辆，所需总运费（元）； 方案2：分配甲种车6辆，乙种车5辆，所需总运费（元）； 方案3：分配甲种车12辆，所需总运费（元）． ， 存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆． 24．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人； (2)甲、乙两公司共捐款36000元； (3)共有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“甲公司的人数比乙公司少30人，且甲、乙两公司的捐款总数相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用甲、乙两公司的捐款总数甲公司的人均捐款数甲公司的人数乙公司的人均捐款数乙公司的人数，即可求出结论； （3）设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲公司有150人，乙公司有180人； （2）解： （元． 答：甲、乙两公司共捐款36000元； （3）解：设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资； 方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 题型十 行程问题(二元一次方程组的应用) 25.（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 26.（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【答案】甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时 【分析】设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时，根据相遇时甲车比乙车多行18千米，甲车小时行完全程，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时， 由题意可得：， 解得：， ∴甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知速度，时间和路程的关系． 题型十一 分配问题(二元一次方程组的应用) 27.（20-21六年级下·上海闵行·期中）眼镜厂共有工人48人，每位工人每天能生产镜片40片或镜架28副．怎样分配工人能使一天生产的镜片和镜架配套？ 【答案】分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套． 【分析】设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套，根据共有工人48人，镜片数量镜架数量，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套， 由题意得：， 解得：， 答：分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 28．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】(1)每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车 (2)该汽车的续航里程为400千米 【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可； （2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车 根据题意，可得， 解得： ， 答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车． （2）设该汽车的续航里程为千米． 根据题意，可得， 解得： ， 答：该汽车的续航里程为400千米． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 题型十二 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 29.（2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【答案】该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是明白列方程的依据：第一次邮购费用第二次邮购费用总邮购费用． 设第一次邮购册，则费用为；则第二次邮购册，费用为；根据总费用为960元及共购200册可得出方程组，解出即可． 【详解】解：设该单位第一次邮购册，第二次邮购册， 由题意得：， 解得：． 答：该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册． 30．（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 【答案】(1)、两种商品单价各是10元、15元 (2)购买种商品50件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用： （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设、两种商品单价各是元、元， ， 解得，， 答：、两种商品单价各是10元、15元； （2）解：设购买种商品件， ， 解得，， 答：购买种商品50件． 31．“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元 (2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键， （1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元， 根据题意，得 解得 答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元． （2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得， 其正整数解为或或 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）． 因为， 所以当时，利润最大． 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台． 题型十三 几何问题(二元一次方程组的应用) 32.（22-23七年级下·上海徐汇·期末）已知点是线段上一点，过点作射线，如果比大，那么的度数是 度． 【答案】116 【分析】根据题意可得，解二元一次方程组，即可得到的度数． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 的度数是， 故答案为：116． 【点睛】本题主要考查了角的计算，解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键． 33.（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 34.（22-23六年级下·上海宝山·期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm．    【答案】 【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为 由题意得 解得， 则个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 35.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【答案】小丽的4次飞镖总分为分． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，根据小杰及小明的总分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，依题意得： ， 解得：， ． 答：小丽的4次飞镖总分为分． 题型十五 三元一次方程组的定义及解 36.（21-22六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝ ． 【答案】9 【分析】三个方程相加可得结论． 【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18， ∴x+y+z＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型． 37.（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 38．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【答案】非负整数解个数有个． 【分析】本题考查了三元一次不定方程的解，先确定、、的值，再分类讨论即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，分别取．则取，共组， 当时， ， 分别取则取共组， 依次类推：共有： ， 答：非负整数解个数有． $$