专题05 二元一次方程式组（考点清单，5考点梳理+13题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题05 二元一次方程式组（考点清单，5考点梳理+13题型解读） 清单01 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 清单02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 清单03 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 清单04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 清单05 三元一次方程组 【考点题型一】二元一次方程的定义（） 【例1】（23-24六年级下·上海崇明·期中）下列各式中，是二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义．含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．是二元一次方程，符合题意； B．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； C．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； D．，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：a＝−2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，注意：含未知数的项的系数不为0． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知是二元一次方程，则 ； 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再把y的系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 两边同时除以得，， 故选：． 【变式2-1】（23-24六年级下·上海·阶段练习）下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把代入四个选项中计算即可判断求解，掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴不是方程的解； 、把代入方程得， 左边右边， ∴是方程的解； 故选：． 【变式2-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）二元一次方程的非负整数解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二元一次方程的非负整数解，由方程可得，根据为非负整数可得，，，或，据此解答即可求解，掌握解二元一次方程的解的方法是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ∴， ∵为非负整数， ∴，，，， ∴，，，或， 舍去x不为非负整数的情况 ∴二元一次方程的非负整数解是为或， 故答案为：或． 【考点题型三】代入消元法（） 【例3】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程，先把含的项移到方程的右边，再两边同时除以4即可． 【详解】将方程变形为用含的式子表示， 则， 即， 故答案为： ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个相同是解题的关键． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：13． 【变式3-2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解方程组，利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①得， 把代入②，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 【考点题型四】加减消元法（） 【例4】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 【变式4-1】（21-22六年级下·上海闵行·期末）方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题运用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】解： ①+②得， 解得， 把代入①得， 解得． 故原方程组的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【变式4-2】（23-24六年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 整理得， ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ． 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解方式方程组，用换元法求解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴， ∴， 经检验符合题意． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海宝山·期中）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法是解题关键．将，代入原方程组即可． 【详解】将，代入原方程组， 得：． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，设，利用换元法，加减消元法求出解即可． 【详解】解：设：，， 方程组变形为， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：，即． 【考点题型六】根据实际问题列二元一次方程组（） 【例6】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）六（6）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（6）班学生数为x人，分成y组，那么可得方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设学生数为x人，分成y组，根据组数和总人数的数量关系建立方程组求解即可． 【详解】设学生数为x人，分成y组， 由题意知：如果每组6人，那么多出3人，可得出：， 如果每组7人，组数固定，那么有一组少4人，可得出：， 故有：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程 【变式6-1】（2024六年级下·上海·专题练习）一个矩形的周长是，长比宽多，那么矩形的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；设矩形的长为，宽为，根据“矩形的周长是，长比宽多”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出结论． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（22-23六年级下·上海闵行·期末）某班级同学分组，若每组5人则余3人，若每组6人则缺5人．设班级人数为人，组数为组，则列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据关键语句“若每组5人，余3人”可得方程；“若每组6人，则缺5人．”可得方程，联立两个方程可得方程组． 【详解】解：设班级人数为人，组数为组， 由题意得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【考点题型七】方案问题(二元一次方程组的应用)（） 【例7】（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【答案】甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．根据甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，甲仓库所剰粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲仓库运出了吨粮食，乙仓库运出了吨粮食． 由题意，得， 解得， 答：甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食 【变式7-1】（21-22六年级下·上海·期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示）， 品种 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 【答案】(1)应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球． (2)该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 【分析】（1）设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球，根据生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用均价＝总价÷数量，可求出每套教具的均价，结合三档教具的单价可得出只有购买高、低档和购买中、低档两种情况，当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球， 依题意得：＝， 解得：x＝18， ∴33﹣x＝33﹣18＝15． 答：应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球． （2）解：∵每套教具的均价为1800÷100＝18（元/套）， ∴只有购买高、低档和购买中、低档两种情况． 当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套， 依题意得： ， 解得：． ∴学校购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套． 当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套， 依题意得： ， 解得： ． ∴学校购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 答：该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组 【变式7-2】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服，下是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1~39套（含39套） 40~69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于49人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题： (1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ (2)甲、乙两个乐团各有多少名学生？ (3)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】(1)最多可节省1220元 (2)甲乐团有54人，乙乐团有34人， (3)共有两种方案：从甲乐团抽调9人，从乙乐团抽调5人，或者从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人 【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装88套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲乐团有人，乙乐团有人，分当甲乐团的人数小于69人时和当甲乐团的人数大于等于70人时，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据题意列出二元一次方程，由从每个乐团抽调的人数不少于5人且为正整数，即可求得的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 买88套所花费为：（元）， 最多可节省：（元）， 答：最多可节省1220元； （2）解：当甲乐团的人数小于69人时， 设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意可得： ， 解得：， 甲乐团有54人，乙乐团有34人， 当甲乐团的人数大于等于70人时， 设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意可得： ， 解得：，不符合题意，舍去， 甲乐团有54人，乙乐团有34人， （3）解：根据题意可得： ， 变形得：， 从每个乐团抽调的人数不少于5人且为正整数， 或， 共有两种方案：从甲乐团抽调9人，从乙乐团抽调5人，或者从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用与二元一次方程的实际应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与二元一次方程，是解题的关键． 【考点题型八】分配问题(二元一次方程组的应用)（） 【例8】（20-21六年级下·上海金山·期末）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 【答案】5人装配双人课桌、4人装配单人椅 【分析】设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套，由题意得：，解方程组即可． 【详解】解：设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套， 由题意得：， 解得：， 答：5人装配双人课桌、4人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组 【变式8-1】（20-21六年级下·上海徐汇·期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘60人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 【答案】共有240个学生，有5辆汽车 【分析】首先设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得等量关系是：①汽车辆数×45+15=学生人数；②（汽车辆数-1）×60=学生人数，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得： ， 解得：， 答：共有5辆汽车，该校有240人． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 【变式8-2】（20-21六年级下·上海闵行·期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【答案】(1)见解析 (2)安排12人生产塑料棒，10人生产金属球 (3)学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套． 【分析】（1）根据正方体的画法补全图形； （2）设安排x人生产塑料棒，（22-x）人生产金属球，然后根据12根金属棒和8个金属球可配成一套列方程求解； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套，分购买高档和中档，高档和低档，中档和低档三种情况，根据购买200套，恰好用了2800元，分别列出二元一次方程组求解． 【详解】（1）如图即为所求： （2）设安排x人生产塑料棒，（22﹣x）人生产金属球，由题意可得： ， 解得：x＝12， 22﹣x＝22﹣12＝10（人）， ∴安排12人生产塑料棒，10人生产金属球； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套， ①若购买高档和中档教具，由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）； ②若购买高档和低档教具，由题意可得： ， 解得：； ③若购买中档和低档教具，由题意可得： ， 解得：， 综上，学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题目中的数量关系，利用分类讨论思想解题是关键． 【考点题型九】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)（） 【例9】（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 【变式9-1】（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【答案】学校合唱队原来有11名同学 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设学校合唱队原来有名女同学，名男同学，根据学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设学校合唱队原来有名女同学，名男同学， 由题意得：， 解得：， ， 答：学校合唱队原来有11名同学． 【变式9-2】（22-23六年级下·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生人、女生人 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 根据题意得：解这个方程组得： 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生人、女生人． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，得出方程组． 【考点题型十】几何问题(二元一次方程组的应用)（） 【例10】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在大长方形中，放入8个一样形状和大小的小长方形，则图中阴影部分面积为 平方厘米． 【答案】92 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求得小长方形的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得：， 解得， ∴图中阴影部分的面积为： （平方厘米）， 故答案为：92． 【变式10-1】（21-22六年级下·上海·期末）∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数． 【答案】∠α＝30° 【分析】根据余角和补角的定义，结合∠α是∠β的3倍，∠β的补角比∠α的余角大110°，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得，． 解得∠α＝30°，∠β＝10°． ∴∠α＝30°． 【点睛】本题主要考查余角与补角，解二元一次方程组，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键． 【考点题型十一】古代问题(二元一次方程组的应用)（） 【例11】（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊．咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设甲有羊只，乙有羊只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设甲有羊只，乙有羊只． ∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ； 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ． 联立两方程组成方程组． 故选：D 【变式11-1】（21-22六年级下·上海杨浦·期中）若鸡兔同笼，笼中共有20只头，64只脚，则笼中鸡有 只，兔有 只． 【答案】 8 12 【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“鸡兔同笼，头共有20个，脚有64只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设笼中有x只鸡，y只兔， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：8，12． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式11-2】（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 【考点题型十二】其他问题(二元一次方程组的应用)（） 【例12】（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的倍比（2）班没参加的人数多人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少人．求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【答案】六年级（1）班人；六年级（2）班人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程组是解答关键．根据题意建立二元一次方程组，解方程即可求解． 【详解】解：设六年级（1）班参加人数为人，六年级（2）班参加人数为人， 由题意可得 解得： 答：六年级（1）班参加人数为人，六年级（2）班参加人数为人． 【变式12-1】（2024六年级下·上海·专题练习）上海迪士尼乐园于2016年6月16日正式开园，它是中国大陆第一个、亚洲第三个，世界第六个迪士尼主题公园．已知上海迪士尼乐园成人门票为370元人，儿童门票为280元人，2017年寒假期间，家住上海的张明和家人（有成人和儿童）一同去该乐园游玩．若张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元． (1)求张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； (2)若张明和家人去上海迪士尼乐园的当天，正好有个优惠活动，每位儿童的门票可以优惠20元，求他们共需支付的门票的费用． 【答案】(1)张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人 (2)他们共需支付的门票的费用是2740元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； （2）根据（1）中的答案和题意可以求得他们共需支付的门票的费用． 【详解】（1）设张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有人，儿童有人， ， 解得，， 答：张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人； （2）由题意可得， 他们共需支付的门票的费用是：， 答：他们共需支付的门票的费用是2740元． 【考点题型十三】三元一次方程组的定义及解（） 【例13】（20-21六年级下·上海静安·期中）解方程组，较简便的方法是（    ）． A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定 【答案】B 【分析】，，得：，根据，得：，可得，方程组随之得解，问题即可作答． 【详解】 ，得：， ，得：，即， 将代入，解得：， 将，代入，解得：， 根据解答过程可知较简便的方法是先消y， 故选：B．【点睛】本题主要考查了求解三元一次方程组的知识，掌握加减消元法，是解答本题的关键． 【变式13-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）三元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】利用代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】， 把代入，得：， ，得：， ， 把代入得：， 把代入得：， ∴原方程组的解是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，通过加减消元和代入消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解． 【变式13-2】（22-23六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解． 【详解】解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程式组（考点清单，5考点梳理+13题型解读） 清单01 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 清单02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 清单03 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 清单04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 清单05 三元一次方程组 【考点题型一】二元一次方程的定义（） 【例1】（23-24六年级下·上海崇明·期中）下列各式中，是二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知是二元一次方程，则 ； 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24六年级下·上海·阶段练习）下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）二元一次方程的非负整数解是 ． 【考点题型三】代入消元法（） 【例3】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【变式3-2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）解方程组： 【考点题型四】加减消元法（） 【例4】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式4-1】（21-22六年级下·上海闵行·期末）方程组的解是 ． 【变式4-2】（23-24六年级下·上海·期末）解方程组：． 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海宝山·期中）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）解方程组： 【考点题型六】根据实际问题列二元一次方程组（） 【例6】（21-22六年级下·上海嘉定·期中）六（6）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（6）班学生数为x人，分成y组，那么可得方程组为（） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024六年级下·上海·专题练习）一个矩形的周长是，长比宽多，那么矩形的面积是 ． 【变式6-2】（22-23六年级下·上海闵行·期末）某班级同学分组，若每组5人则余3人，若每组6人则缺5人．设班级人数为人，组数为组，则列方程组为 ． 【考点题型七】方案问题(二元一次方程组的应用)（） 【例7】（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【变式7-1】（21-22六年级下·上海·期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示）， 品种 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 【变式7-2】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服，下是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1~39套（含39套） 40~69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于49人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题： (1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ (2)甲、乙两个乐团各有多少名学生？ (3)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【考点题型八】分配问题(二元一次方程组的应用)（） 【例8】（20-21六年级下·上海金山·期末）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 【变式8-1】（20-21六年级下·上海徐汇·期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘60人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 【变式8-2】（20-21六年级下·上海闵行·期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【考点题型九】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)（） 【例9】（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【变式9-1】（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【变式9-2】（22-23六年级下·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【考点题型十】几何问题(二元一次方程组的应用)（） 【例10】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在大长方形中，放入8个一样形状和大小的小长方形，则图中阴影部分面积为 平方厘米． 【变式10-1】（21-22六年级下·上海·期末）∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数． 【考点题型十一】古代问题(二元一次方程组的应用)（） 【例11】（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊．咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（21-22六年级下·上海杨浦·期中）若鸡兔同笼，笼中共有20只头，64只脚，则笼中鸡有 只，兔有 只． 【变式11-2】（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【考点题型十二】其他问题(二元一次方程组的应用)（） 【例12】（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的倍比（2）班没参加的人数多人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少人．求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【变式12-1】（2024六年级下·上海·专题练习）上海迪士尼乐园于2016年6月16日正式开园，它是中国大陆第一个、亚洲第三个，世界第六个迪士尼主题公园．已知上海迪士尼乐园成人门票为370元人，儿童门票为280元人，2017年寒假期间，家住上海的张明和家人（有成人和儿童）一同去该乐园游玩．若张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元． (1)求张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数； (2)若张明和家人去上海迪士尼乐园的当天，正好有个优惠活动，每位儿童的门票可以优惠20元，求他们共需支付的门票的费用． 【考点题型十三】三元一次方程组的定义及解（） 【例13】（20-21六年级下·上海静安·期中）解方程组，较简便的方法是（    ）． A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定 【变式13-1】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）三元一次方程组的解为 ． 【变式13-2】（22-23六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$