清单04 因式分解（9个考点梳理+11题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单04 因式分解（9个考点梳理+11题型解读） 清单01 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 清单02 公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 清单03 因式分解—提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 清单04 因式分解—运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 清单05 提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 清单06 因式分解—分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 清单07 因式分解—十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 清单08 实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 清单09 因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【考点题型一】判断是否是因式分解（） 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【变式1-1】.（22-23七年级下·河北邯郸·期末）从左到右的变形中属于因式分解的是（    ） ①    ② ③        ④ A．① B．①② C．①③ D．④ 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（20-21七年级下·河北唐山·期末）若多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4）．其中m，n均为整数，则m﹣n的值是（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【变式2-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若能分解为，则p为 ；为 ． 【考点题型三】公因式（） 【例3】（七年级下·河北唐山·期末）多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 【变式3-1】.多项式的公因式是 ． 【考点题型四】提公因式法分解因式（） 【例4】（22-23七年级下·河北沧州·期末）边长为a，b的长方形周长为12，面积为5，则的值为（    ） A．30 B．60 C．100 D．120 【变式4-1】.（七年级下·河北邢台·期末）因式分解：（1）4a2b2－ab2= （2）2（x－y）2－x（y－x）= 【变式4-2】.（23-24七年级下·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用简便方法计算：． 【考点题型五】平方差公式分解因式（） 【例5】（22-23七年级下·河北唐山·期末）对于任何整数，多项式都能被下列各式中的哪一项整除（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式5-1】.（七年级下·河北沧州·期末）若实数a、b满足：a+b＝6，a﹣b＝10，则2a2﹣2b2＝ ． 【变式5-2】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）因式分解： (1)． (2)． 【考点题型六】完全平方公式分解因式（） 【例6】（七年级下·河北唐山·期末）下列各式中不能用公式法因式分解的是（    ） A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2＋x＋ D．﹣x2＋4x﹣4 【变式6-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期末）已知是完全平方式，把分解因式，得 ． 【变式6-2】.（23-24七年级下·河北保定·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【考点题型七】十字相乘法（） 【例7】（七年级下·河北保定·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．      （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ． 【变式7-2】.（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【考点题型八】分组分解法（） 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（23-24七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式9-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若，，则代数式的值为 ． 【变式9-2】.（22-23七年级下·河北邢台·期中）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． (1)验证：的结果是8的几倍？ (2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），说明它们的平方差是8的倍数； (3)延伸：两个连续偶数的平方差是______的倍数． 【考点题型十】综合提公因式和公式法分解因式（） 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列各式从等号左边到等号右边的变形，是因式分解且分解正确的有（   ） ①②③④ A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【变式10-1】.（23-24七年级·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【变式10-2】.（23-24七年级下·河北保定·期末）（1）分解因式：； （2）解方程组：； （3）解不等式组，并把该不等式组的解集表示在数轴上． 【考点题型十一】因式分解在有理数简算中的应用（） 【例11】（七年级下·河北保定·期末）利用因式分解计算 ． 【变式11-1】.（22-23七年级下·河北张家口·期末）计算： (1)解不等式：； (2)计算：； (3)利用因式分解计算： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 因式分解（9个考点梳理+11题型解读） 清单01 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 清单02 公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 清单03 因式分解—提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 清单04 因式分解—运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 清单05 提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 清单06 因式分解—分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 清单07 因式分解—十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 清单08 实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 清单09 因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【考点题型一】判断是否是因式分解（） 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、判断是否是因式分解 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与因式分解的含义，掌握概念是解本题的关键，根据整式的乘法运算与因式分解的含义可得答案． 【详解】解：，其变形是是乘法运算， ，其变形是因式分解， 故选D 【变式1-1】.（22-23七年级下·河北邯郸·期末）从左到右的变形中属于因式分解的是（    ） ①    ② ③        ④ A．① B．①② C．①③ D．④ 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】依据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：，①属于因式分解； 不能转变为整式的积的形式，②不属于因式分解； 不能转变为整式的积的形式，③不属于因式分解； 不能转变为整式的积的形式，④不属于因式分解； 故选：A． 【点睛】本题主要考查因式分解的含义，属于基础题，是考试中常考的考点． 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（20-21七年级下·河北唐山·期末）若多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4）．其中m，n均为整数，则m﹣n的值是（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】A 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则化简(x+3)(x﹣4)，再与式x2﹣mx+n比较求出m，n的值，代入m﹣n计算即可． 【详解】解：∵(x+3)(x﹣4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12， ∴x2﹣mx+n= x2-x-12， ∴m=1，n=-12， ∴m﹣n=1+12=13． 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键． 【变式2-1】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若能分解为，则p为 ；为 ． 【答案】 2 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查多项式的乘法，因式分解，明确题意，求得p和q的值是解此题的关键． 将等式右边去括号整理即可得p和q的值，计算即可． 【详解】∵ ∵能分解为， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【考点题型三】公因式（） 【例3】（七年级下·河北唐山·期末）多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】解：多项式中， 各项系数的最大公约数是5， 各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1， 所以它的公因式是． 故选C． 【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键． 【变式3-1】.多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 运用提公因式因式分解法进行求解． 【详解】解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为， ∴多项式的公因式是， 故答案为：． 【考点题型四】提公因式法分解因式（） 【例4】（22-23七年级下·河北沧州·期末）边长为a，b的长方形周长为12，面积为5，则的值为（    ） A．30 B．60 C．100 D．120 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案． 【详解】解：边长为a，b的长方形周长为12，面积为10， ， 则． 故选：A． 【点睛】本题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【变式4-1】.（七年级下·河北邢台·期末）因式分解：（1）4a2b2－ab2= （2）2（x－y）2－x（y－x）= 【答案】 ab2（4a-1） （y-x）（2y-3x） 【分析】（1）直接提取公因式ab2即可； （2）先凑出公因式y-x，然后提取公因式即可． 【详解】解：（1）4a2b2－ab2 =ab2（4a-1）； （2）2（x－y）2－x（y－x） =2（y－x）2－x（y－x） =（y-x）[2(y-x)-x] =（y-x）（2y-3x）． 【点睛】本题考查了运用提取公因式法因式分解，掌握确定公因式的方法是解答本题的关键． 【变式4-2】.（23-24七年级下·河北邢台·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式、幂的混合运算 【分析】此题考查了幂的混合运算、因式分解、完全平方公式等知识，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）计算同底数幂乘法、积的乘方后，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可； （2）利用提取公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【考点题型五】平方差公式分解因式（） 【例5】（22-23七年级下·河北唐山·期末）对于任何整数，多项式都能被下列各式中的哪一项整除（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】数的整除、平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式将原式分解因式，进而得出各因式再分析得出即可． 【详解】解：， ∴对于任何整数，多项式都能被． 故选： A． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 【变式5-1】.（七年级下·河北沧州·期末）若实数a、b满足：a+b＝6，a﹣b＝10，则2a2﹣2b2＝ ． 【答案】120 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】将所求式子变形，然后根据a+b＝6，a﹣b＝10，即可求出所求式子的值． 【详解】解：2a2﹣2b2 ＝2（a2﹣b2） ＝2（a+b）（a﹣b）， ∵a+b＝6，a﹣b＝10， ∴原式＝2×6×10＝120， 故答案为：120． 【点睛】本题考查因式分解的应用、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 【变式5-2】.（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】（1）本题考查的是提取公因式进行因式分解，根据题目可先提取公因式3，然后再利用完全平方公式因式分解得到答案． （2）本题考查的是提取公因式进行因式分解，根据题目可先提取公因式，再根据平方差公式因式分解得到答案． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【考点题型六】完全平方公式分解因式（） 【例6】（七年级下·河北唐山·期末）下列各式中不能用公式法因式分解的是（    ） A．x2﹣4 B．﹣x2﹣4 C．x2＋x＋ D．﹣x2＋4x﹣4 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式 【分析】根据完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2以及平方差公式分别判断得出答案． 【详解】解：A、x2﹣4＝（x﹣2）（x＋2），不合题意； B、﹣x2﹣4，不能用公式法分解因式，符合题意； C、x2＋x＋＝（x＋）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意； D、﹣x2＋4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，运用完全平方公式分解因式，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式． 【变式6-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·期末）已知是完全平方式，把分解因式，得 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍，故，再根据完全平方公式分解因式． 【详解】解：∵， 又∵是完全平方式， ∴， 当时，， 当时，， ∴把分解因式，得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，因式分解；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【变式6-2】.（23-24七年级下·河北保定·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，二次三项式取得最小值，最小值为 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可； 本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为． 【考点题型七】十字相乘法（） 【例7】（七年级下·河北保定·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】根据十字相乘法可直接进行求解a、b的值，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式7-1】.（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．      （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ． 【答案】 / / 【知识点】因式分解的应用、十字相乘法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据正方形的面积得出，即可求解； （2）根据题意长方形的面积为，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴需要取乙纸片张，丙纸片张 故答案为：，． （2）依题意，， ∴这个长方形的长为，宽为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 【变式7-2】.（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 【考点题型八】分组分解法（） 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【变式8-1】.（23-24七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 又，， 原式． （3）解： ． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）若，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解求代数式的值等知识，先利用平方差公式得到，根据，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式9-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题，把所求的代数式化成与已知的式子相关的式子是关键，不改变代数式的值，可以利用提公因式或其它因式分解的方法解决．把进行因式分解得，把已知代入即可． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， ； 故答案为： 【变式9-2】.（22-23七年级下·河北邢台·期中）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． (1)验证：的结果是8的几倍？ (2)设两个连续奇数为，（其中为正整数），说明它们的平方差是8的倍数； (3)延伸：两个连续偶数的平方差是______的倍数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【知识点】因式分解的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）通过计算即可得出答案； （2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论； （3）首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案． 【详解】（1）解：， 是8的4倍． （2）解：， 两个连续奇数，的平方差是8的倍数． （3）解：两个连续偶数的平方差是4的倍数． 理由如下： 设两个连续的偶数分别为：，， ， 两个连续偶数的平方差是4的倍数． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． 【考点题型十】综合提公因式和公式法分解因式（） 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列各式从等号左边到等号右边的变形，是因式分解且分解正确的有（   ） ①②③④ A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式逐项分析，可得答案． 【详解】解：①从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解且分解正确，故①符合题意； ②从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解且分解正确，故②符合题意； ③从左到右的变形是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故③不符合题意； ④，从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解，但是分解错误，故④不符合题意； 故选：A． 【变式10-1】.（23-24七年级·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【变式10-2】.（23-24七年级下·河北保定·期末）（1）分解因式：； （2）解方程组：； （3）解不等式组，并把该不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2）；（3），图见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）利用代入消元法解答，即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：（1）， ； （2） 由①得：③， 将③代入②，得， 解得：， 将代入③，得：， ∴原方程组的解为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【考点题型十一】因式分解在有理数简算中的应用（） 【例11】（七年级下·河北保定·期末）利用因式分解计算 ． 【答案】500 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】原式的分母利用平方差公式分解因式，再进行除法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：500． 【点睛】本题考查了利用因式分解进行简便计算，属于基本题型，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【变式11-1】.（22-23七年级下·河北张家口·期末）计算： (1)解不等式：； (2)计算：； (3)利用因式分解计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）利用平方差公式求解即可； （3）利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，平方差公式，因式分解的应用等等，正确计算是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$