精品解析：四川省自贡市2025届高三第三次诊断性考试数学试题

自贡市普高2025届第三次诊断性考试 数学试题 本试卷共4页19题.全卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 8. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 10. 如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值为 C. 平面 D. 11. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ） A. B. 以为直径的圆与直线相切 C. 为等边三角形，则 D. 为抛物线的切线，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为_____. 13. 要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有_____种. 14. 函数的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. （1）若，求的周长和面积； （2）为锐角三角形，求整数的最小值. 17. 如图四棱锥中，底面为菱形且，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面，M为的中点. （1）求与底面所成的角的大小； （2）求证：平面平面； （3）求平面和平面的夹角的余弦值. 18. 平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与圆内切，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）是曲线上的任意一点，过斜率存在的直线交曲线于两不同点A、B，射线交曲线于点. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求面积的取值范围. 19. 函数 （1）求的单调区间； （2）设，证明：； （3）若，，比较与2的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市普高2025届第三次诊断性考试 数学试题 本试卷共4页19题.全卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再结合模的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数的值域求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 所以. 故选：D. 3. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A. 4. 双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率求出，，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】中，，故， 故，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为 故选：B 5. 命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：由，且， 设，，，，后续项由依次计算得到： ，，，， 此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立； 必要性：由为等比数列，显然可得， 且，故必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦、余弦和正切公式，及同角三角函数关系化简求值即可. 【详解】根据题意可知， 因为， 所以，整理得， 等式两边同除得，即， 又因为， 所以，解得， 故选：B 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断，根据三角函数的值域可判断. 【详解】由图知，， 所以，解得， 过点，所以， 即，又，所以， 所以， 对于：， 所以函数的图象关于点对称，故错误； 对于：， 所以函数的图象关于直线对称，故错误； 对于：， ， 所以， 取，得， 函数在上单调递减，故错误； 对于：，所以，所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 8. 函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差. 【详解】中位数的计算与比较： 由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内， 第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35， 则，解得​， 由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内， 则，解得，所以<​. 平均数的计算与比较： 甲组平均数 ​： . 乙组平均数​： . 所以​. 众数的计算与比较： 由图甲可得甲组众数​； 由图乙可得乙组众数，所以​ . 标准差的比较： 因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以. 对于A，由前面计算可知<且​​，故A 正确； 对于B，因​​且，故B正确； 对于C，由前分析得，，， ，，，故C错误； 对于D ，因，，，则 ，故D正确 . 故答案选 ABD. 10. 如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值为 C. 平面 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据勾股定理和线面垂直的判定定理、性质定理可判断A，根据，确定为异面直线与所成角的平面角，求解后可判断B；确定为的中点，为的中点，可得，进而得平面，从而可判断C；根据球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】选项A：由图1，在直角中，，， 因为，所以，且， ，，，， 由图2，在直角中，， 因为，且，所以， 所以在直角中，，又， 所以，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又平面，所以； 在中，，，，所以， 即，又，平面，所以平面，故A正确； 选项B：因为，所以即为所求， 因为平面，平面，所以， 所以在直角中，，故B不正确； 选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等， 因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点， 同理可知为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确； 选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径， 所以，故D不正确. 故选：AC. 11. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于M、N两点，为抛物线的准线上任意一点.则（ ） A. B. 以为直径的圆与直线相切 C. 为等边三角形，则 D. 为抛物线的切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由准线方程求出判断A；利用抛物线的定义，结合圆的切线判断B；设出直线方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理求解判断C；利用导数的几何意义求出切线方程求解判断D. 【详解】对于A，抛物线的准线为，则，解得，A错误； 对于B，设，则， 线段的中点到准线的距离为，因此以为直径的圆与直线相切，B正确； 对于C，由（1）知，，设直线方程为，由得， 则，线段的中点，线段中垂线方程为 ，则点，， 而，由为等边三角形， 得，即，解得，C正确； 对于D，由求导得，直线的方程为， 则，直线的斜率， 因此，，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 又点到直线的距离， 所以弦长. 故答案为： 13. 要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有_____种. 【答案】36 【解析】 【分析】部分平均分组，先分组，再进行全排列，利用排列组合知识进行求解 【详解】由题意，这4名学生只能进行1,1,2的安排， 故不同的安排方法有种. 故答案为：36 14. 函数的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，根据函数常见不等关系，结合绝对值不等式性质，利用放缩法，可得答案. 【详解】令，则，令，解得， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 故，则. 因为，所以 当且仅当时等号成立，因此的最小值为2． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）： 航天爱好者 非航天爱好者 合计 女 40 60 100 男 70 30 100 合计 110 90 200 （1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？ （2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望. 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关 （2） 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断； （2）按分层抽样得到A、B组的男女生人数，则A组中女生人数的可能值为1，2，3，从而求出取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关. 【小问2详解】 按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人， 100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人. 故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人. 从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后， A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3. ，，. X的分布列如下表： 1 2 3 . 16. 在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. （1）若，求的周长和面积； （2）为锐角三角形，求整数的最小值. 【答案】（1）周长为15， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边结合题意求出，即可得到周长，再利用余弦定理边化角求出，根据三角形面积公式得到面积即可； （2）根据余弦定理边化角结合三角形三边的关系求解即可. 【小问1详解】 根据题不妨设，， 因为，所以由正弦定理可得， 解得，，， 所以的周长为， 又由余弦定理可得，则， 所以. 【小问2详解】 根据题意可知，若为锐角三角形，则为锐角， 由余弦定理得， 解得或者， 又由三角形三边关系可得，解得， 因为，故. 17. 如图四棱锥中，底面为菱形且，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面，M为的中点. （1）求与底面所成的角的大小； （2）求证：平面平面； （3）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 由（1）知，底面，， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，，，， 则，，， 则，， 所以，， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，，结合侧面底面可得底面，可得即为与底面所成角，进而求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，，进而得到平面，进而求证即可； （3）分别求出平面和平面的一个法向量，进而利用公式求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，，， 由侧面是边长为2的正三角形，所以， 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面， 则即为与底面所成角， 因为底面为菱形，且，， 所以为正三角形，则， 则，，又， 则在中，由得，， 所以与底面所成的角的大小为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，，， 设平面的一个法向量为 ，令，则， 平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值. 18. 平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与圆内切，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）是曲线上的任意一点，过斜率存在的直线交曲线于两不同点A、B，射线交曲线于点. （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （ⅰ）设，则，令，由，则， 所以，所以，故为定值； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，得到，设，得到，得到点的轨迹是椭圆，进而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设，则，令，得到，代入椭圆的方程，求得，进而得到的值； （ii）设的方程为，联立直线与的方程，得到，且，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离，得到到直线的距离，求得面积的表达式，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：设的中点为，依题意，以为直径的圆内切于圆， 所以，即， 设，因为，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 则，，可得， 所以的轨迹的方程为. 【小问2详解】 解：（i）略 （ii）设，，直线的方程为，由题设知， 联立直线与的方程， 消去得：， 由在曲线内，所以且， 所以 ， 原点到直线的距离； 由（i）知到直线的距离， 所以， 令，因为是曲线上的任意一点， 联立方程组，整理得， 可得，整理得，所以， 函数， 当时，面积的最大值为， 故面积的取值范围为. 19. 函数 （1）求的单调区间； （2）设，证明：； （3）若，，比较与2的大小，并说明理由. 【答案】（1）减区间为，无增区间 （2） 由（1）知，，，， 不妨令，，， ， ， . （3） ， 由，， ， 由，，， ， ，. . 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义即可求解； （2）由（1）知，，可得，令，，得，所以，结合，即可证明； （3）由题意得，结合，，令，可得，所以，根据基本不等式即可判断. 【小问1详解】 函数，， 所以的单调递减区间为，无增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：累加型数列不等式证明的方法： 证明不等式为例，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项， 但可以通过变形把右边也转化为求和式， 例如转化为累积相消型， 设，则只需证， 而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系， 即如果能证出恒成立，则原不等式也就成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $