吉林省通化市梅河口市博文学校2024-2025学年高二上学期第二次考试数学试题

第 1页共 6页 ◎ 第 2页共 6页 2024-2025 学年第一学期第二次考试 高二数学试卷 第 I 卷 选择题（共 58 分） 一、 单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目的要求） 1. “m = 3”是“直线 mx+ 2y + 3m = 0 和直线 3x + (m − 1)y − m+ 7 = 0 不重合 而平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 2. 已知向量 ( 1,0,3), (1, 1,1), ( 1, 2 ,1)a b c x       ，若 ( ) / /a b c   ，则实数 x （ ） A． 1 4 B． 1 4  C． 1 2 D． 1 2  【答案】A 3. 已知 ab < 0，bc > 0，则直线 ax + by + c＝0 通过（ ）象限 A.第一、二、三 B.第一、二、四 C.第一、三、四 D.第二、三、四 【答案】C 4. 正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为 AB中点，则直线 1AE， 1C D所成角的余弦值为 （ ） A． 15 15 B． 10 10 C． 1 2 D． 3 3 【答案】B 如图，以 D为坐标原点， 1, ,DA DC DD分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2，则        1 12,0,2 , 2,1,0 , 0,0,0 , 0,2,2A E D C ， 可得    1 10,1, 2 , 0,2,2A E DC     ， 则 1 1 1 1 1 1 2 10cos , 105 2 2 A E DCAE DC AE DC             ， 所以直线 1AE， 1C D所成角的余弦值为 10 10 .故选：B. 5. 已知线段 AB 两端点的坐标分别为 A −2,3 和 B 4,2 ，若直线 l: x + my +m − 1 = 0 与线段 AB 有交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A. −∞, − 1 ∪ 3 4 , +∞ B. −1, 3 4 C. −1, 3 4 D. −∞, − 1 ∪ 3 4 , +∞ 【答案】C 6. 已知直线 4x + 3y − 7 = 0，4x + my + 3 = 0 平行，则它们之间的距离是( ) A.1 B.2 C.13 10 D. 13 5 【答案】B 7. 已知点 P(2,  2)，点 M 是圆O1: x2 + (y − 1)2 = 1 4 上的动点，点 N 是圆O2：(x − 2)2 + y2 = 1 4 上的动点，则|PN| − |PM|的最大值是( ) A. 5 − 1 B. 5 − 2 C.2 − 5 D.3 − 5 【答案】D 8. 若直线 2mx − ny =− 2(m > 0, n > 0)被圆x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0 截得弦长为 4， 则 4 m + 1 n 的最小值是( ) A.9 B.4 C.1 2 D. 1 4 【答案】A 第 3页共 6页 ◎ 第 4页共 6页 2 3 2 3 2 3, , 3 3 3        二、多选题（本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目的要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3分，有选错的得 0分） 9. 能使圆 C：(x − 1)2 + (y + 2)2＝4 恰有四个点到直线 l: 2x + y + m＝0 距离等于 1， 则 m 的值可能为（ ） A.0 B.1 C. 5 D.2 5 【答案】AB 10. 下列结论正确的是（ ） A．若向量 a  =(1,1,1)，b  =（2,-2,2）， c  =(3,-1,3)，则 , ,a b c    共面 B．若直线 l 的方向向量为  1,1,1a   ，平面 的一个法向量为  1,0, 1n    ，则 / /l  C．若向量 a  =(1,1,1)，b  =（2,-2,2），则 a  在b  上的投影向量为 D．已知平面 ， 不重合，平面 的一个法向量为  1,0, 1n    ，平面 的一个法向量 为m = ( − 3,0,3), 则 //  【答案】AD 11. 已知直线 l: ( 3 + m ) x + 4y - 3 + 3m = 0（m∈R），圆 是以原点为圆 心，半径为 2的圆，则下列结论正确的是（ ） A．直线 恒过定点 ( -3 , 3 ) B．当 m = 0 时，圆 C上有且仅有两个点到直线 l的距离都等于 1 C．若圆 与曲线 x² + y² - 6x - 8y + m = 0 恰有三条公切线，则 m=16 D. 当 m=13 时，过直线 l 上一个动点 P向圆 C引两条切线 PA, PB，其中 A , B 为切点， 则直线 AB 经过点( − 16 9 , − 4 9 ) 【答案】ACD 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 （本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,  0)，(1,  1)，(2,  0)的圆的方程为________． 【答案】x²+y²-2x=0 或（x-1)²+y²=1 13.如图，60的二面角的棱上有 A，B两点，直线 AC，BD分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB．已知 4AB  ， 6AC  ，BD=7，则CD的长为________. 【答案】 59 由已知， 0 0CA AB AB BD        ， ，CD CA AB BD       , , 120CA BD     ，所以 2 2 2 2 2 2 22 2 2 6 4 7 2 6 7cos120 59CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD                           ， 14. 两圆x2 + y2 + 4x + y =− 1 与x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 的公共弦所在直线的方 程为________. 【答案】2x-y=0 四、 解答题 （本大题共 5小题，共 77 分） 15.（本题满分 13 分) 已知直线 l1: ax − by + 4 = 0 和直线 l2: (a − 1)x + y + 2 = 0， 求分别满足下列条件的 a，b 的值 （1）直线l1过点( − 3,   − 1)，并且直线l1和l2垂直 （2）直线l1和直线l2平行，且直线 l1在 y 轴上的截距为−3． 【答案】（1）a=2；b=2 (2) a=4；b=- 4 3 16.（本题满分 15 分） 已知圆 C: x2 + (y − 2)2＝5，直线 l:mx − y + 1＝0． （1）判定直线 l 与圆 C 的位置关系，并说明理由； （2）若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． 【答案】（1）相交 （2）x²+（y - 3 2 ）²= 1 4 17.（本题满分 15 分） 如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABE 平面BCDE， AE BE ，四边形 BCDE为梯形，BC DE∥ ， BC BE ， 2 3AB  ， 第 5页共 6页 ◎ 第 6页共 6页 2BC  ， 2 2CD  ， 2BE  ， BD交CE于点O，点 P在线段 AB上，且 2AP PB . (1)证明： / /OP 平面 ACD. (2)求二面角 A CD E  的正弦值. 【答案】（1）平面 ABE 平面 BCDE，且两平面交于 BE， 又 AE BE ， AE 平面 BCDE . 在 ABE 中， 2 3AB  ， 2BE  ， 2 2AE  . BC BE 且 2BC BE  ， BCE△ 是等腰直角三角形， π 4 BEC BCE   ， 2 2EC  . BC DE ∥ ， π 4 CED BCE    ， 又 2 2EC CD  ， DCE 为等腰直角三角形， 4DE  . BOC DOE∽△ △ ， 1 2 BO BC DO DE   ， 又 1 2 BP PA  ，所以 / /OP AD，OP 平面 ACD , AD 平面 ACD， / /OP 平面 ACD . （2）由（1）得 AE 平面 BCDE，且 BE DE ，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得  0,0,2 2A ，  2,2,0C ，  0,4,0D ， 即  2,2, 2 2AC   ，  0,4, 2 2AD   . 设平面 ACD的法向量为  , ,n x y z ，则 2 2 2 2 0 4 2 2 0 n AC x y z n AD y z              ，解得  1,1, 2n  . 平面CDE的法向量为  0,0,2 2EA  . 设二面角 A CD E  为 ，所以 2cos 2 n EA n EA       ， 则 2 2sin 1 cos 2     . 18.（本题满分 17 分） 已知△ ABC 的三个顶点的坐标 为 A(1,  0)，B(3,  2)，C(2,  4)．求： （1）点 D 的坐标，使四边形 ABCD 是平行四边形； （2）点 C 关于直线 AB 对称点的坐标； （3）求△ ABC 的面积． 【答案】（1）D（0,2） （2）（5,1） （3） 3 19.（本题满分 17 分）已知 M 为圆 C: x2 + y2 − 4x − 14y + 45 = 0 上任一点，且点 Q( − 2,  3)． (1)若 P(a,  a + 1)在圆 C 上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率； (2)求|MQ|的最大值和最小值； (3)若 M(m,  n)，求n−3 m+2 的最大值和最小值． 【答案】 (1) P(a,a+1)在圆上 ∴a²+(a+1)²-4a-14(a+1)+45=0 a²-8a+16=0 (a-4)²=0 a=4 ∴P(4,5) |PQ|=√[(4+2)²+(5-3)²]=2√10 PQ 斜率 =(5-3)/(4+2)=2/6=1/3 (2) x²+y²-4x-14y+45=0 (x-2)²+(y-7)²=8 圆心是(2,7) Q 到圆心距离 =√(-2-2)²+(3-7)² =4√2 ∴ |MQ|最大值=4√2+R=6√2 |MQ|最小值=4√2-R=2√2 (3) (n-3)/(m+2) 表示圆上任意一点与定点 Q 连线的斜率 当连线与圆相切时 设过 Q 的直线 y=k(x+2)+3 直线方程是 kx-y+2k+3=0 圆心到切线距离=半径 ∴|2k-7+2k+3|/√(1+k²)=2√2 解得 k=2-√3 或 k=2+√3 ∴连线的斜率取值范围是[2-√3,2+√3] (n-3)/(m+2)的最大值=2+√3 最小值=2-√3 第 1页共 4页 ◎ 第 2页共 4页 2 3 2 3 2 3, , 3 3 3        2024-2025 学年第一学期第二次考试 高二数学试卷 第 I 卷 选择题（共 58 分） 一、 单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目的要求） 1. “m = 3”是“直线 mx+ 2y + 3m = 0 和直线 3x + (m − 1)y − m+ 7 = 0 不 重合而平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知向量 ( 1,0,3), (1, 1,1), ( 1, 2 ,1)a b c x       ，若 ( ) / /a b c   ，则实数 x （ ） A． 1 4 B． 1 4  C． 1 2 D． 1 2  3. 已知 ab < 0，bc > 0，则直线 ax + by + c＝0 通过（ ）象限 A.第一、二、三 B.第一、二、四 C.第一、三、四 D.第二、三、四 4.正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为 AB中点，则直线 1AE， 1C D所成角的余弦值为（ ） A． 15 15 B． 10 10 C． 1 2 D． 3 3 5. 已知线段 AB 两端点的坐标分别为 A −2,3 和 B 4,2 ，若直线 l: x + my + m − 1 = 0 与线段 AB 有交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A. −∞, − 1 ∪ 3 4 , +∞ B. −1, 3 4 C. −1, 3 4 D. −∞, − 1 ∪ 3 4 , +∞ 6. 已知直线 4x + 3y − 7 = 0，4x + my + 3 = 0 平行，则它们之间的距离是( ) A.1 B.2 C.13 10 D. 13 5 7. 已知点 P(2,  2)，点 M 是圆O1: x2 + (y − 1)2 = 1 4 上的动点，点 N 是圆O2：(x − 2)2 + y2 = 1 4 上的动点，则|PN| − |PM|的最大值是( ) A. 5 − 1 B. 5 − 2 C.2 − 5 D.3 − 5 8.若直线 2mx − ny =− 2(m > 0, n > 0)被圆x2 + y2 + 2x − 4y + 1 = 0 截得弦长为 4， 则 4 m + 1 n 的最小值是( ) A.9 B.4 C.1 2 D. 1 4 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目的要求，全部选对得 6分，部分选对得 3 分，有选错的得 0分） 9. 能使圆 C：(x − 1)2 + (y + 2)2＝4 恰有四个点到直线 l: 2x + y + m＝0 距离等于 1， 则 m 的值可能为（ ） A.0 B.1 C. 5 D.2 5 10. 下列结论正确的是（ ） A．若向量 a  =(1,1,1)，b  =（2,-2,2）， c  =(3,-1,3)，则 , ,a b c    共面 B．若直线 l 的方向向量为  1,1,1a   ，平面 的一个法向量为  1,0, 1n    ，则 / /l  C．若向量 a  =(1,1,1)，b  =（2,-2,2），则 a  在b  上的投影向量为 D．已知平面 ， 不重合，平面 的一个法向量为  1,0, 1n    ，平面 的一个法向量 为m = ( − 3,0,3), 则 //  第 3页共 4页 ◎ 第 4页共 4页 11. 已知直线 l: ( 3 + m ) x + 4y - 3 + 3m = 0（m∈R），圆 是以原点为圆 心，半径为 2的圆，则下列结论正确的是（ ） A．直线 恒过定点 ( -3 , 3 ) B．当 m = 0 时，圆 C上有且仅有两个点到直线 l的距离都等于 1 C．若圆 与曲线 x² + y² - 6x - 8y + m = 0 恰有三条公切线，则 m=16 当 m=13 时，过直线 l 上一个动点 P向圆 C引两条切线 PA, PB，其中 A , B 为切点， 则直线 AB 经过点( − 16 9 , − 4 9 ) 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 （本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,  0)，(1,  1)，(2,  0)的圆的方程为________． 13.如图，60的二面角的棱上有 A，B两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB．已知 4AB  ， 6AC  ，BD=7，则CD的长为________. 14. 两圆x2 + y2 + 4x + y =− 1 与x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 的公共弦所在直线的方 程为________. 四、 解答题 （本大题共 5小题，共 77 分） 15.（本题满分 13 分) 已知直线l1: ax − by + 4 = 0 和直线l2：(a − 1)x + y + 2 = 0， 求分别满足下列条件的 a，b 的值 （1）直线l1过点( − 3,   − 1)，并且直线l1和l2垂直 （2）直线l1和l2平行，且直线 l1在 y 轴上的截距为−3． 16. （本题满分 15 分） 已知圆 C: x2 + (y − 2)2＝5，直线 l:mx − y + 1＝0． （1）判定直线 l 与圆 C 的位置关系，并说明理由； （2）若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． 17.（本题满分 15 分） 如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABE 平面BCDE， AE BE ，四边形 BCDE为梯形，BC DE∥ ， BC BE ， 2 3AB  ， 2BC  ， 2 2CD  ， 2BE  ， BD交CE于点O，点 P在线段 AB 上，且 2AP PB . (1)证明： / /OP 平面 ACD. (2)求二面角 A CD E  的正弦值. 18.（本题满分 17 分） 已知△ ABC 的三个顶点的坐标 为 A(1,  0)，B(3,  2)，C(2,  4)．求： （1）点 D 的坐标，使四边形 ABCD 是平行四边形； （2）点 C 关于直线 AB 对称点的坐标； （3）求△ ABC 的面积． 19.. （本题满分 17 分）已知 M 为圆 C: x2 + y2 − 4x − 14y + 45 = 0 上任一点，且点 Q( − 2,  3)． (1)若 P(a,  a + 1)在圆 C 上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率； (2)求|MQ|的最大值和最小值； (3)若 M(m,  n)，求n−3 m+2 的最大值和最小值．