浙江省台金七校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第二学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题：张宇豪（台州市路桥中学）陈茂慧（台州市路桥中学） 审题：虞海潮（台州中学东校区） 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答愿前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求。 1.已知集合A={x∈N1≤x≤4}，集合B={yy≥2}，则A∩B=（) A[2,4] B.[2,+o∞) c.{2,4 D.{2,3,4} 2.函数f问=2-的定义城为( Inx A.(0,1)U1,2] B.(-∞，2] c.（-o,0u(0,2] D.(0,2] 3.C+C%+C+C+C=() A.100 B.110 C.120 D.130 4.命题“∀x∈R,ax2-2x+1>0恒成立”的一个充分不必要条件是( A.a>0 B.a>1 C.0ca D.a>2 5.关于下列命题，其中不正确的是() A.若E(X)=2,则E(2X+1)=5 B若D(X)=3,则D(2X+1)=12 C已随机变盘X-4引 则E(X)=2,D(X)=1 D.已知随机变量5-N4若P5之6)=则P(4<5<6)= 高二数学学科试题第1页（供4页） 6.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，照球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出 的球不再放回，则在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是() 7 7 5 B 15 D 14 7、已知函数f(x)log2x,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(m),若m+n= 则f)在 区间[m2,川上的最大值为) 5 A.2 B. C.1 D. 1 2 8.某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人， 并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍 数，则两位负责人的选取方法种数是() A.55 B.66 C.78 D.132 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知(3x+1)的展开式中含x2项的系数为324，若(3x+1)”=a。+ax+a2x2+…+anx”, 则() A.n=9 B.a4=10206 C.41+a2+…+an=4" D.当x=4时，(3x+1)被6除的余数为1 10.已知函数()=子--3x,其导函数为y=∫()，下列说法正确的是（) A. 函数y=f(x)的单调递减区间为(-1,3) B.i 函数y=f(x)的极小值是-9 C.函数y=∫(x)的图象有一条切线方程为y=-3x-1 D.点，-号)是曲线y=)的对称中心 11.食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1,2,3的三个食物格子，其中1号格 子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡已知汉 堡完全一样，鸡腿也完全一样已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中 中装入2个汉堡的记为事件A,装入2个鸡腿记为事件B,装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C, 事件D,(i=1,2,3)表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（) AP(aD)=月 BP-号 cP(c)-3 D.P(CID)=0 高二数学学科试题第2页（共4页） 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=f"(孕sinx-cosx,则f"(空)=_ 13.已知x>0,y>0,且x+y=1,则t+3+上的最小值是 x y 14.已知f(x)是定义域为(0，+o)的函数，且满足f(x)+f"(x)=e*,f(1)=1, 则不等式f(x)≤log2e的解集是， 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 在五一小长假期间，要从5人中选出若干人在5天假期中值班（每天只需一人值班）. (1)若每人都只安排一天值班，要求甲不排在1号，乙不排在5号，求所有可能的安排方式种数 (2)若不出现同一人连续值班2天，求所有可能的安排方式种数； 16.(本小题满分15分) 已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次， 每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球 (1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率： (2)设4次揽球中，摸出白球的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望E(X). 高二数学学科试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sinx+n(x+l): (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； (2)若不等式e+f(x)≥ar+l在[0，oo)上恒成立，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号 为1,2,3，“，n,选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小 于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为P. (1)求R,乃，乃的大小： (2)求概率Pn,P,Pn-2满足的关系式： (3)记概率P的值构成的数列为{P}(n∈N),求P的最大值与最小值， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2+ax-2r,g()=0-a)x2+ar+1-fx(aeR). (1)若函数f(x)在区间[，2]上是减函数，求实数a的取值范围： (2)若存在正数x,使g(x)≥0成立，求实数a的取值范围； (3)若0<，<x2,证明：对任意的ae(0,+∞)，存在唯一的实数∈(，为2)， 使得g()=8五)-81成立 为一为 高二数学学科试题第4页（共4页）2024学年第二学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科参考答案2025.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求。 题号 2 3 5 6 > 8 答案 D B D D C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BD 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。 12.5 13.8 14.(0,ln2] 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)用间接法可得，所有可能的安排方式种数为 4-2A+4=120-48+6=78种：…6分 (2)由题意可知1号有5种排法，其余4天的排法有4种，…10分 所以所有可能的安排方式种数为5×44=1280种.…13分 16.(本小题满分15分) 解：1)从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，2。=} 4+23 …1分 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为，2 2+22’ …2分 设“4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A,则“4次摸球中，摸出的都是红球”为事件A,且 P(团-(---g所以P(利=1-P(国列=I-gg…7分 (2)X的所有可能取值为0,12,34，由1)得P(X=0)=P(A)=。, x==c-+xc》 高二数学学科参考答案与评分标准第1页（共4页） x=2-1-+司+c-}c-} x=-周c-》+c-》-6 Px=到得6 …12分 所以X的分布列为 X 0 1 3 1 1 13 1 9 36 1-6 36 所以E(X)=01写2x+3x+4 5 3 ……15分 36 6 363 17.(本小题满分15分) 解：(1)当x=0时，f(0)=0, …分 又f(闭osx+则k=f0)=os0 =2,…5分 0+1 所以曲线y=f(x)在O(0,0)处的切线方程为y=2x…7分 (2)令g(x)=e*-x-l,g'(x)=e*-1,易得g(x)在(0，+oo)单调递增， 故g(x)≥g(0)=0,所以e*2x+1, …9分 令F(x)=e+sinx+n(x+l)-ac-1,有F(0)=0, XF(x)-e+cosx+-I-a.F(0)=3-a.F*(x)=e'-sinx- x+1 x+12 所以F"(x)=e-sinx- x+1-sinx- 20, (x+1 (r+ 故F八(x)在[0，十0)上单调递增，…12分 当a≤3时，F'(x)≥F'(0)=3-a20,此时F(x)在(0，+o)上单调递增， 即e+f(x)2ax+1恒成立. 当a>3时，F'(0)=3-a<0,而F'(x)在[0，+o)上单调递增， 高二数学学科参考答案与评分标准第2页（共4页） 且当x→+o时，F'(x)→+∞， 故存在x∈(0，+∞)使得F'(x)=0,故当x∈(0，x)时，F'(x)<0, 此时F(x)在x∈(0，x)单调递减，此时F(x)≤F(O)=0,与题设矛盾。 综上所述，a≤3. …15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)记事件“A=掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“A=掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得团=后P0=故R=P团 5 …2分 6 6 185 :…4分 6 6 216 .1 2)卫=2P+B28 …7分 6 (3)由(2)有6P=5Pn+Pn-2,即6Pn+P=6Pn+Pn2,(n≥3，n∈N) 所以6C+P=6那+P:=…=63+月=6，pR=名+110分 设P+2=-+),解得及=号R-号 61 ≠0， 所以P引为等比数列，公比为-的等比数列， 所以（君，所双2-(+号 …13分 当为偶数时，-号斗宁（-+分>号由于单调造减。 P= 1111 1296 <B= 3别，“最大值为B=3别 36 6 当加为奇数时，月-号与（宫号由于化；单调递指， 6 >R= ,最小值为乃= 6 6 综上，的最大值为 31 6’最小值为7…17 19.(本小题满分17分) 解：(1)f(x)在区间[1,2]上为减函数，在区间[，2]上f(x)≤0， 高二数学学科参考答案与评分标准第3页（共4页） $$\therefore f ' \left( x \right) = 2 x + a - \frac { 2 } { x } \le 0 \Rightarrow a \le \frac { 2 } { x } - 2 x ，$$ 令 $$h \left( x \right) = \frac { 2 } { x } - 2 x ，$$ 只需 $$a \le h \left( x \right) _ { \min } ，$$ 显然 则h( $$h \left( x \right) = \frac { 2 } { x } - 2 x$$ 在区间 [1，2] 上为减函数， $$\therefore h \left( x \right) _ { \sin n } = g \left( 2 \right) = 1 - 4 = - 3 ， \therefore a \le - 3 ；$$ .....4分 (2)由题意得 $$g \left( x \right) = 2 \ln x - a x ^ { 2 } + 1 \left( a \in R \right) ，$$ $$\lg ^ { ' } \left( x \right) = \frac { 2 \left( 1 - a x ^ { 2 } \right) } { x } = \frac { 2 } { x } - 2 a x ，$$ 若 a≤1， ，由于 g(1)=1-a≥0， ，故存在正数 x=1 使得； g(x)≥0， ，条件满足； 若 a> 1， ，令g $$g ' \left( x \right) = \frac { 2 } { x } - 2 a x = 0 ，$$ ，则 $$x = \frac { 1 } { \sqrt a } ，$$ 可知 g(x)在 $$\left( 0 ， \frac { 1 } { \sqrt a } \right]$$ 上单调递增，在 $$\left[ \frac { 1 } { \sqrt a } ， + \infty \right)$$ 上单 调递减，从而此时对任意的 x>0 $$g \left( x \right) \le g \left( \frac { 1 } { \sqrt a } \right) = 2 \ln \frac { 1 } { \sqrt a } - 1 + 1 = - \ln a < 0 ，$$ =-In a<0， 条件不满足. 综上， a 的取值范围是 (-∞，1]； ..........................................................................8. (3)设 $$0 < x _ { 1 } < x _ { 2 } ， a \in \left( 0 ， + \infty \right) ，$$ 下面分唯一性和存在性两方面来证明： 唯一性：由 $$且 g ' \left( x \right) = \frac { 2 } { x } - 2 a x ，$$ ，知 g'(x) 的导数等于 $$- \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - 2 a ，$$ 而 a>0， 故 $$- \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - 2 a$$ 显然恒为负，从而 g'(x) 在 (0，+∞) 上单调递减，特别地， g'(x) )在 $$\left( x _ { 1 } ， x _ { 2 } \right)$$ 上单调递减， 这表明，使得 $$g ' \left( x _ { 0 } \right) = \frac { g \left( x _ { 2 } \right) - g \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } }$$ $$x _ { 0 } \in \left( x _ { 1 } ， x _ { 2 } \right)$$ 至多有一个，从而唯一性得证.…......10分 存在性：先考虑函数 φ(t)=t-1-lnt， ，这里>0.由于 $$\varphi ' \left( t \right) = 1 - \frac { 1 } { t } = \frac { t - 1 } { t } ，$$ 故当 0<t<1 时 φ'(t)<0， ，当t>1时 φ'(t)>0， 从而 φ(t) 在 (0，1) 上单调递减，在 (1，+∞) 上单调递增， 从而对于任意的 t∈(0，1)∪(1，+∞)， ，都有 φ(t)>φ(1)=0， ，即 t-1-lnt>0. 这就得到，对任意 t∈(0，1)∪(1，+∞)， 有 t-1 >Int. 从而，对任意的 0< <1， ，都有 $$\frac { \ln t } { t - 1 } > 1 ；$$ 而对任意的 t>1， ，都有 $$\frac { \ln t } { t - 1 } < 1 .$$ .............12分 然后回到原题，首先有 $$\frac { g \left( x _ { 2 } \right) - g \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } = \frac { \left( 2 \ln x _ { 2 } - a x _ { 2 } ^ { 2 } + 1 \right) - \left( 2 \ln x _ { 1 } - a x _ { 1 } ^ { 2 } + 1 _ { 2 } x - a \left( x _ { 2 } ^ { 2 } - x _$$ x x 同时又有 $$g ' \left( x _ { 1 } \right) = \frac { 2 } { x _ { 1 } } - 2 a x _ { 1 } > \frac { 1 _ { x _ { 1 } } { x _ { 1 } } } { x _ { 1 } } - 2 a _ { 1 - 1 } = \frac { 2 \ln \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } } - 2 \ln x _ { 1 } } { x _ { 2 }$$ )， $$x _ { 1 }$$ $$g ' \left( x _ { 2 } \right) = \frac { 2 } { x _ { 2 } } - 2 a x _ { 2 } \le \frac { 2 } { x _ { 2 } } ： \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } - 1 } - 2 a x _ { 2 } = \frac { 2 \ln x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 1 } } - 2 a _ { 1 } x _$$ $$x _ { 2 }$$ $$g ' \left( x _ { 1 } \right) > \frac { g \left( x _ { 2 } \right) - g \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } > g ' \left( x _ { 2 } \right) .$$ 高二数学学科参考答案与评分标准第4页(共4页) 由零点存在定理，知一定存在无∈(G,),使得g(化)8s)-8】 2-x1 综合上述的存在性和唯一性两个方面， 知存在唯一的七(G,),使得g化)=8伍)上8 …17分 x2-x 高二数学学科参考答案与评分标准第5页（共4页）