浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题

数学试题 1 2 3 4 5 6 7 8 A c C B A B D D 9 10 11 AC BCD ABD 1I【答案】ABD 【解析】对A:取AB中点N易得：平面CNF//平面ADE,故CF//平面ADE,A正确： 对B:延长AE,BC交于点H,连接FH交CD'于点M(中线交点)，所以2CM=D'M,B正确 对C:2AECD=AD2+CE2-AC2-ED2-1+1-5-ED2≠0，故C错误： 对D:由AD⊥BD',可得：BD'=√5，由勾股易得：DO⊥平面ABCE,计算得：CD'=√5， 将△ADB与△CD'B放到同一平面，由余弦定理易得：AF+CF24C=4+ V33 ,故D正确 3 D 图2 12【答案】42 13【答案】6 14【答案】6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知复数=1+bi(b∈R,i为虚数单位)， 一2是纯虚数。 1+i (1)求复数 (2)若复数：=2：-1是关于x的方程x2+mr+n=0的根，求实数m和n的值. 【解析】(1)因为z=1+bi(b∈R), 可得2_-1_i-10-)_b-1b+1, 1+11+10+00-02+21 又由-2是纯虚数，可得=0，解得b=1,所以：=1+i 1+i 2 …6分 (2)法一：因为3=2z-1=1+2i是方程x2+r+n=0(m,n∈R)的根， 所以(1+2i)?+a(1+20+b=0,即a+b-3+(2a+4)1=0, 可得4+2m=0, m+n-3=0, 解得m=-2,n=5e .13分 法二：5=2：-1=1+2i是方程x2+mr+n=0(m,n∈R)的根，所以另一根为52==1-2i 由韦达定理可得： 2=-m m=-2 …13分 5=n n=5 16. 径ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D且{+1-日 b c AD (1)求角A: (2)若a=2,求△ABC面积的最大值 【解折D由等面积可得：Sac=Sao+SaD二c如4=c4sn子6M0s血 整理得： 2as25 故2c0s=5=A= b c 3 8分 AD AD 2 SC=5ic,由余弦定理可得：a=+c2-2 bccosA三4=b+c2-bc≥bc,即SA 4 ..15分 17. 已知函数(x)=2+ D解方程-号 (2)若f(3x)-mf(x)20恒成立，求m的取值范围 【解折】D令2r=1,则-号1+1=01=3域x=lg:3诚g号 7分 a)心-2+女-(+2产1*) 故2-1+上m,即（2-1+)≥m→m1 ….15分 18.如图，己知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面ADEF⊥平面 ABCD,AB//CD,AB L AD,AD=CD=2AB=2 (1)证明：平面ABF/I平面CDE: (2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE: (3)当DE=2时，求平面BCF与平面ECF夹角的正弦值， E A .D ● 【解析】(1)由ADEF为矩形可得：AF/IDE,又AB/ICD,且AB∩AF=A,CD∩DE=D, 故平面ABF/I平面CDE: ….4分 (2)如图，取CD中点M,连接BM,EM,因AD/BM/IEF=BF/IEM, 所以∠CEM即为异面直线BF与CE所成角的平面角：设DE=a, 处理一：（正切和差公式） 21 tan∠CEM=tan(∠CED-∠MED)=a,a.=- a s,a= 21a2+22W2a 2,当且仅当a=反时取等。 1+· aa 处理二：（余弦定理） Cos∠CEM= a2+4+a2+1-1a2+2 a -1_22 ,当且仅当a=5时取等。 2Na2+4Va2+1a+5a2+4 a2+5a2+4 9 3 处理三：（空间对棱向量夹角公式） COS<BF,CE>= BE+FC2-BC2-FE a2+2 a2 2 BF CE Na+5a2+4 a+5a2+4 93 当且仅当a=√2时取等。（注明：使用此公式务必要证明，无证明适当扣分） 处理四：（米勒最大张角问题） 由圆幂定理可得：过C,E,M三点的圆与DE相切，即DE2=DM,DC一a2=12一a=√2。 ……10分 (3)过点E作EN⊥FC,即平面BCF与平面ECF所成角即为直线EN与平面BCF所成角 因DE=2,BN=EF,EC=26,设点E到面BCF的距离为h, CF 3 V-nc-Vu-wr-Vr-ncu (其他方法也相应给分) ..17分 19.向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛 的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用。它们通过向量的运 算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题其中数量积的运算就很好的解决了物理中 做功的概念，其运算结果是一个实数。向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量 的叉积（外积），记作：a×b, 规定：①a×b为同时与a,b垂直的向量，且与b×a为相反向量； ②ax=d5sin<a,b>(<a,i>为向量a与b的夹角)： (1)证明： x=同网-(a-: (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体ABCD-ABCD,且∠BAD=∠BA4=∠AAD=60°， 计算(AB×AD)AA的值，并解释其几何意义 (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面4，a2,a,a,上，且两相邻平行平面距离 为1，求四面体的棱长 19.【解析】(1)左边由定义可得：a×=sin<a,b> 右边-(a--武矿-时cos2<a,6>=sm2<a,6>=sim<a.6>左边. …5分 (2)设AB=a,AD=b,AA=c,由定义可得底面ABCD的面积为：S4n=后×， 又因a×b为同时与a,b垂直的向量，故a×b为底面ABCD的法向量， (axB).c 则平行六面体的体高为：h 所以平行六面体的体积为：V=ax (axb).c a× axb axd, 又因∠BAD=∠BAA=∠AAD=60°，故点A在底面的投影为ABD的重心， 易得m<6:列 即r=ax列-sm<ab>es<6xc5.6.巨 232 即(ax)d表示以向量a,万，c构成的平行六面体的体积 11分 (3)如图，设正四面体ABCD的棱长为I,其中A∈a,B∈a4,C∈a,Dea 设AB=a,AC=i,AD=c,且平面a,与AC交于C,与AD交于D, 故有4C=6,0-,又由(2)可得： m-6可g月月月m<a6>m<6晋 wa君ax)ox-号， 同理aAa君c×m--小传-d小 由1)可得：x-武时-a-, 所以-可-+-6-款，传-j-甘+f-0c-g, -小-d小5.e-6-e+-, 所以ar号r-含-瓷，即-号1=而 ,17分绝密★考试结束前 2024学年第二学期台金七校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：永康外国语学校 审题学校：黄岩中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={-3,-1,12,3},B={xx2-2x-3=0,则AnB=() A.{-13} B.{-3,1 C.3 D.{-3} 2.己知复数(1-i)z=2(i为虚数单位)，则：=() A.i B.-i C.1+i D.1-i 3.在△ABC中，BC=3BD,则AC=( A.4AD-3AB B.3AD-4AB C.3AD-2AB D.2AD-3AB 4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该 40 cm 书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天 池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”；如图“竹器验 雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积 雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图（注意：单位cm),则平地降 0 雪厚度的近似值为() 97 A.12cm B.95 cm c. 31 91 4cm D. 13cm 5.已知平面a,B,直线Ica,直线m文a,下列说法正确的是() A.若a/1B,m⊥B,则1⊥m B.若a11B,11/m,则m/1B C.若a⊥B,m/1B,则111m D.若1⊥m,m/1B,则a⊥B 6.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠OAE+∠OBE+∠OCE+∠ODE=() 高一数学学科试题第1页（共4页） A.I B. 6 4 C. 3 7.已知a2”=blog2b=1,则下列不正确的是（) A.2“+a=b+log,bB.a+b=2°+log,b C.ab=1 D.a+b=2 8.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长 为2，在该大正方体内放置一个棱长为α的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动， 则a的最大值为() 4.3 B.6 2v6 3 3 c.25 D. 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,x),则下列正确的是() A.a=5 B.若a⊥b,则x=-4 C.当x=2时，则向量a在向量6上的投影向量为)6 D.若向量a与向量b夹角为钝角，则x∈(-o,) I0.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若a=4,b=10,A=T,则满足条件的三角形有两个 B.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC为锐角三角形 C,若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC D.若a=3,b=2c,则△ABC的面积最大值为3 11.如图1，矩形ABCD,已知AB=2,AD=1,E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如 图2四棱锥D'ABCE,点F是线段D'B上（不含端点）的动点，则下列正确的是() 图1 A.当F为中点时，CFII平面ADE B.当F为中点时，过点A,E,F的截面交CD'于点M,则2CM=D'M C.在翻折过程中，存在一个位置使得AE⊥CD D.当D⊥D时，AF+CF的最小值为，4+国 3 高一数学学科试题第2页（共4页） 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，若斜边长为2√2的等腰直角△AB'C(B'与O'重合)是水 平放置的△ABC的直观图，则△ABC的面积为一 /O1B) 13.已知向量同=2=2，且向量a与向量6的夹角为，则(2)(36) 14.已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a,求直线a与直线DA所成角的 正弦值最小为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知复数：=1+bi(b∈R,i为虚数单位)， -2是纯虚数。 1+i (1)求复数： (2)若复数：=2z-1是关于x的方程x2+r+n=0的根，求实数m和n的值. 16、在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,B,c,角A的角平分线交BC于点D且上+-日 b c AD (1)求角A: (2)若a=2,求△ABC面积的最大值 17已知函数fy)=2+ 2 1)解方程/倒-号 (2)若f(3x)-mf(x)≥0恒成立，求m的取值范围. 高一数学学科试题第3页（共4页） I8.如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面ADEF⊥ 平面ABCD,AB/ICD,AB⊥AD,AD=CD=2AB=2. (1)证明：平面ABF//平面CDE: (2)当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE: (3)当DE=2时，求二面角B-CF-E的正弦值 E :A 19.向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有 着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用。它 们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题其中数量积的运算 就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数。向量在空间中还有一种运算，其 运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：a×. 规定：①a×b为同时与a,b垂直的向量，且与b×a为相反向量： ②a×6=absin<a,6>(<a,b>为向量a与6的夹角)； (1)证明：x=d-(a： (2)如图，己知棱长均为1的平行六面体ABCD-AB,C,D,,且 ∠BAD=∠BA4=∠AAD=60°，计算AB×ADAA的值，并解释其几何意义， (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面α，a2,a,a,上，且两相邻平行 平面距离为1，求该四面体的棱长 D 高一数学学科试题第4页（共4页）