浙江省绍兴市诸暨市浣东共同体2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题

浙江省诸暨市浣东共同体2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2 3．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．100° D．120° 4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣2）2＝13 C．（x+2）2＝9 D．（x+2）2＝13 5．一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数a，一定不会发生变化的统计量是（　　） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 6．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 7．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 9．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（　　） A．方程一定有实数根 B．当m取某些值时，方程没有实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程一定有两个不相等的实数根 10．如图，在▱ABCD中，以BC和AD为斜边分别向内作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADG，延长BE和DG分别交AG和CE于点H和F，直线FH分别交AD和BC于点I和J．若四边形EFGH是正方形，▱ABCD的面积为S，下列哪条线段的长度不能用S来表示（　　） A．AB B．BC C．CE D．IJ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．　 　 ． 12．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 　 　 ． 13．某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形沿EF翻折，使点C与点A重合，点B落在B′处，折痕与DC，AB分别交于点E，F，则DE的长为 　 　 ． 15．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，当点D，F，E，C相邻两点间的距离相等时，则的值为 　 　 ． 16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1； ④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　 　 ． 三、解答题（第17-22题各6分，第23、24每题8分，共52分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解方程： （1）（x﹣4）2＝9； （2）x2﹣2x﹣8＝0． 19．（6分）我们把小正方形的顶点叫做格点，每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的8×6方格纸中，点A，B均为格点，请画出符合要求的格点四边形． （1）在图1中画出一个以AB为边的矩形； （2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当BE＝3，AF＝5时，求AC的长． 21．（6分）甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩（单位：分）统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请解答下列问题： 1 2 3 4 5 甲 80 40 70 50 60 乙 70 50 70 a 70 （1）a＝ 　 　 ，甲同学成绩的中位数是 　 　 分； （2）小林计算出甲同学成绩的平均数为60分，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更好． 22．（6分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF． 23．（8分）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 24．（8分）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH． （1）求证：△ABH≌△HEF； （2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长； （3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长． 浙江省诸暨市浣东共同体2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A D C D A A 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 3．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝2：1，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．100° D．120° 【分析】由平行四边形的对边平行结合条件可求得∠A，则可求得∠C的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝2：1， ∴∠C＝∠A＝120°， 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键． 4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝9 B．（x﹣2）2＝13 C．（x+2）2＝9 D．（x+2）2＝13 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣9＝0， ∴x2﹣4x＝9， 则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．一组数据1，1，1，3，4，7，12，若加入一个整数a，一定不会发生变化的统计量是（　　） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论． 【解答】解：A、原来数据的众数是1，加入一个整数a后众数仍为1，符合题意； B、原来数据的平均数是，加入一个整数a，平均数一定变化，不符合题意； C、原来数据的中位数是3，加入一个整数a后，如果a≠3中位数一定变化，不符合题意； D、原来数据的方差加入一个整数a后的方差一定发生了变化，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 6．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项． 【解答】解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形时菱形，A不符合题意． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故B不符合题意． C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故C不符合题意． D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题是考查菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面． 7．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣3 B．9﹣3 C．33 D．32 【分析】根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两个相邻的正方形，面积分别为3和9， ∴两个正方形的边长分别为，3， ∴阴影部分的面积（3）＝33． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，正方形的性质，是基础题，熟记概念并求出两个正方形的边长是解题的关键． 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，由平行线的性质推出∠APD＝∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP＝∠CDP，因此∠ADP＝∠APD，推出AP＝AD＝4，求出PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，由三角形中位线定理得到OEPB＝1.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB， ∴∠APD＝∠CDP， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP， ∴∠ADP＝∠APD， ∴AP＝AD＝4， ∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3， ∵O是BD中点，E是PD中点， ∴OE是△DPB的中位线， ∴OEPB＝1.5． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出AD＝AP，由三角形中位线定理推出OEPB． 9．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（　　） A．方程一定有实数根 B．当m取某些值时，方程没有实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程一定有两个不相等的实数根 【分析】根据定义的公式化简x※（mx）＝﹣1解题即可． 【解答】解：∵a※b＝ab+a+b， ∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1， 由mx2+（m+1）x＝﹣1得 mx2+（m+1）x+1＝0， ①若m＝0，解得：x＝﹣1， ②若m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0， ∴方程一定有实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别情况，关键是从定义出发得出一元二次方程进行根的判断． 10．如图，在▱ABCD中，以BC和AD为斜边分别向内作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADG，延长BE和DG分别交AG和CE于点H和F，直线FH分别交AD和BC于点I和J．若四边形EFGH是正方形，▱ABCD的面积为S，下列哪条线段的长度不能用S来表示（　　） A．AB B．BC C．CE D．IJ 【分析】设AH＝a，HG＝b，则AG＝a+b，根据△ADG是等腰直角三角形表示出AD的长，再证得△AIH、△CFJ是等腰直角三角形，得出IJ是AD边上的高，根据平行四边形的面积公式计算得出结果，然后逐项分析即可． 【解答】解：设AH＝a，HG＝b， ∴AG＝AH+HG＝a+b， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵以BC和AD为斜边分别向内作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADG， ∴Rt△BCE≌Rt△ADG，∠DAG＝45°， ∴BE＝GD＝AG＝CE，， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝FG＝GH＝EH，∠EHG＝∠AHB＝∠EFG＝∠CFD＝90°，∠EHF＝∠GHF＝45°， ∴BE+EH＝DG+FG， 即BH＝DF， 在Rt△AHB和Rt△CFD中， ， ∴Rt△AHB≌Rt△CFD（HL）， ∴CF＝AH＝a， ∵∠AHB＝90°，∠EHF＝45°， ∴∠AHI＝45°， ∵∠DAG＝45°， ∴△AHI是等腰直角三角形且∠AIH＝90°， 由勾股定理得， 同理得△CFJ是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 在等腰直角△FGH中，由勾股定理得， ∴， ∴S平行四边形ABCD＝AD•IJ ＝2（a+b）2， ∴， ∴，，，AB的长度无法用S来表示， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出平行四边形的面积是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．　2　 ． 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 12．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 　∠B＝∠C　 ． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【解答】解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”， 应假设∠B＝∠C， 故答案为：∠B＝∠C． 【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 13．某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 　400（1﹣x）2＝288　 ． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：400（1﹣x）2＝288． 故答案为：400（1﹣x）2＝288． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形沿EF翻折，使点C与点A重合，点B落在B′处，折痕与DC，AB分别交于点E，F，则DE的长为 　　 ． 【分析】设DE＝x，则CE＝8﹣x，根据折叠的性质知：CE＝8﹣x．在直角△AED中，利用勾股定理列出关于x的方程并解答即可． 【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB＝DC＝8，AD＝6． 设DE＝x，则CE＝8﹣x， 根据折叠的性质知：CE＝8﹣x． 在直角△AED中，由勾股定理得：AD2+DE2＝AE2，即62+x2＝（8﹣x）2． 解得x． 即DE的长为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题时，借用了方程思想，求得了相关线段的长度． 15．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，当点D，F，E，C相邻两点间的距离相等时，则的值为 　　 ． 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到DE＝AD，同理BC＝CF，求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD， 同理BC＝CF， ∴AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1； ④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　②③④　 ． 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0，故①错误； 若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； 若a﹣b+c＝0，则ax2+bx+c＝a﹣b+c，即：ax2﹣a+bx+b＝0 ∴a（x﹣1）（x+1）+b（x+1）＝0，即：（x+1）[a（x﹣1）+b]＝0， ∴它有一根为﹣1，故③正确； 若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4a2+8ac+4c2+5c2， 即：Δ＝4（a+c）2+5c2， ∵a≠0，∴Δ＝4（a+c）2+5c2＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：②③④． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形． 三、解答题（第17-22题各6分，第23、24每题8分，共52分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ＝3 ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（6分）解方程： （1）（x﹣4）2＝9； （2）x2﹣2x﹣8＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）∵（x﹣4）2＝9， ∴x﹣4＝3或x﹣4＝﹣3， 解得x1＝7，x2＝1； （2）∵x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， 则x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． 19．（6分）我们把小正方形的顶点叫做格点，每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的8×6方格纸中，点A，B均为格点，请画出符合要求的格点四边形． （1）在图1中画出一个以AB为边的矩形； （2）在图2中画出一个以AB为对角线的菱形． 【分析】（1）直接利用网格结合矩形的性质分析得出答案； （2）直接利用网格结合菱形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示：矩形ABCD即为所求； （2）如图2所示：菱形ACBD即为所求． ． 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握菱形与矩形的性质是解题关键． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E、F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当BE＝3，AF＝5时，求AC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可以得到EC＝EA，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA＝90°，然后根据矩形的性质和平行线的性质，可以得到∠ECO＝∠FAO，从而可以证明△EOC和△FOA全等，即可得到EC＝FA，再根据EC∥FA，EC＝AE，即可证明结论成立； （2）根据菱形的性质、勾股定理，可以求得AC的长． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴EC＝EA，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴EC∥AF，∠ECO＝∠FAO， 在△EOC和△FOA中， ， ∴△EOC≌△FOA（ASA）， ∴EC＝FA， ∵EC∥FA，EC＝AE， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）知，四边形AECF是菱形， ∴AE＝EC＝AF＝5， ∵四边形ABCD是矩形，BE＝3， ∴∠B＝90°，BC＝BE+EC＝8， ∴AB4， ∴AC4． 【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21．（6分）甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩（单位：分）统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请解答下列问题： 1 2 3 4 5 甲 80 40 70 50 60 乙 70 50 70 a 70 （1）a＝ 　40　 ，甲同学成绩的中位数是 　60　 分； （2）小林计算出甲同学成绩的平均数为60分，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更好． 【分析】（1）用甲的总成绩减去乙第1、2、3、5次的成绩可得a的值，再根据中位数的定义即可求解； （2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案； （3）平均数相同时，根据方差的意义求解可得答案． 【解答】解：（1）a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40． 将甲同学成绩从小到大排列为：40，50，60，70，80， 所以甲同学成绩的中位数是60； 故答案为：40，60； （2）乙同学的成绩平均数为（70+50+70+40+70）＝60， 方差S乙2[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160； （3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2， 所以乙同学的成绩更稳定． 【点评】本题主要考查方差，平均数，中位数，众数，解题的关键是掌握方差、平均数、极差的定义和方差的意义． 22．（6分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF． 【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，得出∠BAD+∠ABC＝180°，证出∠BAD＝∠ABC，求出∠BAD＝90°，即可得出结论； （2）由正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，COAC，DOBD，得出∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，证出∠ECO＝∠EDH，证明△ECO≌△FDO（ASA）， 即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠CAD＝∠DBC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BD，COAC，DOBD， ∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO， ∵DH⊥CE，垂足为H， ∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∵∠ECO+∠DEH＝90°， ∴∠ECO＝∠EDH， 在△ECO和△FDO中，， ∴△ECO≌△FDO（ASA）， ∴OE＝OF． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 23．（8分）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元． （1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）． 答：每天的销售利润为1050元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件， 依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200， 整理，得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH． （1）求证：△ABH≌△HEF； （2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长； （3）如图3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长． 【分析】（1）根据两个菱形中，点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE＝BH可证明相应的边和角分别相等，从而证明结论； （2）由AB＝BC，∠ABC＝60°，可证明△ABC是等边三角形，从而证明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的长； （3）作FM⊥BG于点M，当EH⊥BC时，可证明CH＝CMCGBH，从而求出BM、FM的长，再由勾股定理求出BF的长． 【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形， ∴AB＝BC，CE＝EF， ∵CE＝BH， ∴BH＝EF， ∵BH+CH＝CE+CH， ∴BC＝HE， ∴AB＝HE； ∵点E在BC的延长线上，点G在DC的延长线上， ∴AB∥DG∥EF， ∴∠B＝∠E， 在△ABH和△HEF中， ， ∴△ABH≌△HEF（SAS）． （2）如图2，设FH交CG于点P，连结CF， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵BH＝CH， ∴AH⊥BC， ∴∠AHB＝90°， 由（1）得，△ABH≌△HEF， ∴∠HFE＝∠AHB＝90°， ∵DG∥EF， ∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°， ∴PF⊥CG， ∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°， ∴△GFC是等边三角形， ∴PC＝PGCG； ∵BC＝AB＝2， ∴CG＝EF＝BHBC＝1， ∴PC； ∵CD＝AB＝2， ∴PD2， ∵CF＝CG＝1， ∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2， ∴DF． （3）如图3，作FM⊥BG于点M，则∠BMF＝90°， ∵EH⊥BC，即EH⊥BG， ∴EH∥FM， ∵∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴EF∥MH， ∴四边形EHMF是平行四边形， ∵∠EHM＝90°， ∴四边形EHMF是矩形， ∴EH＝FM； ∵EF＝EC，∠CEF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CE＝CF， ∵∠EHC＝∠FMC＝90°， ∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL）， ∴CH＝CMCG； ∵CG＝CE＝BH， ∴CHBH， ∴CM＝CHBC2， ∴CF＝CG＝2CM＝2， ∴FM2＝（）2﹣（）2， ∵BM＝2， ∴BF． 【点评】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是深入探究题中的隐含条件，正确地作出所需要的辅助线，此题证明过程和计算较为烦琐，属于考试压轴题． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$