10.3 三角形的角平分线、中线和高 课件2024— 2025学年 冀教版（2024）数学 七年级下册

10.3三角形的角平分线、 中线和高 1.了解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用工具 准确画出三角形的高、角平分线与中线。 2.了解三角形的重心。 3. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力. 学习目标 2.线段中点的定义： 1.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 3.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 温故知新 复习引入 1 叫做三角形的角平分线。 A B C D ∵AD是 △ ABC的角平分线 ∴∠ BAD = ∠ CAD = １ ２ ∠BAC 任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么? ● ● 在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段, 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部 ︶ ︶ 1 2 三角形的角平分线 1 动手做做 几何语言 A C B F E D O ∵BE是△ABC的角平分线 ∴____=_____= _____ ∴∠ACB=2______=2______ ∠ABE ∠CBE ∠ABC ∠ACF ∵CF是△ABC的角平分线 ∠BCF 三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？ 三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线 角平分线的理解 三角形的三条角平分线线交于一点 内心 动脑思考 在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段, 叫做这个三角形这边的中线. A B C D ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么? ● ● 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. E F O 三角形的中线 2 几何语言 动手做做 三角形的三条中线交于一点 A C B F E D O 其中,AB边上的中线是______ BC边上的中线是______ AC边上的中线是______ CF BE AD ∵BE是中线 ∴____=_____= _____ ∴AB=2______=2_______ ∵CF是中线 AE CE AC AF BF 思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗? 重心 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 做图复习 动手做做 A 从三角形的一个顶点 B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 如图, 线段AD是BC边上的高. 和垂足的字母. A B C 注意 ! 标明 垂直的记号 D (height) 三角形的高线 3 任意画一个锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. 动手做做 画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高交于同一点. (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? O 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 A B C D E F 使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合 动手做做 在纸上画出一个直角三角形。 将你的结果与同伴进行交流. A B C (1) 画出直角三角形的三条高, 直角边BC边上的高是 ; AB 直角边AB边上的高是 ; CB 它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. D 斜边AC边上的高是 ; BD ● 动手做做 A B C D E F (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点 它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 O 动手做做 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点 三条高所在直线的 交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 垂心 知识总结 1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H ①AD是△ABE的角平分线 ( ) ②BE是△ABD边AD上的中线 ( ) ③BE是△ABC边AC上的中线 ( ) ④CH是△ACD边AD上的高 ( ) 三角形的高、中线与角平分线都是线段 × × × √ 当堂练习 4 3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 2.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D (A) (B) (C) (D) B D 当堂练习 4 4.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的一条边上 D. 不能确定 D 当堂练习 4 5.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°； CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC 当堂练习 4 6.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE C 当堂练习 4 7.填空： （1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。 （2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 AF CD AC ∠2 ∠ABC ∠4 当堂练习 4 9.同上题图，若△ACD的面积为 ，则△ABC的面积为 . 8.如图，已知：AD是△ABC的中线，△ABC的面积为 ,则△ABD的面积是 . A B C D 50cm2 25cm2 80cm2 40cm2 60cm2 120cm2 30cm2 60cm2 当堂练习 4 11.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A= ，∠BCE= ，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 . 25° 20° 40° 30° 50° 65° 25° 40° 20° 70° 40° A B C E F 当堂练习 4 12.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高AE是△ABC的角平分线.已知∠BAC=82°∠C=40°，求∠DAE的大小。 解： ∵ AE是BC边上的角平分线, 且∠BAC=82° ∴ ∠EAC= ∠BAC=41° ∵ AD是△ABC的高, ∴ ∠ADC=90° ∵ ∠DAC+ ∠C =90°(根据什么?) ∴ ∠DAC=90°－∠C =90°－40°=50° ∴ ∠DAE=∠DAC－∠C=50°－41°=9° A B C E D 当堂练习 4 13.如图1-15,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,说明△ABE的面积与△AEC的面积相等. A B D E C 图1-15 同高等底的两个三角形面积相等。 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 解： ∵ AE是BC边上的中线 ∴ BE = EC ∴ ∵ 当堂练习 4 14.如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知∠B=400, ∠ C=600 , 求下列角的大小. (1) ∠CAE (2) ∠BEA A C B E 当堂练习 4 15.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长。 A C D B 当堂练习 4 16.如图，在△ABC中， AF是△ABC的角 平分线，AE是BC边上的中线。在选择“＞”，“＜”“＝”号填空。 （1）BE＿＿EC； （2）∠CAF＿＿ ∠BAC； B A C E F 当堂练习 4 17.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点P。（1）若∠A=500，求∠BPC的度数 ； A C P B （2）若∠A=α，试用α的代数式表示∠BPC。 当堂练习 4 18.如图，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，则△ABD 与△ACD的周长差为多少？ △ABD 与△ACD的面积差为多少？ A B C D 当堂练习 4 19.如图， 分别是△ABC的高和角平线， ， 则 =______度. 20.如图 ， 平分 ，交AB于E， 则 =______ 度. 当堂练习 4 三角形中几条重要线段 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 中线 角平分线 高 三角形的角平分线是一条线段 课堂小结 5 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 归纳小结 　 名称 基本图形 画法 性质 高 三角板或量角器画垂线的一部分 三条线相交于三角形内、外或边上一点 中线 得用刻度尺画两点之间的线段 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点，且这点到三边的距离相等 D A C B D A C B D A C B $$