第七讲 用方程解决问题（导图+知识精讲+易错点拨+4个考点讲练+难度分层练 共36题）-2024-2025学年北师大版数学五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义

2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第七讲 用方程解决问题 （导图+知识精讲+易错点拨+4个考点讲练+难度分层练 共36题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：列方程解应用题的核心步骤 2 知识点梳理02：典型题型与解题策略 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：等量关系提取错误 4 易错知识点02：未知数设定不当 4 易错知识点03：方程解法错误 4 易错知识点04：忽略实际意义检验 5 易错知识点05：特定题型易错点 5 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：列方程解和差倍问题 5 考点讲练02：列方程解年龄问题 7 考点讲练03：列方程解相遇问题 9 考点讲练04：列方程解稍复杂的行程问题 11 培优巩固 拔尖冲刺 13 基础夯实优选题专练 13 培优优选题专练 17 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，难度分层练：基础夯实练和培优拔尖练。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：列方程解应用题的核心步骤 1.寻找等量关系 关键方法：通过关键词（如“是”“比”“共”“相差”）、线段图或表格整理已知条件，提取等量关系。 示例：相遇问题中，等量关系为“甲路程+乙路程=总路程”。 线段图辅助：如父子年龄问题中，用线段图表示“儿子年龄×4=父亲年龄”，并标注年龄和为40岁。 2.设定未知数 原则：通常设单位“1”或所求量为x，多个未知数时优先设较小量为x。 示例：若甲数是乙数的3倍，设乙数为x，甲数为3x。 3.列方程并求解 方程形式： 和倍/差倍问题：如ax + x = b（和倍）、ax - x = b（差倍）。 相遇问题：如70x + 50x = 840（总路程）。 解法：利用等式性质，通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解。 4.检验与作答 检验方法：将解代入原方程验证等式成立，并检查是否符合实际意义。 规范作答：明确标注单位，完整回答问题。 知识点梳理02：典型题型与解题策略 1.和倍/差倍问题 题型特征：已知两数的倍数关系及和或差，求各数。 公式： 和倍：ax + x = b →x=（如儿子年龄为x，父亲年龄为4x，和为40岁）。 差倍：ax - x = b →x= 2.相遇问题 核心公式： 总路程=甲速度×时间+乙速度×时间 → S = v1t + v2t。 变式：环形相遇问题中，总路程为跑道周长的整数倍。 示例：淘气速度70米/分，笑笑速度50米/分，相距840米，相遇时间x=7分钟（方程70x + 50x = 840）3.追及问题 等量关系：追及时两人路程差=初始距离，即v1t- v2t= S。 示例：甲以5米/秒追乙（3米/秒），初始距离10米，追上时间x=5秒（方程5x - 3x = 10） 4.年龄问题 特点：年龄差不变，倍数关系随时间变化。 示例：小明年龄为x岁，妈妈年龄为3x岁，年龄差恒为24岁 → 方程3x - x = 24。 5.鸡兔同笼问题 等量关系：总头数=鸡数+兔数，总腿数=2×鸡数+4×兔数。 示例：鸡兔共15头，腿40条 → 方程2x+4(15−x)=40，解得鸡10只、兔5只。 易错知识点01：等量关系提取错误 1.倍数关系混淆 错误表现：将“甲比乙多3倍”误认为“甲=乙+3”，而实际应为“甲=乙×4”。 示例：若乙有x本书，甲比乙多3倍，正确等量关系是甲=4x，而非甲=x+3。 避错策略：通过画线段图明确倍数关系，标注“多几倍=原数×(倍数+1)”。 2.相遇问题方向混淆 错误表现：未区分“相向而行”与“同向追及”，导致方程错误。 示例：两人同向追及时，方程应为“快者路程-慢者路程=初始距离”，若误用相遇公式v1t + v2t= S，则结果错误。 避错策略：用箭头标注运动方向，明确“相向→路程相加，同向→路程相减”。 易错知识点02：未知数设定不当 1.未优先设单位“1”为未知数 错误表现：在倍数问题中设较大数为x，导致方程复杂。 示例：父子年龄和为40岁，父亲是儿子的4倍。若设父亲为x岁，则方程为x+=40，计算繁琐；正确应设儿子为x岁，方程为4x + x = 40。 避错策略：遵循“设较小量或单位‘1’为x”原则，简化方程。 2.多未知数未关联 错误表现：未用同一未知数表示相关联量，导致方程无法建立。 示例：鸡兔共15头，若设鸡为x只，兔应为15-x只，而非单独设y。 避错策略：用单一未知数表示多个关联量，减少变量数量。 易错知识点03：方程解法错误 1.合并同类项错误 错误表现：合并ax±x时漏掉系数，如将4x + x误算为4x（正确为5x）。 避错策略：强调系数相加规则，如4x+x=(4+1)x=5x 2.系数化为1时运算错误 错误表现：解方程5x = 20时误算为x = 20×5 = 100（正确应为x = 20÷5 = 4）。 避错策略：明确“系数化1”是除法运算，通过逆向思维验证（如5×4=20）。 易错知识点04：忽略实际意义检验 1.解为负数或非整数 错误表现：未检查解是否符合实际，如年龄为负数或书本数量为小数。 示例：解出x = -2本书时未报错，直接作答。 避错策略：解方程后代入原题验证合理性，排除非自然数解。 2.单位不匹配 错误表现：速度单位用“千米/时”，时间用“分钟”，未统一单位直接相乘。 示例：速度v=60千米/时，时间t=30分钟，误算路程为60×30=1800千米（正确应换算为0.5小时，路程30千米）。 避错策略：列方程前先统一单位，标注换算过程。 易错知识点05：特定题型易错点 1.相遇问题时间设定错误 错误表现：未明确两人出发时间是否一致，导致方程错误。 示例：甲先出发1小时后乙才出发，误设两人相遇时间为x小时（正确应为甲时间为x+1，乙为x）。 避错策略：用时间轴标注出发时间差，分段表示运动过程。 2.年龄问题中的动态关系 错误表现：忽略年龄差不变，误用倍数关系随时间变化的规律。 示例：小明今年x岁，妈妈3x岁，5年后方程误列为3x+5=2(x+5)（正确应为年龄差恒定：3x - x = 24）。 避错策略：区分“年龄差不变”与“倍数变化”，优先用差量关系列方程。 考点讲练01：列方程解和差倍问题 【精讲题】（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）今年妈妈比小明大24岁，妈妈的年龄是小明的3倍，今年妈妈的年龄是( )岁。 【答案】36 【思路点拨】根据题意可知，小明的年龄×3＝妈妈的年龄，妈妈的年龄－小明的年龄＝24岁，据此设小明今年x岁，列方程为3x－x＝24，然后解出方程，进而求出妈妈的年龄即可。 【规范解答】解：设小明今年x岁。 3x－x＝24 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 12×3＝36（岁） 今年妈妈的年龄是36岁。 【精练题01】（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图，杨树和柳树共450棵，柳树的棵数是杨树的4倍，则杨树有( )棵，柳树有( )棵。 【答案】 90 360 【思路点拨】根据“柳树的棵数是杨树的4倍”，可以设杨树有棵，则柳树有4棵； 根据“杨树和柳树共450棵”，可得出等量关系：杨树的棵数＋柳树的棵数＝杨树和柳树的总棵数，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设杨树有棵，则柳树有4棵。 ＋4＝450 5＝450 5÷5＝450÷5 ＝90 柳树：90×4＝360（棵） 杨树有90棵，柳树有360棵。 【精练题02】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 【答案】苹果：150千克；香蕉：100千克 【思路点拨】由题意可知：香蕉的质量是1倍量，设香蕉的质量是x千克，则苹果的质量是1.5x千克。根据等量关系“苹果的质量＋香蕉的质量＝250”列出方程并解方程即可求出香蕉的质量；再用250千克减去香蕉的质量可求出苹果的质量。 【规范解答】解：设香蕉的质量是x千克。 1.5x＋x＝250 2.5x＝250 2.5x÷2.5＝250÷2.5 x＝100 250－100＝150（千克） 答：运进苹果150千克，运进香蕉100千克。 【精练题03】（22-23五年级下·陕西榆林·期末）看图列方程并计算。 【答案】145吨 【思路点拨】看图，煤炭有x吨，则6x与x的差等于725，根据这个等量关系列方程解答。 【规范解答】6x－x＝725 解：5x＝725 5x÷5＝725÷5 x＝145 煤炭有145吨。 考点讲练02：列方程解年龄问题 【精讲题】（21-22五年级下·广东深圳·期末）李老师今年38岁，比笑笑年龄的4倍少6岁，笑笑今年几岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄；11岁 【思路点拨】假设笑笑今年有x岁，求一个数的几倍是多少用乘法，所以等量关系式可表示为：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄，已知李老师今年38岁，把已知的数据和未知数代入到等量关系式中，列出方程，解方程即可求出笑笑的年龄。 【规范解答】等量关系式：笑笑今年的年龄×4－6＝李老师今年的年龄 解：设笑笑今年有x岁， x×4－6＝38 4x＝38＋6 4x＝44 x＝44÷4 x＝11 答：笑笑今年11岁。 【精练题01】（21-22五年级下·辽宁沈阳·期末）妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【答案】11岁 【思路点拨】（1）根据倍数关系，先用37减去4求出小丽年龄的3倍是多少，然后再除以3即可； （2）根据题意可得等量关系式：小丽年龄的年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，列出方程解答即可。 【规范解答】作图如下： （1）（37－4）÷3 ＝33÷3 ＝11（岁） （2）解：设小丽今年x岁。 3x＋4＝37 3x＋4－4＝37－4 3x÷3＝33÷3 x＝11 答：小丽今年11岁。 【精练题02】（20-21五年级下·辽宁沈阳·期末）今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 【答案】14岁 【思路点拨】根据题目可知，妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，可以设笑笑的年龄为x岁，则妈妈的年龄＝笑笑年龄×3－3，把x代入等式即可列方程，再解答即可。 【规范解答】解：设笑笑今年x岁。 3x－3＝39 3x＝39＋3 3x＝42 x＝42÷3 x＝14 答：笑笑今年14岁。 【精练题03】（21-22五年级下·广东揭阳·期末）妙想和爷爷一共81岁，爷爷的年龄比妙想年龄的6倍还多4岁，妙想( )岁，爷爷( )岁。 【答案】 11 70 【思路点拨】根据题意，设出妙想的年龄是x岁，爷爷的年龄比妙想年龄的6倍还多4岁，即妙想的年龄×6＋4＝爷爷的年龄，爷爷的年龄＋妙想的年龄＝81；列方程：（6x＋4）＋x＝81，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设妙想的年龄x岁，则爷爷年龄是（6x＋4）岁。 （6x＋4）＋x＝81 6x＋4＋x＝81 7x＝81－4 7x＝77 x＝77÷7 x＝11 爷爷：11×6＋4 ＝66＋4 ＝70（岁） 妙想和爷爷一共81岁，爷爷的年龄比妙想年龄的6倍还多4岁，妙想11岁，爷爷70岁。 考点讲练03：列方程解相遇问题 【精讲题】（23-24五年级下·四川成都·期末）成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【思路点拨】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。 【规范解答】解：设轿车每时行驶多少千米。 30＋60×2＋2＝300 30＋120＋2＝300 150＋2＝300 150＋2－150＝300－150 2＝150 2÷2＝150÷2 ＝75 答：轿车每时行驶75千米。 【精练题01】（20-21五年级下·广东深圳·期末）甲、乙两车同时从相距420千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米。 （1）估计两车在何处相遇，用“▼”在图中标记出来。 （2）两车经过几小时相遇？ 【答案】（1）见详解 （2）3小时 【思路点拨】（1）已知甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米，即甲车的速度比乙车的速度慢，那么相遇时，甲车行驶的路程比乙车少，据此估计出两车相遇的地点，用“▼”在图中标记出来。 （2）根据相遇问题的公式“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝A、B两地的距离，据此列出方程，并求解。 【规范解答】（1）如图： （2）解：设两车经过小时相遇。 （60＋80）＝420 140＝420 140÷140＝420÷140 ＝3 答：两车经过3小时相遇。 【精练题02】（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）一辆客车和一辆货车同时从相距1320千米的两地相向而行，客车每时行驶60千米，货车每时行驶50千米。几时后两车相遇？ 【答案】12时 【思路点拨】根据题意可得出等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设时后两车相遇。 （60＋50）＝1320 110＝1320 110÷110＝1320÷110 ＝12 答：12时后两车相遇。 【精练题03】（22-23五年级下·广东韶关·期末）北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 【答案】3小时 【思路点拨】根据路程＝速度×时间；设两列火车同时出发，x小时后相遇；一列火车从北京出发，每小时行110千米，x小时行驶110x千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米，x小时行驶120x千米，两车行驶的路程相加，等于北京到郑州的距离，列方程：110x＋120x＝690，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设两列火车同时出发，x小时后相遇。 110x＋120x＝690 230x＝690 x＝690÷230 x＝3 答：两列火车同时出发，3小时后相遇。 考点讲练04：列方程解稍复杂的行程问题 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【思路点拨】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 【精练题01】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【答案】2400米 【思路点拨】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。 【规范解答】解：设小明和小兵x分相遇。 （55＋65）x＝1200 120x＝1200 120x÷120＝1200÷120 x＝10 240×10＝2400（米） 答：小狗一共跑了2400米。 【精练题02】（21-22五年级下·辽宁·单元测试）小明和小军环牙子湖跑步，两人同时从一点同向出发，小明每分跑110米，小军每分跑80米。当小明回到起点时，小军还要跑876米才能回到起点位置。小明跑一圈用了多少分钟？ 【答案】29.2分钟 【思路点拨】将小明跑一圈的时间设为未知数，那么小明跑一圈的路程是110x米。此时小军跑了80x米，比一圈即小明的路程少876米。根据“小明路程减去小军路程等于876米”列方程解方程即可。 【规范解答】解：设小明跑一圈用了x分钟。   110x－80x＝876   30x＝876 30x÷30＝876÷30 x＝29.2 答：小明跑一圈用了29.2分钟。 【精练题03】（21-22五年级下·河南鹤壁·期末）王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。 【答案】 王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数 85×2＋（85＋95）x＝2870 【思路点拨】由于王娟先录入2分钟，2分钟之后李丽一起录入，可以用王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数，由于再录入x分钟录完，据此即可列方程。 【规范解答】由分析可知： 等量关系是：王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数。 列方程为：85×2＋（85＋95）x＝2870 基础夯实优选题专练 1．（2024五年级下·辽宁·专题练习）姐姐和弟弟的年龄之和为29岁，姐姐比弟弟大5岁。下面不符合本题中等量关系的是（    ）。 A．姐姐的年龄－弟弟的年龄＝5岁 B．姐姐的年龄＋弟弟的年龄＝29岁 C．弟弟的年龄×5＝姐姐的年龄 【答案】C 【思路点拨】由姐姐和弟弟的年龄之和为29岁得出数量关系为：姐姐的年龄＋弟弟的年龄＝29，由姐姐比弟弟大5岁得出数量关系为：姐姐年龄－弟弟年龄＝5。 【规范解答】A．姐姐比弟弟大5岁的数量关系式：姐姐的年龄－弟弟的年龄＝5岁，故正确 B．姐姐和弟弟的年龄之和为29岁的数量关系式：姐姐的年龄＋弟弟的年龄＝29岁，故正确 C．弟弟的年龄×5＝姐姐的年龄是姐姐的年龄是弟弟的5倍，题目没有提及，故不符合。 故答案为：C 2．（22-23五年级下·辽宁·单元测试）要使方程3x－x＝的解是x＝6，里应填（    ）。 A．18 B．6 C．12 【答案】C 【思路点拨】把x＝6代入算式中，即可解答。 【规范解答】3×6－6 ＝18－6 ＝12 要使方程3x－x＝的解是x＝6，里应填12。 故答案为：C 3．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）东东今年x岁，爸爸比东东大24岁，而且爸爸今年的年龄刚好是东东的3倍。东东今年几岁？下列方程正确的是（    ）。 A．3x＋x＝24   B．3x＝24    C．3x－x＝24 【答案】C 【思路点拨】根据题意可得等量关系式：爸爸的年龄－东东的年龄＝24，据此解答即可。 【规范解答】设东东的年龄为x岁，所以爸爸的年龄为3x岁。 根据题意可列出方程：3x－x＝24 故答案为：C 4．（23-24五年级下·陕西西安·阶段练习）哥哥的邮票张数是妹妹的2倍，如果哥哥给妹妹6张，两人的邮票张数就一样多，妹妹原有( )张邮票。 【答案】12 【思路点拨】根据题意， 设妹妹原有x张邮票，因为哥哥的邮票张数是妹妹的2倍，则哥哥原有2x张邮票。哥哥给妹妹6张后，哥哥剩下 （2x−6） 张，妹妹有 （x＋6） 张，此时两人邮票张数一样多，可列方程： 2x−6＝x＋6 ；据此解答。 【规范解答】解：设妹妹原有x张邮票，那么哥哥原有2x张邮票。 2x−6＝x＋6 2x−6−x＝x＋6−x x−6＝6 x−6＋6＝6＋6 x＝12 所以妹妹原有 12 张邮票。 5．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）鸡兔同笼，其中鸡的数量是兔的5倍。假设兔有x只，那么鸡有( )只，鸡比兔多( )只，鸡和兔共有( )只。 【答案】 5x 4x 6x 【思路点拨】兔有x只，鸡的数量是兔的5倍，数量关系式是兔的只数×5＝鸡的只数，鸡的只数＝5x。鸡比兔多的只数＝鸡的只数－兔的只数＝5x－x＝4x，鸡和兔共有的只数＝鸡的只数＋兔的只数＝5x＋x＝6x。 【规范解答】通过数量关系式分析，假设兔有x只，那么鸡有5x只，鸡比兔多4x只，鸡和兔共有6x只。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）两地相距320千米，甲车每时行驶x千米，乙车每时比甲车多行驶3千米。两车同时从两地相对开出。那么x＋3表示( )，320÷（2x＋3）表示( )。 【答案】 乙车每时行驶的路程 甲、乙两车相遇所需的时间 【思路点拨】乙车每时比甲车多行驶3千米的数量关系式是甲车每小时的路程＋3＝乙车每小时路程，如果甲车每时行驶x千米，则乙车每小时路程＝x＋3。甲乙两车的速度和是x＋x＋3＝2x＋3，用路程÷速度和就是甲、乙两车相遇所需的时间。 【规范解答】x＋3＝甲车每小时的路程＋3，则x＋3表示乙车每时行驶的路程，也可以说是乙的速度。 320÷（2x＋3）＝路程÷甲、乙速度和，则320÷（2x＋3）表示甲、乙两车相遇所需的时间。 7．（23-24五年级下·广东惠州·期末）惠东县双月湾形状鸟瞰像两轮新月，双月湾分左右两湾，“左湾微风细浪水平如镜，右湾波涛汹涌气势磅礴”，一静一动，美不胜收。某旅游团组织去游玩，团队中男生人数是女生人数的3倍。已知男生比女生多30人。那么男生、女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】男生：45人；女生15人 【思路点拨】设女生人数有x人，团队中男生人数是女生人数的3倍，则男生人数是3x人，已知男生比女生多30人，即男生人数－女生人数＝30人，列方程：3x－x＝30，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设女生人数有x人，则男生人数有3x人。 3x－x＝30 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 男生：15×3＝45（人） 答：男生有45人，女生有15人。 8．（22-23五年级下·陕西商洛·期中）一台电视机的价格是2500元，是一台录音机价格的2倍。一台录音机多少元？（用方程解。） 【答案】1250元 【思路点拨】将录音机的单价设为x元，那么电视机的单价是2x元。根据电视机的单价是2500元，列出方程解方程即可。 【规范解答】解：设一台录音机x元。 2x＝2500 2x÷2＝2500÷2 x＝1250 答：一台录音机1250元。 9．（2024五年级下·辽宁·专题练习）小聪今年多少岁？ 【答案】8岁 【思路点拨】求一个数的几倍是多少，用乘法，假设小聪的年龄是x岁，则爸爸年龄是5x岁，根据爸爸比小聪大32岁，列方程解答。 【规范解答】解：设小聪今年x岁，则爸爸年龄是5x岁。 5x－x＝32 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：小聪今年8岁。 10．（22-23五年级下·四川成都·期末）用方程解决问题：淘气和智慧老人今年分别多少岁？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 【答案】线段图见详解； 淘气今年的年龄＋智慧老人今年的年龄＝77岁 淘气：11岁；智慧老人：66岁 【思路点拨】淘气今年的年龄＋智慧老人今年的年龄＝77岁，智慧老人的年龄是淘气的6倍，则淘气今年的年龄＋淘气今年的年龄×6＝77岁；据此画图线段图；可以设淘气的年龄是x岁，则智慧老人的年龄是6x岁，根据等量关系列方程，解方程即可。 【规范解答】 淘气今年年龄＋智慧老人今年年龄＝77岁 解：设淘气今年年龄是x岁，则智慧老人今年的年龄是6x岁。 x＋6x＝77 7x＝77 x＝77÷7 x＝11 智慧老人：11×6＝66（岁） 答：淘气今年年龄是11岁，智慧老人今年年龄是66岁。 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·四川成都·期末）端午节，笑笑和妈妈计划合作包90个肉粽送给社区的爷爷奶奶们。妈妈平均每分包3个，笑笑平均每分包2个。下面观点错误的是：（    ）。 A．包完所有肉粽至少用时18分钟 B．二人同时开始包，包完时笑笑比妈妈少包18个 C．二人同时开始包，妈妈比笑笑先包完 【答案】C 【思路点拨】A．根据，代入数据计算即可。 B．根据，求出工作时间，再根据，分别计算笑笑和妈妈包的数量，最后相减即可得解。 C．两人是合作同时开始包肉粽的工作，根据，所以工作时间是相同的。 【规范解答】A． （分） 包完所有肉粽至少用时18分钟，该选项说法正确。 B． （个） 二人同时开始包，包完时笑笑比妈妈少包18个，该选项说法正确。 C．据分析可知，二人合作同时开始包，应该同时完成。该选项说法错误。 故答案为：C 12．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）淘气攒了100枚1角和5角硬币，共有26元，其中1角硬币有（    ）枚。 A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【思路点拨】1角钱＝0.1元，5角钱＝0.5元，设5角硬币有x枚，则1角硬币有（100－x）枚，等量关系为：5角钱的总钱数＋1角钱的总钱数＝26元，列方程解答即可。 【规范解答】解：设5角硬币有x枚，1角硬币有（100－x）枚。 0.5x＋0.1×（100－x）＝26 0.5x＋10－0.1x＝26 0.4x＋10－10＝26－10 0.4x÷0.4＝16÷0.4 x＝40 5角硬币有40枚 100－40＝60（枚） 即1角硬币有60枚 故答案为：C 13．（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）箱子里有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了m次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩16个，下列方程错误的是（    ）。 A．5m－3m＝16 B．5m－16＝3m C．5m＋3m＝16 D．3m＋16＝5m 【答案】C 【思路点拨】根据四个选项的不同方程，得出相应的等量关系，看是否符合题意，找出错误的方程。 【规范解答】A．5m－3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－取了m次的羽毛球的数量＝羽毛球还剩的数量，符合题意，方程正确； B．5m－16＝3m，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－羽毛球还剩的数量＝取了m次的羽毛球的数量，符合题意，方程正确； C．5m＋3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量＋取了m次的羽毛球的数量＝16，不符合题意，方程错误； D．3m＋16＝5m，等量关系：取了m次的羽毛球的数量＋羽毛球还剩的数量＝取了m次的乒乓球的数量，符合题意，方程正确。 故答案为：C 14．（24-25五年级上·四川成都·期末）三个连续奇数的和是111，这三个奇数中最小的数是( )。 【答案】35 【思路点拨】相邻的两个奇数相差2，设中间的奇数是x，则三个连续奇数中最小的奇数是x－2，最大的是x＋2，根据等量关系：三个连续奇数的和是141列方程解答即可求出中间的奇数，再用中间的奇数减去2即为所求。 【规范解答】解：设中间的奇数是x。 x－2＋x＋（x＋2）＝111 3x＝111 3x÷3＝111÷3 x＝37 37－2＝35 所以这三个奇数中最小的数是35。 15．（23-24五年级下·四川成都·期末）甲乙两人的速度比是9∶7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过( )小时能追上乙。 【答案】4 【思路点拨】甲乙两人的速度比是9∶7，设甲的速度就是9，乙的速度就是7，根据相遇问题，路程＝速度和×相遇的时间。 追及问题中，甲追上乙，甲的路程比乙多行驶了A、B两地之间的距离，则根据追及的路程＝两地之间的距离＝甲行驶的路程－乙行驶的路程。 【规范解答】解：设甲过x小时能追上乙。 （9＋7）×0.5＝9x－7x 2x＝16×0.5 2x＝8 x＝8÷2 x＝4 则甲过4小时能追上乙。 16．（23-24五年级下·陕西汉中·期末）书架上有科技书和故事书共100本，科技书的本数是故事书的3倍，故事书有( )本。 【答案】25 【思路点拨】由题意可知，假设故事书有x本，则科技书的本数是3x。根据关系式科技书的本数＋故事书的本数＝100，列方程解答即可。 【规范解答】解：设故事书有x本，则科技书的本数是3x。 故事书有25本。 17．（23-24五年级下·陕西西安·阶段练习）学校图书室有科技书和故事书共935本，故事书比科技书的2倍多5本。科技书和故事书各有多少本？（用方程解） 【答案】310本；625本 【思路点拨】由题意可知，设科技书有x本，则故事书有（2x＋5）本，再根据等量关系“科技书的本数＋故事书的本数＝935”列出方程求解即可解答。 【规范解答】解：设科技书有x本，则故事书有（2x＋5）本。 x＋2x＋5＝935 3x＋5＝935 3x＋5－5＝935－5 3x＝930 3x÷3＝930÷3 x＝310 故事书：2x＋5 ＝2×310＋5 ＝620＋5 ＝625（本） 答：科技书有310本，故事书625本。 18．（23-24五年级下·陕西西安·期中）某小学学生参加植树活动，六年级植树168棵，比五年级植树棵数的3倍多72棵。五年级植树多少棵？（列方程解答） 【答案】32棵 【思路点拨】根据题意可得出等量关系：五年级植树棵数×3＋72＝六年级植树棵数，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设五年级植树棵。 3＋72＝168 3＋72－72＝168－72 3＝96 3÷3＝96÷3 ＝32 答：五年级植树32棵。 19．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）平均每盘有几个橘子？ 【答案】12个 【思路点拨】把平均每盘橘子的数量设为未知数，等量关系式：平均每盘橘子的数量×盘数＋剩余橘子的数量＝橘子的总数量，据此列方程解答。 【规范解答】解：设平均每盘有x个橘子。 4x＋2＝50 4x＋2－2＝50－2 4x＝48 4x÷4＝48÷4 x＝12 答：平均每盘有12个橘子。 20．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）根据下列题中的信息写出等量关系，再列方程解决问题。 白键和黑键各有多少？ 【答案】白键的数量＋黑键的数量＝琴键的总数量；黑键36个；白键52个 【思路点拨】把黑键的数量设为未知数，白键的数量＝黑键的数量＋16个，白键的数量＋黑键的数量＝钢琴琴键的总数量，据此列方程解答。 【规范解答】等量关系：白键的数量＋黑键的数量＝琴键的总数量 解：设黑键有x个，则白键有（x＋16）个。 x＋x＋16＝88 2x＋16＝88 2x＋16－16＝88－16 2x＝72 2x÷2＝72÷2 x＝36 36＋16＝52（个） 答：黑键有36个，白键有52个。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第七讲 用方程解决问题 （导图+知识精讲+易错点拨+4个考点讲练+难度分层练 共36题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：列方程解应用题的核心步骤 2 知识点梳理02：典型题型与解题策略 3 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：等量关系提取错误 4 易错知识点02：未知数设定不当 4 易错知识点03：方程解法错误 4 易错知识点04：忽略实际意义检验 5 易错知识点05：特定题型易错点 5 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：列方程解和差倍问题 5 考点讲练02：列方程解年龄问题 6 考点讲练03：列方程解相遇问题 7 考点讲练04：列方程解稍复杂的行程问题 8 培优巩固 拔尖冲刺 9 基础夯实优选题专练 9 培优优选题专练 10 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，难度分层练：基础夯实练和培优拔尖练。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：列方程解应用题的核心步骤 1.寻找等量关系 关键方法：通过关键词（如“是”“比”“共”“相差”）、线段图或表格整理已知条件，提取等量关系。 示例：相遇问题中，等量关系为“甲路程+乙路程=总路程”。 线段图辅助：如父子年龄问题中，用线段图表示“儿子年龄×4=父亲年龄”，并标注年龄和为40岁。 2.设定未知数 原则：通常设单位“1”或所求量为x，多个未知数时优先设较小量为x。 示例：若甲数是乙数的3倍，设乙数为x，甲数为3x。 3.列方程并求解 方程形式： 和倍/差倍问题：如ax + x = b（和倍）、ax - x = b（差倍）。 相遇问题：如70x + 50x = 840（总路程）。 解法：利用等式性质，通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解。 4.检验与作答 检验方法：将解代入原方程验证等式成立，并检查是否符合实际意义。 规范作答：明确标注单位，完整回答问题。 知识点梳理02：典型题型与解题策略 1.和倍/差倍问题 题型特征：已知两数的倍数关系及和或差，求各数。 公式： 和倍：ax + x = b →x=（如儿子年龄为x，父亲年龄为4x，和为40岁）。 差倍：ax - x = b →x= 2.相遇问题 核心公式： 总路程=甲速度×时间+乙速度×时间 → S = v1t + v2t。 变式：环形相遇问题中，总路程为跑道周长的整数倍。 示例：淘气速度70米/分，笑笑速度50米/分，相距840米，相遇时间x=7分钟（方程70x + 50x = 840）3.追及问题 等量关系：追及时两人路程差=初始距离，即v1t- v2t= S。 示例：甲以5米/秒追乙（3米/秒），初始距离10米，追上时间x=5秒（方程5x - 3x = 10） 4.年龄问题 特点：年龄差不变，倍数关系随时间变化。 示例：小明年龄为x岁，妈妈年龄为3x岁，年龄差恒为24岁 → 方程3x - x = 24。 5.鸡兔同笼问题 等量关系：总头数=鸡数+兔数，总腿数=2×鸡数+4×兔数。 示例：鸡兔共15头，腿40条 → 方程2x+4(15−x)=40，解得鸡10只、兔5只。 易错知识点01：等量关系提取错误 1.倍数关系混淆 错误表现：将“甲比乙多3倍”误认为“甲=乙+3”，而实际应为“甲=乙×4”。 示例：若乙有x本书，甲比乙多3倍，正确等量关系是甲=4x，而非甲=x+3。 避错策略：通过画线段图明确倍数关系，标注“多几倍=原数×(倍数+1)”。 2.相遇问题方向混淆 错误表现：未区分“相向而行”与“同向追及”，导致方程错误。 示例：两人同向追及时，方程应为“快者路程-慢者路程=初始距离”，若误用相遇公式v1t + v2t= S，则结果错误。 避错策略：用箭头标注运动方向，明确“相向→路程相加，同向→路程相减”。 易错知识点02：未知数设定不当 1.未优先设单位“1”为未知数 错误表现：在倍数问题中设较大数为x，导致方程复杂。 示例：父子年龄和为40岁，父亲是儿子的4倍。若设父亲为x岁，则方程为x+=40，计算繁琐；正确应设儿子为x岁，方程为4x + x = 40。 避错策略：遵循“设较小量或单位‘1’为x”原则，简化方程。 2.多未知数未关联 错误表现：未用同一未知数表示相关联量，导致方程无法建立。 示例：鸡兔共15头，若设鸡为x只，兔应为15-x只，而非单独设y。 避错策略：用单一未知数表示多个关联量，减少变量数量。 易错知识点03：方程解法错误 1.合并同类项错误 错误表现：合并ax±x时漏掉系数，如将4x + x误算为4x（正确为5x）。 避错策略：强调系数相加规则，如4x+x=(4+1)x=5x 2.系数化为1时运算错误 错误表现：解方程5x = 20时误算为x = 20×5 = 100（正确应为x = 20÷5 = 4）。 避错策略：明确“系数化1”是除法运算，通过逆向思维验证（如5×4=20）。 易错知识点04：忽略实际意义检验 1.解为负数或非整数 错误表现：未检查解是否符合实际，如年龄为负数或书本数量为小数。 示例：解出x = -2本书时未报错，直接作答。 避错策略：解方程后代入原题验证合理性，排除非自然数解。 2.单位不匹配 错误表现：速度单位用“千米/时”，时间用“分钟”，未统一单位直接相乘。 示例：速度v=60千米/时，时间t=30分钟，误算路程为60×30=1800千米（正确应换算为0.5小时，路程30千米）。 避错策略：列方程前先统一单位，标注换算过程。 易错知识点05：特定题型易错点 1.相遇问题时间设定错误 错误表现：未明确两人出发时间是否一致，导致方程错误。 示例：甲先出发1小时后乙才出发，误设两人相遇时间为x小时（正确应为甲时间为x+1，乙为x）。 避错策略：用时间轴标注出发时间差，分段表示运动过程。 2.年龄问题中的动态关系 错误表现：忽略年龄差不变，误用倍数关系随时间变化的规律。 示例：小明今年x岁，妈妈3x岁，5年后方程误列为3x+5=2(x+5)（正确应为年龄差恒定：3x - x = 24）。 避错策略：区分“年龄差不变”与“倍数变化”，优先用差量关系列方程。 考点讲练01：列方程解和差倍问题 【精讲题】（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）今年妈妈比小明大24岁，妈妈的年龄是小明的3倍，今年妈妈的年龄是( )岁。 【精练题01】（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图，杨树和柳树共450棵，柳树的棵数是杨树的4倍，则杨树有( )棵，柳树有( )棵。 【精练题02】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 【精练题03】（22-23五年级下·陕西榆林·期末）看图列方程并计算。 考点讲练02：列方程解年龄问题 【精讲题】（21-22五年级下·广东深圳·期末）李老师今年38岁，比笑笑年龄的4倍少6岁，笑笑今年几岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【精练题01】（21-22五年级下·辽宁沈阳·期末）妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【精练题02】（20-21五年级下·辽宁沈阳·期末）今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 【精练题03】（21-22五年级下·广东揭阳·期末）妙想和爷爷一共81岁，爷爷的年龄比妙想年龄的6倍还多4岁，妙想( )岁，爷爷( )岁。 考点讲练03：列方程解相遇问题 【精讲题】（23-24五年级下·四川成都·期末）成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 【精练题01】（20-21五年级下·广东深圳·期末）甲、乙两车同时从相距420千米的A、B两地相向开出，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶80千米。 （1）估计两车在何处相遇，用“▼”在图中标记出来。 （2）两车经过几小时相遇？ 【精练题02】（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）一辆客车和一辆货车同时从相距1320千米的两地相向而行，客车每时行驶60千米，货车每时行驶50千米。几时后两车相遇？ 【精练题03】（22-23五年级下·广东韶关·期末）北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 考点讲练04：列方程解稍复杂的行程问题 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【精练题01】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【精练题02】（21-22五年级下·辽宁·单元测试）小明和小军环牙子湖跑步，两人同时从一点同向出发，小明每分跑110米，小军每分跑80米。当小明回到起点时，小军还要跑876米才能回到起点位置。小明跑一圈用了多少分钟？ 【精练题03】（21-22五年级下·河南鹤壁·期末）王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。 基础夯实优选题专练 1．（2024五年级下·辽宁·专题练习）姐姐和弟弟的年龄之和为29岁，姐姐比弟弟大5岁。下面不符合本题中等量关系的是（    ）。 A．姐姐的年龄－弟弟的年龄＝5岁 B．姐姐的年龄＋弟弟的年龄＝29岁 C．弟弟的年龄×5＝姐姐的年龄 2．（22-23五年级下·辽宁·单元测试）要使方程3x－x＝的解是x＝6，里应填（    ）。 A．18 B．6 C．12 3．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）东东今年x岁，爸爸比东东大24岁，而且爸爸今年的年龄刚好是东东的3倍。东东今年几岁？下列方程正确的是（    ）。 A．3x＋x＝24   B．3x＝24    C．3x－x＝24 4．（23-24五年级下·陕西西安·阶段练习）哥哥的邮票张数是妹妹的2倍，如果哥哥给妹妹6张，两人的邮票张数就一样多，妹妹原有( )张邮票。 5．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）鸡兔同笼，其中鸡的数量是兔的5倍。假设兔有x只，那么鸡有( )只，鸡比兔多( )只，鸡和兔共有( )只。 6．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）两地相距320千米，甲车每时行驶x千米，乙车每时比甲车多行驶3千米。两车同时从两地相对开出。那么x＋3表示( )，320÷（2x＋3）表示( )。 7．（23-24五年级下·广东惠州·期末）惠东县双月湾形状鸟瞰像两轮新月，双月湾分左右两湾，“左湾微风细浪水平如镜，右湾波涛汹涌气势磅礴”，一静一动，美不胜收。某旅游团组织去游玩，团队中男生人数是女生人数的3倍。已知男生比女生多30人。那么男生、女生各有多少人？（列方程解答） 8．（22-23五年级下·陕西商洛·期中）一台电视机的价格是2500元，是一台录音机价格的2倍。一台录音机多少元？（用方程解。） 9．（2024五年级下·辽宁·专题练习）小聪今年多少岁？ 10．（22-23五年级下·四川成都·期末）用方程解决问题：淘气和智慧老人今年分别多少岁？（请先画出线段图，写出等量关系，再用方程解答） 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·四川成都·期末）端午节，笑笑和妈妈计划合作包90个肉粽送给社区的爷爷奶奶们。妈妈平均每分包3个，笑笑平均每分包2个。下面观点错误的是：（    ）。 A．包完所有肉粽至少用时18分钟 B．二人同时开始包，包完时笑笑比妈妈少包18个 C．二人同时开始包，妈妈比笑笑先包完 12．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）淘气攒了100枚1角和5角硬币，共有26元，其中1角硬币有（    ）枚。 A．20 B．40 C．60 D．80 13．（23-24五年级下·辽宁锦州·期末）箱子里有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了m次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩16个，下列方程错误的是（    ）。 A．5m－3m＝16 B．5m－16＝3m C．5m＋3m＝16 D．3m＋16＝5m 14．（24-25五年级上·四川成都·期末）三个连续奇数的和是111，这三个奇数中最小的数是( )。 15．（23-24五年级下·四川成都·期末）甲乙两人的速度比是9∶7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过( )小时能追上乙。 16．（23-24五年级下·陕西汉中·期末）书架上有科技书和故事书共100本，科技书的本数是故事书的3倍，故事书有( )本。 17．（23-24五年级下·陕西西安·阶段练习）学校图书室有科技书和故事书共935本，故事书比科技书的2倍多5本。科技书和故事书各有多少本？（用方程解） 18．（23-24五年级下·陕西西安·期中）某小学学生参加植树活动，六年级植树168棵，比五年级植树棵数的3倍多72棵。五年级植树多少棵？（列方程解答） 19．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）平均每盘有几个橘子？ 20．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）根据下列题中的信息写出等量关系，再列方程解决问题。 白键和黑键各有多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$