双曲线离心率问题 专项训练-2025届高三数学二轮专题

双曲线离心率问题-2025年高考数学二轮专题 一、单选题 1．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．设双曲线与的离心率分别为，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（    ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 9．已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线与动圆恰有两个交点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C．双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 D．过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 11．已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（    ） A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为． B．若，且为线段的中点，则的离心率为 C．若，且为线段的中点，则的离心率为 D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使 三、填空题 12．设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 . 13．已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 . 14．过原点的直线与双曲线交于两点，且点在第二象限，过点作的垂线与交于点，过点作x轴的垂线与交于点，与直线交于点E，若则的离心率为 . 四、解答题 15．已知双曲线的右焦点为，过点F的直线l交C的右支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线C的离心率； (2)若直线l的倾斜角为，且C经过点，M为双曲线C的左支上一动点，求面积的最小值. 16．已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 17．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 18．已知双曲线，离心率，点在双曲线上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 19．已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. (1)求的方程； (2)经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《双曲线离心率问题-2025年高考数学二轮专题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B B D C BCD ABD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题，，解得. 故选：D. 2．D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 3．B 【分析】分别求双曲线与的离心率，结合，列出方程，即可求解. 【详解】双曲线的离心率为， 双曲线离心率为， 因为， 所以， 解得，即. 故选：B. 4．B 【分析】根据离心率求出，，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】中，，故， 故，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为 故选：B 5．B 【分析】易知“飘带”函数的渐近线，设两渐近线夹角为（），则，求得，进而旋转之前双曲线的一条渐近线斜率，结合计算即可求解. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为（），则， 整理得，又， 所以，整理得， 由，解得. 所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 6．B 【分析】根据双曲线的几何性质，以及三角形的特征，利用角的关系，列出等式，即可求双曲线的离心率. 【详解】连接，因为四边形为等腰梯形，且， 所以， 所以. 因为，所以，所以. 故选：B 7．D 【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】过点作，垂足为，则，如图所示， 设，则， 所以， 所以，则， 因为直线的斜率为，所以，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，， 整理得，， 故选：D．    8．C 【分析】根据正六边形的几何性质及离心率的定义即可求解． 【详解】∵多边形为正六边形，设边长为， ∴， ， 故选：C． 9．BCD 【分析】先对双曲线焦点位置分类讨论，利用渐近线斜率的性质求出的范围，进而得到离心率的范围，再逐步检验各个选项是否符合即可. 【详解】因为该双曲线关于坐标轴对称，所以我们对其焦点位置进行讨论， 当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为， 因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以， 且，故解得，则， 得到，解得， 当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为， 因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以， 且，解得，则， 得到，解得， 综上可得，下面我们开始检验选项， 对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：BCD 10．ABD 【分析】首先由圆与双曲线方程联立，由交点个数确定，即可求解双曲线方程，判断A，代入直线与圆相交的弦长公式，即可判断B，根据点差法，结合点与双曲线的位置关系，即可判断C，根据AB，结合集合关系，即可判断D. 【详解】A.联立C与M的方程，消去x，得，即， 由题意得， 由m的任意性，解得，则，离心率，A项正确； B.直线是双曲线C的一条渐近线，圆心到该渐近线的距离为， 圆M的半径为，则该渐近线被圆M截得的弦长为2，B项正确； C.设中点为的弦所在的直线与C交于，两点， 则，，且由点差法化简得， 所以中点弦所在直线方程为，即， 联立，得，，方程无解， 所以不存在，C项不正确； 不妨设，根据AB可知，， 则，，D项正确． 故选：ABD 11．AC 【分析】对于A，由题意可得，从而可求出离心率，对于B，由题意不妨设直线的方程为，与渐近线方程联立可求出点，从而可求出点的坐标，代入另一条渐近线方程化简可求出离心率，对于C，由选项B可知点的坐标，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率，对于D，分别设的横坐标为，由离心率可得双曲线方程，设直线为，分别与双曲线方程和渐近线方程联立，结合根与系数的关系进行分析判断. 【详解】对于A，由题意得，则，所以离心率，故A正确； 对于B，因为，所以直线的斜率与其中一条渐近线的斜率乘积为， 由对称性不妨设的斜率为正，则直线的方程为， 由，得，即， 因为为线段的中点，所以， 因为点在渐近线上，所以，化简得， 所以，所以离心率，所以B错误； 对于C，由选项B可知，因为为线段的中点，所以， 因为点在双曲线上，所以， 化简得，所以，得， 所以离心率为，所以C正确； 对于D，分别设的横坐标为， 因为的离心率为2，所以，所以， 所以双曲线的方程为， 由题意可知直线的斜率存在，则设直线为， 由，得， 所以， 由，得，所以， 所以，所以有相同的中点， 所以，即对所有的直线都有，所以D错误. 故选：AC． 12． 【分析】求出因为，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 双曲线：的两条渐近线方程分别为， 若，则的倾斜角为，的倾斜角为， 即，解得， 则C的离心率为. 故答案为：. 13． 【分析】利用，两点关于原点对称把已知条件转换成双曲线上的点到两个焦点之间的线段之间的关系，再利用双曲线的性质进行求解. 【详解】解法一：设的右焦点为，如图，由条件知. 由对称性知， 设 由条件得 ，解得， 所以，所以C的离心率为 解法二：设C的右焦点为 F'，如图，由 ，得， 所以，由对称性可知四边形为矩形，所以△AFB与的面积相等， 且点A，B均在以为直径的圆O上，所以圆O 的半径为c， 设点A(x₁，y₁)，则，联立化简可得 整理得 ，解得； 由, 得到， 即 所以 ，可得， 因为 为圆O 的直径，所以 即 整理得 所以离心率 故答案为： 14． 【分析】设，，则，利用点差法可得，结合已知可求得的值，进而可求得离心率. 【详解】设，，则， 由，得.因为点均在双曲线上， 所以，两式相减得， 则，因为，所以， 又， 所以， 故双曲线的离心率. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）代入方程中求得，进而，结合离心率的定义计算即可求解； （2）易知，求出双曲线方程，进而求出直线方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式求出；当与双曲线的左支相切时的面积最小.设，联立双曲线方程，根据求出方程，结合两平行线之间的距离公式与三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）当轴时，， 将代入方程中，得， 由，解得，即， 所以，整理得，所以， 故，由，解得， 即双曲线的离心率为. （2）因为双曲线过点，所以，则， 所以双曲线的方程为，右焦点， 得直线，即.设， ，消去得，则， 所以. 设过点与直线平行的直线的方程为， 当与双曲线的左支相切时，与之间的距离最小， 此时的面积最小. ，消去得， ，解得. 当时，与双曲线的右支相切，不符合题意； 当时，与双曲线的左支相切，符合题意， 所以，与直线的距离为， 所以面积的最小值为.    16．(1) (2) 【分析】（1）先计算当时点坐标，利用得出关于的方程； （2）利用点差法求直线的方程即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 17．(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 18．(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数，即可得方程； （2）根据双曲线的定义及已知得，设联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求得，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以，解得，， 所以双曲线C的标准方程为：. （2） 因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：，， 所以②， 由①②可得：， 由（1）知，所以， 因为直线l的斜率不为0，设， 则联立直线与双曲线，可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意， 所以，，， 所以， 所以， 解得（舍去）或，所以， 直线l的方程为：，即. 19．(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中关系列等式，即可求得得值，从而得到双曲线的方程. （2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程. （ii）利用向量的数量积为得到与垂直，设出两条垂直的直线、分别与双曲线方程联立，写出、的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证. 【详解】（1）设双曲线右焦点为，则有， 由于的一条渐近线的方程为，    由题可得，解得. 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，，由题意点是中点，    则，，直线的斜率. 因为、在上，则， 两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即， 检验：直线与联立方程得， 其，符合题意； 所以直线的方程为. （ii）设，由于，所以.    设直线，联立方程：，得， 其中且. 则有，，代入直线得， 所以. 同理设， 直线，联立方程：， 得， 其中且 则有，，代入直线得， 得. 所以 ， 则有直线. 令，得. 当直线的斜率不存在时，则，直线； 所以直线过定点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$