精品解析：2025年陕西省宝鸡市陇县九年级下学期第一次学业水平模考数学试卷

陇县2025年初中学业水平第一次模考 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 2. 某积木配件如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点分别是边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，图象经过，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，点为对角线的中点，过点作于，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数，且），点，，均在该抛物线上，则m、n、b的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b______．（填“”“”或“”） 10. 如图，正六边形的一条边长为，则该正六边形的中心到其中一边的距离为_______． 11. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为_______°． 12. 已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，当时，的取值范围是_______． 13. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 化简：． 16. 解方程：． 17. 如图，已知直线和射线，请用尺规作图法在射线上求作点D，连接，使是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 19. 今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 20. 数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法． （1）“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率． 21. 一天，军军想测量某塔的高度，如图，他在处观察塔的顶端的视线与水平地面的夹角，在点处有一棵高为的小树，当他从点处沿着方向移动到达点处时（即），此时发现塔的顶端点，小树的顶端以及点恰好在同一条直线上，已知图中所有点均在同一平面内，，，点在同一条直线上，，求该塔的高度．（参考数据：，，） 22. 2025年2月23日，第34届国际乒联—亚乒联盟亚洲杯在深圳大运中心落幕，中国乒乓球队再次展现了他们的强大实力，包揽了男、女单打冠军，以及全部奖牌．某校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．为表彰运动会上取得优异成绩的参赛选手，学校计划购买甲、乙两种体育用品共100件，已知甲体育用品每件50元，乙体育用品每件60元．设学校购买甲体育用品x件，购买这两种体育用品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该校要求购买的甲种体育用品的数量不多于乙种体育用品的3倍，求学校购买这两种体育用品所需的最少总费用． 23. 每年的月日是“世界森林日”，它是倡导绿色文明，保护森林生态的国际性节日．为提高学生的环保意识，树立人与自然和谐相处的理念，某校面向全校征集绘画作品（每班必须参加），并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整，本次所抽取班级征集到的作品数量的中位数为 件，本次所抽取班级征集到的作品数量的众数为 件； （2）求本次所抽取班级征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有个班，请你估计该校征集到的作品总数量． 24. 如图，在中，内接于，连接并延长，交于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 素材一：聪聪家的草莓大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线（部分）构成，如图所示，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：爸爸想扩大种植规模，计划在原有大棚的左侧再建一个同样大小的大棚，两个大棚共用支撑杆，聪聪帮爸爸画出了如图所示的设计图，所在抛物线与所在抛物线关于y轴对称（，）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固，现需在地面上的M、N、、处至大棚棚顶分别加装四根立柱、、、（均与地面DC垂直），点P、Q在抛物线上，、在抛物线上，点M、N关于轴的对称点分别为点，，且米，则需要的立柱总长度是多少米？ 26. 问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇县2025年初中学业水平第一次模考 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(-)=1，即可解答． 【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1， 因此-8的倒数是-． 故选：C． 【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 某积木配件如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案． 本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解题关键是熟练掌握三视图相关知识点． 【详解】解：从上面看，能看到半个圆，即看到的图形如下： 故选：． 3. 如图，，的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据平行线的性质求角的度数、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 由两直线平行，同旁内角互补推得，再根据角平分线的定义即可得解． 【详解】解：，， ， 平分， ． 故选：． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 先移项，合并同类项，系数化为1，可得解集． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：B． 5. 如图，在中，，点分别是边的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，正确理解和运用相关的性质是解题的关键．先根据三角形的中位线得出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，最后得出问题即可求解． 【详解】解：点分别是边的中点， ， 在中，，点是的中点， ， ， 故选：． 6. 一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后，图象经过，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键； 根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式，把代入，即可求解； 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象向左平移个单位长度后， 函数解析式为：， ∵平移后的函数图象经过点， ， 解得：； 故选：B 7. 如图，在菱形中，，，点为对角线的中点，过点作于，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，然后证明是等边三角形，得出，，可求出，最后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数，且），点，，均在该抛物线上，则m、n、b的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则b______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小， 先观察数轴可知，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，且， ∴． 故答案为：． 10. 如图，正六边形的一条边长为，则该正六边形的中心到其中一边的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，连接、，过点作，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 在中，． 故答案为：． 11. 如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为_______°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理， 先根据圆内接四边形的对角互补得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于，且， ∴， ∴． 故答案为：120． 12. 已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，反比例函数的性质， 先将点代入求出关系式，再求出当时的函数值，然后根据函数的增减性得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的关系式为． 当时，， ∵反比例函数的图象位于第二四象限，且在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大， ∴当时，． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接DQ，根据菱形的性质说明是等边三角形，， 再根据“边角边”证明，可得然后说明当时，OQ最小，作，最后根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：如图，连接DQ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴，即. ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴. 所以点在直线DQ上运动，故当时，OQ最小， 过点作， 在中，， ∴， 所以长度的最小值是2． 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，作出辅助线确定最小值是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、绝对值和负整数指数幂的性质计算，再去括号，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 15. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程， 先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，最后检验可得答案． 【详解】解：方程两边同乘得，， 移项，整理，得， 系数化为1，得. 检验：当时，， 是原方程的解． 17. 如图，已知直线和射线，请用尺规作图法在射线上求作点D，连接，使是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点即为所作． AI 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 先以点C为圆心，以为半径画弧，再以A为圆心，以为半径画弧，交于点G，然后以点G为圆心，以为半径，交前弧于点H，作射线，交射线于点D，则点D即为所求作，可得，则，所以是以为底边的等腰三角形． 【详解】略 18. 如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在和中，，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 先说明，再根据“斜边，直角边”证明，可得，然后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】略 19. 今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 【答案】此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设此次植树活动中李村植树棵，因为张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，所以张村植树棵，根据张村和李村共同植树500棵，可列方程，解方程求出的值，即可求出两村植树的棵数 ． 【详解】解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵， 根据题意得：， 解得：， （棵）， 答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵． 20. 数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法． （1）“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率． 【答案】（1）随机； （2）他们两人所抽卡片中有卡片的概率是． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是事件的分类、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． （1）根据事件的分类即可得解； （2）画出树状图后得出所有等可能的结果，再找出符合要求的结果数，根据简单的概率公式即可得解． 【小问1详解】 解：五张卡片中只有一张卡片， 五张卡片中随机抽取一张卡片，抽到是的概率是， 该事件可能发生，也可能不发生， 该事件属于随机事件． 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中他们两人所抽卡片中有卡片的有种结果， （他们两人所抽卡片中有卡片）． 答：他们两人所抽卡片中有卡片的概率是． 21. 一天，军军想测量某塔的高度，如图，他在处观察塔的顶端的视线与水平地面的夹角，在点处有一棵高为的小树，当他从点处沿着方向移动到达点处时（即），此时发现塔的顶端点，小树的顶端以及点恰好在同一条直线上，已知图中所有点均在同一平面内，，，点在同一条直线上，，求该塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】该塔的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形——仰角问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 先证明，则，即，故有，然后由，可得，联立即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得， 在中，， ∴， ∴， 联立，解得， 答：该塔的高度为． 22. 2025年2月23日，第34届国际乒联—亚乒联盟亚洲杯在深圳大运中心落幕，中国乒乓球队再次展现了他们的强大实力，包揽了男、女单打冠军，以及全部奖牌．某校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．为表彰运动会上取得优异成绩的参赛选手，学校计划购买甲、乙两种体育用品共100件，已知甲体育用品每件50元，乙体育用品每件60元．设学校购买甲体育用品x件，购买这两种体育用品的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该校要求购买的甲种体育用品的数量不多于乙种体育用品的3倍，求学校购买这两种体育用品所需的最少总费用． 【答案】（1） （2）学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数图象的性质，解一元一次不等式， （1）根据总费用等于购买甲种体育用品的费用加上购买乙种体育用品的费用的和可得答案； （2）根据不等关系列出不等式，求出解集，再根据一次函数的性质得出最小值． 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得. ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， （元）， 答：学校购买这两种体育用品所需的最少总费用为5250元． 23. 每年的月日是“世界森林日”，它是倡导绿色文明，保护森林生态的国际性节日．为提高学生的环保意识，树立人与自然和谐相处的理念，某校面向全校征集绘画作品（每班必须参加），并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）将条形统计图补充完整，本次所抽取班级征集到的作品数量的中位数为 件，本次所抽取班级征集到的作品数量的众数为 件； （2）求本次所抽取班级征集到的作品的平均数量； （3）若该校共有个班，请你估计该校征集到的作品总数量． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： ，； （2）本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为件； （3）估计该校征集到的作品总数量为件． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、求中位数、众数、加权平均数、用样本估计总体，解题关键是综合条形统计图和扇形统计图得到结论． （1）结合条形统计图和扇形统计图所得信息先求出本次所抽取班级数，即可得出作品数量为件的班级数，补全条形图后，根据中位数、众数定义即可得解； （2）根据平均数的定义计算即可求解； （3）根据样本估计总体即可得解． 【小问1详解】 解：结合条形统计图和扇形统计图可得： 本次所抽取班级数为个， 则作品数量为件的班级数为个， 抽取的班级数为偶数，则中位数应取所抽取班级征集到的作品数量按顺序排列后的第十和第十一个的平均数， 则结合统计图可得，本次所抽取班级征集到的作品数量的中位数为件； 作品数量为件的班级数最多，则本次所抽取班级征集到的作品数量的众数为件． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：结合补全的条形统计图可得， 本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为（件）． 答：本次所抽取班级征集到的作品的平均数量为件． 【小问3详解】 解：根据（2）估计该校征集到的作品总数量是（件）． 答：估计该校征集到的作品总数量为件． 24. 如图，在中，内接于，连接并延长，交于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的切线， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质与圆周角定理证明，可得，进一步可得结论； （2）由（1）知，，证明，可得，结合，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数的应用，熟练根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 素材一：聪聪家的草莓大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线（部分）构成，如图所示，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：爸爸想扩大种植规模，计划在原有大棚的左侧再建一个同样大小的大棚，两个大棚共用支撑杆，聪聪帮爸爸画出了如图所示的设计图，所在抛物线与所在抛物线关于y轴对称（，）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固，现需在地面上的M、N、、处至大棚棚顶分别加装四根立柱、、、（均与地面DC垂直），点P、Q在抛物线上，、在抛物线上，点M、N关于轴的对称点分别为点，，且米，则需要的立柱总长度是多少米？ 【答案】（1） （2）需要的立柱总长度是18米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意设设抛物线的函数表达式为，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解的函数表达式为，以及，，证明，当时，，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的顶点为，拋物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得：， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 的函数表达式为， ， ，， 点M、N关于抛物线的对称轴对称， 点M、N关于轴的对称点分别为点、， ， 当时，，， 需要的立柱总长度是18米． 26. 问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【解析】 【分析】（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，此时取最小值，设直线的解析式为，将点、点坐标代入求出解析式后，即可求得直线与轴的交点的坐标，可得值； （2）由勾股定理求出，证明后，由相似三角形的性质即可求出； （3）先证四边形是矩形，结合勾股定理求出，设，由平行线性质和正切值得出、、，证明后，由相似三角形的性质求出后即可得，即为定值，故只需求出的最小值即可，过作，作点关于的对称点，连接，则，即为的最小值，过作于点，由等面积法求出后即可得，再由勾股定理可得，周长的最小值即为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数的实际应用、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、利用正切值求线段，解题关键是熟练运用将军饮马模型解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $