精品解析：安徽省怀宁县新安中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

安徽省怀宁县新安中学2024--2025高二下学期5月考试卷 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. －1或－3 B. －1 C. 或1 D. －3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列描述正确的是（ ） A. 直线是的一条切线 B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ） A. 可能为等边三角形 B. C. 若直线的倾斜角为，则 D. 若直线的倾斜角为，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省怀宁县新安中学2024--2025高二下学期5月考试卷 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 4. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6. 从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】满足条件的安排方法可分两步完成，第一步，从人中选择人， 第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，利用组合知识求第一步的方法数，根据部分平均分组问题的处理方法求第二步的方法数，再由分步乘法计数原理求结论. 【详解】满足条件的安排方法可分两步完成， 第一步，从人中选择人，完成该步有种方法， 第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，完成该步的方法数为， 由分步乘法计数原理可得满足要求的方法共有种. 故选：D. 7. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 8. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. －1或－3 B. －1 C. 或1 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据极小值点有求参数，再将参数值代入验证是否满足题设即可得. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得或， 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，则下列描述正确的是（ ） A. 直线是的一条切线 B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据导数的几何意义验证即可判断；对于B选项，由题意可得，根据导函数的正负即可判断；对于C选项，通过判断函数在上的单调性，即可求解；对于D选项，根据函数的单调性，得，解不等式即可. 【详解】对于A，由，得， 假设直线是的一条切线，设切点为， 则，解得，此时，即切点为， 经验证，点也在直线上， 所以直线是的一条切线，故A正确； 对于B，因为，令，解得或，令，解得， 在和上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由B可知当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当或时，函数取得最小值， 又，， 所以当时，函数取得最小值为，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，又，， 所以，解得或，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ） A. 可能为等边三角形 B. C. 若直线的倾斜角为，则 D. 若直线的倾斜角为，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】若为等边三角形，则，，通过两点间距离可判断；设，，通过联立直线与抛物线方程由韦达定理即可判断；根据弦长公式可判断；由点到线的距离公式及三角形面积公式即可判断. 【详解】 由已知可得，设直线的方程为， 设，， 由得，所以，， 对于，若为等边三角形，则， 根据抛物线的对称性可得此时直线与轴垂直，且，， 所以，， 所以不可能为等边三角形，故错误； 对于，因为，，所以， 因为两点在抛物线上，所以，，所以， 所以，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，所以， 所以，， 所以 ，故正确； 对于，若直线的倾斜角为，直线的方程为，即， 所以到直线的距离为， 所以，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理得出通项，进而得出，根据已知列出方程求出的值，代入即可得出答案； （2）令，即可求解； （3）两边同时求导整理，进而令，即可求解. 【小问1详解】 由二项式定理可得展开式的通项为， 所以， 所以. 整理可得，解得或（舍去负值）， 所以. 【小问2详解】 令，， 令，可得， 所以. 【小问3详解】 对两边同时求导可得： ， 整理可得.， 令，可得. 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 17. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】（1）; （2）,. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. 【小问1详解】 由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据在处取得极值可得，可得，再进行验证，最后写出的单调区间. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，又， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，即， 此时， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极值，满足题意，故， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $