精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年九年级下学期期中测试数学试卷

2024−2025学年度初三年级第二学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. x3+x3=x6 B. x3•x6=x18 C. （x2）3=x5 D. x2÷x=x 3. 据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共24分．不许写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 实数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系是___________ 10. 若，则________． 11. 如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是______. 12. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 13. 已知 ， ，则的值是____________． 14. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为________． 16. 如图，平行四边形中，E、F分别为 的中点，与相交于点G，则________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，将矩形沿直线 折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，长为____． 18. 在 中，，， ，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 21. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 22. 跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 23. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得 ，连接、． （1）求证：四边形 是矩形． （2）若， ， ，求的长． 24. 如图，点在的边上， ，顶点在以为直径的上，过作交 的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 25. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 26. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为 ，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，求该教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 27. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中， ，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和 ，将 绕点顺时针旋转得到 ． 【操作发现】（1）若交于点，求证： ； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将 旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若 ，求 的长； 如图，若，，三点共线，求 的长； 【拓展延伸】（3）在 旋转的过程中，请直接写出 面积的最大值． 28. 在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． （1）当抛物线经过点时，求点的坐标； （2）若点在轴下方，当时，求此时的值； （3）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度初三年级第二学期期中测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算中，正确的是（　　） A. x3+x3=x6 B. x3•x6=x18 C. （x2）3=x5 D. x2÷x=x 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】x3+x3=2x3，∴A错误； x3•x6=x3+6=x9，∴B错误； （x2）3=x2×3=x6，∴C错误； x2÷x=x2﹣1=x，∴D错误． 故选：D． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及法则． 3. 据网络平台数据，截止4月7日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破151亿元，151亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：151亿， 故选：D． 4. 一次函数与交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握两条一次函数图象的交点的横坐标即为联立解析式得到对应方程的解，据此即可解答． 【详解】∵一次函数与交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 5. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 6. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取格点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 7. 如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果． 【详解】解：连接、， 四边形是菱形， ， 菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上， 与、与关于原点对称， 、经过点， ， ， ， 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质． 8. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，以及与轴的交点问题，由题意得，即得，可得，得，再画出二次函数图象，由图象可得当时，，即得，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ∵二次函数有两个相异的不动点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 令， 画该二次函数的草图如下： 设抛物线与轴交点的横坐标为，且， 当时，， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共24分．不许写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 实数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置比较大小，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴ 故答案为：． 10. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，代入计算即可． 【详解】解：， 设， ． 故答案为：． 11. 如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是______. 【答案】16°##16度 【解析】 【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°． 【详解】如图： ∵∠ABC=60°，∠2=44°， ∴∠EBC=16°， ∵BE∥CD， ∴∠1=∠EBC=16°． 故答案是：16°． 【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 12. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 13. 已知 ， ，则的值是____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题将分解因式即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了分解因式的应用，熟练掌握提公因式法是解题关键． 14. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线是， ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为： ． 16. 如图，平行四边形中，E、F分别为 的中点，与相交于点G，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合，计算选择即可． 【详解】延长交于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵E、F分别为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质证明，即可求解． 【详解】解：∵矩形的边 ，， ∴， ，， 轴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∴， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴ （负值舍去）， 故答案为：2． 18. 在 中，，， ，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么 为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴ 时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及乘方运算，化简绝对值，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则，正确化简是解题的关键．分别进行乘方运算，化简绝对值，计算负整数指数幂，以及代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 20. 先化简：，再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 先进行括号内异分母分式减法计算，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可，注意分母不为0． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式 21. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【答案】（1）20，15 （2）20． （3）3200万件． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）运用加权平均数的计算公式求解即可； （3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可． 【小问1详解】 解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15， 故中位数； 故答案为：20；15； 【小问2详解】 解：（万件）， 表中的值为20． 【小问3详解】 解：（万件）， 估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件． 22. 跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）， ∴选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表表示如下， ∴共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的情况有钟， ∴参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率为． 23. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得 ，连接、． （1）求证：四边形 是矩形． （2）若， ， ，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵ ． ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形． ∵， ∴ ， ∴ 是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行四边形的性质得到，，证明四边形 是平行四边形，再根据 即可证明矩形； （2）根据平行四边形的性质得到 ，利用勾股定理求得 ，利用三角形的面积求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴． ∴的面积 ， 即 ， 解得：． 24. 如图，点在的边上， ，顶点在以为直径的上，过作交 的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ，， ， ， ， ，点在上， 故是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据，证明，即可证明，即可证明结论； （2）根据特殊角的三角函数值得到，求出，分别求出和和的面积即可得到答案， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，为的直径， ， ， ， ， 且， ， ， ， ， 令半径为， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质，特殊角的三角函数值，以及扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 25. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 26. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为 ，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，求该教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．如图：过点P作 于点D，过点C作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长． 【详解】解：如图：过点P作 于点D，过点C作于点E， 则，米，米，， 在中，，可得米， 在中，，可得米， ∴（米）， ∴（米）， ∴该教学楼的高度为20米． 27. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中， ，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和 ，将 绕点顺时针旋转得到 ． 【操作发现】（1）若交于点，求证： ； 【深入探索】（2）在（）的条件下，同学们发现将 旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度． 如图，若 ，求 的长； 如图，若，，三点共线，求 的长； 【拓展延伸】（3）在 旋转的过程中，请直接写出 面积的最大值． 【答案】 （）证明: 如图，连接， ∵ ， 为中点， ∴ ， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵ 绕点顺时针旋转得到 ， ∴ ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ； （）；；（）． 【解析】 【分析】（）连接，由中位线定理可得 ，则，然后证明即可； （）由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解； 先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可； （）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解． 【详解】略 （）如图，记交于点， ∵，， 为中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， ∵ 绕点顺时针旋转得到 ， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵ 绕点顺时针旋转得到 ， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∵，，三点共线, ∴， ∴， ∴， 设， 在中， 由勾股定理，得， 则， 解得， ∴； （）如图，过作于点， ∵为定值， ∴当上的高线最大时，则 面积最大，即求出到的最大距离即可， ∵， 当点和点重合时，且 旋转到外侧时，此时最大， ∵， ∴此时三点共线， 即， ∴， 即 面积最大值为， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． （1）当抛物线经过点时，求点的坐标； （2）若点在轴下方，当时，求此时的值； （3）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标； （2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可； （3）由可知，定点H的坐标为，过点作，交射线 于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线的顶点的坐标为． 由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限． 记抛物线的对称轴与轴的交点为， 则， ∵顶点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去） ； 【小问3详解】 解：由可知， 当时，无论取何值，， 得点的坐标为． 过点作，交射线 于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则． ∵， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点与点不共线，舍去， ∴． 如图，同理可得：， 同理可得直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得（舍），． ∴． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，计算量特别大，难度大，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $