2025年中考数学复习——弧长与扇形面积

2025年中考数学复习 ——弧长与扇形面积 一、单选题 1．如图，点，，，在半径为3的上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为．如图，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（    ）（答案用根号表示） A． B． C． D． 6．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形圆心角，圆锥的底面半径，则此圆锥的侧面积是 ． 8．如图，的内接正六边形的边长为6，点是的中点，则的长为 ． 9．如图，直线直线， 点在直线上，点，在直线上，以的中点为圆心，的长为半径画弧交直线于点．若，，则的长为 10．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为15，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 11．如图，正六边形的边长为，以对角线为直径作圆．则图中阴影部分的面积为 ． 12．两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆的圆心落在半圆的圆弧上，半圆的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 13．如图，在中，，点O在上，以点O为圆心的半圆与边相切于D点，分别交，于点E，F． (1)求证：点D平分； (2)当，时，求的长． 14．如图，在中，，的平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，交于点E，交于点F． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．如图1，已知等腰三角形的外接圆圆心为点，，为的直径，交于点，，； (1)求的长； (2)连，求证：四边形为菱形； (3)直接写出图2中阴影部分的面积． 16．如图，是的切线，切点为B，交于点C，过点C的切线交于点D．若，． (1)求的半径； (2)若点P在上运动，设点P到直线的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 17．如图1，的半径，弦．直线与相切于点C，．点P为弦的中点，连接． (1)如图1，求大小及线段的长度； (2)若弦以圆心为旋转中心，逆时针旋转到时停止，如图2所示，求点走过的路线长． 18．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学复习 ——弧长与扇形面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A A A A A 1．D 【分析】此题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后根据求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解∶∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∵半径为3 ∴的长为． 故选：D． 2．A 【分析】连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接、、， ∵， ∴是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是， ∴的长为以为直径的圆周长的， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 3．A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了折叠性质，扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则， ，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为， ， ， ， ∴， ，， 由弧、线段和所围成的图形的面积 阴影部分的面积为. 故选：A． 6．A 【分析】先利用证明，再通过证明四边形的四条边相等，来证明它是菱形，然后利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连线与直线交于点，直线交于点，连结， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹是以为圆心为半径的半圆， ∴其长度为． 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，菱形的判断与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是通过证明四边形的四条边相等，来证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解． 7． 【分析】题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长， ∴，解得， ∴此圆锥的侧面积是， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了正多边形和圆，弧长公式，垂径定理．先利用正多边形和圆的性质求得正六边形的中心角，再利用垂径定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 9． 【分析】连接，证明为等边三角形，结合为的中点得，，，由勾股定理得，延长交直线于点，证明得，，进而求得，最后根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等边三角形， 又为的中点， ，，， ， 如图，延长交直线于点， 直线直线， ， 又， ， ，， 又， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式的应用，熟记弧长公式是解题的关键． 由题意得“莱洛三角形”的周长为三条弧长的和，再根据等边三角形得到圆心角为，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图：       ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 六边形为正六边形， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 连接，，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质结合等腰三角形的性质得到，进而利用弧和圆周角的关系可得结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求得，在中，利用锐角三角函数定义求得的半径，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴． ∵与相切， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即点D平分； （2）解：连接，则． ∵， ∴， 在中，由， 得：， ∴的半径， ∴的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、弧与圆周角的关系、解直角三角形、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识的运用及联系是解答的关键． 14．(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查切线的判定，角平分线的性质，解直角三角形，扇形的面积等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）过点O作，垂足为D，根据角平分线的性质可知，即可证明结论； （2）在中，，设为x，根据勾股定理有，可得，在中，，得，进而得，由（1）知，，在中，，根据阴影部分面积及可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 过点O作，垂足为D． 是的平分线， ， 是的半径， 圆心O到的距离等于的半径，即是的半径． 与相切． （2）在中，，，， 设为x，则， 解得，即． 在中，， ，则． ，则， ． 由（1）知，． 在中，． 阴影部分面积． 15．(1) (2)见解析 (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用垂径定理，直角三角形的性质得到，利用等边三角形的判定与性质和菱形的定义解答即可； （3）连接，，过点O作于点E，利用（2）的结论，菱形的性质，等边三角形的判定与性质求得，，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用扇形与三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解：连接，，过点O作于点E，如图， 由（2）知：为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，扇形与三角形的面积公式，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16．(1) (2)，自变量的取值范围是 【分析】（1）连接，先根据切线长定理可得，，，再根据含30度的直角三角形的性质可得，然后解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）过点作于点，连接，先求出的面积，再求出弓形的面积，从而可得阴影部分的面积，然后根据圆的性质可得当点到的垂线经过圆心时，的值最大，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即的半径为． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵点到直线的距离为， ∴， ∵弓形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵点P在上运动， ∴当点与点（或点）重合时，的值最小，最小值为0， 当点到的垂线经过圆心时，的值最大，最大值为， 综上，，自变量的取值范围是． 【点睛】本题考查了切线长定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、一次函数的应用、扇形的面积等知识，熟练掌握切线长定理和扇形的面积公式是解题关键． 17．(1)， (2) 【分析】（1）连接，，由切线得到，求出，然后利用圆周角定理求出；由垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）连接，求出为直径，点在线段上，然后求出旋转角为，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵直线与相切于点C， ∴， ， ∵点P为弦的中点 ∴垂直平分 ； （2）连接， ∵， ∴为直径，点在线段上． 与圆相切， ． 又， ，即旋转角为． 点走过的路线长为． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弧长等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$