数学（江苏宿迁专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（江苏宿迁专用） 押题猜想一 方程与代数综合 1 押题猜想二 三角形、四边形问题综合 9 押题猜想三 一次函数、反比例函数与几何综合 39 押题猜想四 二次函数的图象与性质 76 押题猜想五 二次函数的应用 88 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 97 押题猜想七 相似三角形的综合 97 押题猜想八 圆的证明与计算 97 押题猜想九 尺规作图与几何 97 押题猜想十 统计与概率 97 押题猜想十一 最值问题 97 押题猜想十二 图形的平移、旋转、翻折问题 97 押题猜想十三 新定义问题 97 押题猜想一 方程与代数综合 限时：5min 1．先化简，再求值：，其中． 押题解读 本考点为必考考点，是中考数学中较为基础的内容，在选择题、填空题和解答题中均有出现；主要考查学生的计算能力和计算速度；对于宿迁的中考学生来说，加强实数、方程和不等式的计算练习尤其重要，特别是乘法公式、一元二次方程的计算、配方法以及含参问题的计算等，都是必须要勤加练习。 2．计算：． 3．已知，求的值． 4．先化简， 再求值： ，其中a为绝对值小于或等于 2的整数． 5．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 押题猜想二 三角形、四边形问题综合 限时：10min 6．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 押题解读 三角形、四边形相关的知识是中考数学必考点，尤其是全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形和特殊的平行四边形的判定与性质，考查的都是学生对基础知识的理解和运用，常在选择题、填空题、解答题中出现；较为基础的考法就是求角度、边长或面积等，难题中会考查最值问题或者与函数的知识点一起考查；解决此类问题的关键在于基础知识的掌握，另外要训练最值问题的做题方法和函数题型的做题技巧； 7．如图，四边形是平行四边形，用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），并解答问题： (1)作图：作对角线的垂直平分线，与、、分别交于点E、F、O，连接、； (2)判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 8．如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 9．如图，四边形是菱形，，交于点，于点H． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 10．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 押题猜想三 一次函数、反比例函数与几何综合 限时：12min 11．如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 押题解读 本考点为中考的必考考点，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、一次函数的平移、一次函数与方程、不等式的关系、一次函数与反比例函数的应用、一次函数与反比例函数的关系等，选择或者填空题会考查较为基础的内容，解答题的中等难度题也会考查；作为考生，我们要多练一下近几年的宿迁中考数学题，养成解决此类问题的思维。 12．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线经过、两点，过点作∥y轴交双曲线于点，则的值为 ． 13．如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则 ． 14．如图，已知直线与轴、轴分别交于、A两点，与反比例函数的图像分别交于两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)求的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 押题猜想四 二次函数的图象与性质 限时：20min 16．某位学生根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断：①当时，函数有最小值为0；②点在这个函数图像上；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为；④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则．其中说法正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 押题解读 本考点为必考考点，二次函数的图象与性质是初中阶段最重要的考查内容，基本上每年的中考卷均会重点考查；一般会在小题里面出现一题，大题会重点考查，出现在压轴题时会和其他知识点一起综合考查；近几年宿迁中考数学考查此知识点的题型比较新颖，难度也较高，故我们在平时做题的时候要加强练习，尤其边、角、最值、三角函数类考查题型，重点考查对象。 17．抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 19．已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 20．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 押题猜想五 二次函数的应用 限时：15min 21．某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 押题解读 本考点为中考必考考点，主要会考查的应用题型有销售利润问题、动态几何问题、图形几何问题、含参类型的应用等问题；一般都是在解答题中考查，选择题、填空题偶有出现，但难度不大；近几年宿迁的中考数学题针对二次函数的应用考查分值不大，但题目都比较新颖，要注意对题目概念的理解。 22．某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量（单位：万包）和售价（单位：元包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如表所示： 售价（元包） 周销售量万包 (1)求出与的函数关系式． (2)若该零食礼包的生产成本是元包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少万元?此时周销售量是多少? 23．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 24．某商店以30元/件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元/件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示： 第天（为整数） 日销售价（元/件） 40 日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数． (1)求第30天的销售利润； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？日销售利润 （日销售价 进价） 日销售量 25．如图，在四边形中，A、B、C三点坐标分别为、、、上一动点P以每秒1.5个单位长度由点O向终点A运动；同时上一动点Q以每秒1个单位长度由点B向终点C运动，设运动的时间为t秒． (1)设， 求y与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (2)当时，求t值； (3)无论t取何值，是否存在某一定点，使得直线恒过该定点．如果存在，请求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 限时：15min 26．春节期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600米高的山峰，由山底处先步行200米到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为每分钟20米，登山缆车的速度为每分钟50米，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟？（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1）（参考数据：） 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的实际应用包括仰俯角问题、方位角问题、坡度坡比等，常在解答题中出现；这个知识点主要考查对锐角三角函数的实际应用和三角函数的计算能力的要求，属于必须拿分的题目，要注意的是锐角三角函数的题目辅助线要横平竖直的添加。 27．如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 28．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 29．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 30．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为（A，B，D，E在同一条直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到0.1米，参考数据） 押题猜想七 相似三角形的综合 限时：25min 31．如图1，和都是等边三角形，连接，．    (1)求的值； (2)如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； (3)如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 押题解读 本考点为必考考点，相似三角形的判定与性质是初中阶段极为重要的一块内容，一般在各个题型中均有可能会考查，作为压轴题来考查相似三角形，会与其他知识点一起综合考查；解决此类问题的方法主要是加强相似概念的理解，通过刷一些宿迁这边的一模二模题型，可以加强做这一块题型的熟悉度。 32．在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 33．在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值． 34．“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 35．在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 押题猜想八 圆的证明与计算 限时：20min 36．如图，是的内接三角形，是的直径，且与相交于点，，． (1)判断直线与的位罝关系，并说明理由； (2)若，求的面积． 押题解读 本考点为必考考点，圆的知识点有点多，包括垂径定理、圆周角圆心角、直线与圆的位置关系、正多边形等等；一般圆的题目会出现在选择题、填空题和大题，作为压轴题来考查的话，圆的题目有些难度，需要综合运用圆的基础概念和圆与其他知识点的混合；解决圆类的问题，最主要是牢记勾股定理和垂径定理的应用； 37．如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 38．阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 39．如图，是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 40．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 押题猜想九 尺规作图与几何 限时：10min 41．如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 押题解读 本考点为必考考点，尺规作图已经成为宿迁中考数学必不缺少的一部分，主要在解答题中出现，一般难度不大，熟记初中的基本尺规作图方法，尤其是不同的尺规作图方法需要注意的点； 42．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． (1)尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 43．如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 44．如图，为锐角三角形．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 45．如图，在中，，点在边上，连接，过点作射线． (1)在射线上求作点，使得；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若， ，，求的长． 押题猜想十 统计与概率 限时：10min 46．某地区教育部门为了解本地区初二学生立定跳远的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，对跳远成绩进行分类：A类（优秀），B类（良好），C类（及格），D类（不及格），将调查结果绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中的样本容量是_________； (2)求出C项对应的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)如果该地区初二学生有5200名学生，请你估计该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有多少人？ 押题解读 本考点为必考考点，统计概率主要涉及到平均数、中位线、众数、方差、概率等；此类题型比较简单，一般填空题里边会考查一道，解答题一道统计，一道概率，这是固定考查模型；解决此类问题只需要熟悉基础概念，考试的时候千万不要混淆概念。 47．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查了部分学生听写的结果，并绘制成如下统计图表(均不完整)． 组别 听写正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息解决下列问题： (1)_____， ____； (2)补全图（1）中的统计图； (3)求出图（2）中α的度数； (4)已知该校共有3000名学生，如果将听写正确的个数小于24定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 48．某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． (1)补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； (2) ， ； (3)从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 49．一般地，如果随机事件发生的概率是，那么相同条件下重复次试验，事件发生的次数的平均值为．请尝试解决： 问题．假设某航班平均每次约有名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费元，则在次飞行中，飞机平均失事______次，保险公司共收取保险费______元．若保险公司必须保证收入不小于支出，则该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． 问题．某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费元．如果该航空公司航班平均每次约有名乘客，并且乘客都没有自费另买保险，那么平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？ 50．某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有___________名； (2)请把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是___________度． (4)团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ 押题猜想十一 最值问题 限时：15min 51．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 押题解读 本考点为常考点之一，最值问题属于初中数学的一个难点，同时也是中考数学的常客，往往是在压轴题进行考查；宿迁的中考数学对这一块的考查也比较频繁，基本上都是作为压轴题；解决此类问题的方法是训练一下初中阶段考查的最值模型，比方说将军饮马问题、三点共线问题、隐圆问题等等，当然，也可以从动点的轨迹问题来统一思考。 52．直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ） A．(-3，0) B．(-6，0) C．(-，0) D．(-，0) 53．若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为 54．如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为 ． 55．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为 ． 押题猜想十二 图形的平移、旋转、翻折问题 限时：15min 56．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 押题解读 本考点为常考点之一，图形的平移、旋转、翻折均属于小题中压轴题常考的题型，难度较大，多与几何图形、函数等知识点一起综合考查；从近几年的宿迁中考卷来看，这一块的考查越来越灵活，需要考生多加练习，加强辅助线添加的思维训练，这样可以有效帮助理解题意。 57．如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    58．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ． 59．如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    60．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 押题猜想十三 新定义问题 限时：20min 61．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 押题解读 本考点为常考点之一，新定义问题属于课本知识的延伸或者拓展，基本上都会有挂钩的知识点，所以在理解新定义问题时首先要明确考查的是课本那一块的内容，再具体分析；新定义问题可难可简单，一般三种题型里均会考查。 62．对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 63．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． (1)反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 64．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 65．数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决： (1)如图1，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1，已知A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，且以、为边的四边形是对等四边形，则顶点D的坐标为______； (2)如图2，在圆内接四边形中，是的直径，．求证：四边形是对等四边形； (3)如图3，在中，，，，点A为中点，动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动．设运动时间为t秒，若四边形是对等四边形时，求t的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（江苏宿迁专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 方程与代数综合 1 押题猜想二 三角形、四边形问题综合 9 押题猜想三 一次函数、反比例函数与几何综合 39 押题猜想四 二次函数的图象与性质 76 押题猜想五 二次函数的应用 88 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 97 押题猜想七 相似三角形的综合 97 押题猜想八 圆的证明与计算 97 押题猜想九 尺规作图与几何 97 押题猜想十 统计与概率 97 押题猜想十一 最值问题 97 押题猜想十二 图形的平移、旋转、翻折问题 97 押题猜想十三 新定义问题 97 押题猜想一 方程与代数综合 限时：5min 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 押题解读 本考点为必考考点，是中考数学中较为基础的内容，在选择题、填空题和解答题中均有出现；主要考查学生的计算能力和计算速度；对于宿迁的中考学生来说，加强实数、方程和不等式的计算练习尤其重要，特别是乘法公式、一元二次方程的计算、配方法以及含参问题的计算等，都是必须要勤加练习。 2．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 4．先化简， 再求值： ，其中a为绝对值小于或等于 2的整数． 【答案】，时，原式= 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，再计算减法得到最终化简结果，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∵a为绝对值小于或等于 2的整数， ∴， ∴原式． 5．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】； 【分析】先通分计算分式的加法，再计算分式的除法，结合平方差公式因式分解法，化简，最后解出不等式组的解集，从中选择合适的整数值代入计算即可． 【详解】原式 ， 不等式组， 解得：． ∵不等式组的整数解是或1或0或2 ∴当，1，0时，原式没有意义； 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及分式有意义的条件、解不等式组的整数解等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 押题猜想二 三角形、四边形问题综合 限时：10min 6．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 又， ． ； （2）解：， ， ． 押题解读 三角形、四边形相关的知识是中考数学必考点，尤其是全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形和特殊的平行四边形的判定与性质，考查的都是学生对基础知识的理解和运用，常在选择题、填空题、解答题中出现；较为基础的考法就是求角度、边长或面积等，难题中会考查最值问题或者与函数的知识点一起考查；解决此类问题的关键在于基础知识的掌握，另外要训练最值问题的做题方法和函数题型的做题技巧； 7．如图，四边形是平行四边形，用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），并解答问题： (1)作图：作对角线的垂直平分线，与、、分别交于点E、F、O，连接、； (2)判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，再根据平行四边形的性质得出，利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键． 8．如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 【答案】(1)见解析 (2)128 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ，即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9．如图，四边形是菱形，，交于点，于点H． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）由菱形的性质及勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可得出答案； （2）根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据等角的余角相等证明即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ． 10．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 押题猜想三 一次函数、反比例函数与几何综合 限时：12min 11．如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点,设，则，设直线的解析式为，得到，继而得到，得到求出或（舍去），即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点, , , 设，则， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 或， ， 不符合题意， ， 故答案为：C． 押题解读 本考点为中考的必考考点，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、一次函数的平移、一次函数与方程、不等式的关系、一次函数与反比例函数的应用、一次函数与反比例函数的关系等，选择或者填空题会考查较为基础的内容，解答题的中等难度题也会考查；作为考生，我们要多练一下近几年的宿迁中考数学题，养成解决此类问题的思维。 12．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线经过、两点，过点作∥y轴交双曲线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数的中心对称性，平行线分线段成比例定理，反比例函数图像上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意正确添加辅助线，表示出各点的坐标是解题关键． 过点A作，设与y轴交点为F，，则，，根据反比例函数的中心对称性得到，根据三角形面积公式即可求出． 【详解】解：过点A作， 设与y轴交点为F， ∵过原点O，双曲线过A，B两点，则，，， 由题意得： ∵，， ∴，轴 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 故答案为：B． 13．如图，平行四边形的顶点A在x轴上，对角线相交于点D，且点C，D在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，作轴于，轴于，利用反比例函数系数的几何意义得出，根据平行四边形的性质得出，的面积为，根据平行线分线段成比例定理证得，故设，则，即可得到，解得，正确表示出的坐标，得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图： ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∵平行四边形的对角线相交于点， ， ， ， ∴设，则， 的面积为8， 的面积为2， ， 解得：， 故答案为：． 14．如图，已知直线与轴、轴分别交于、A两点，与反比例函数的图像分别交于两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的图像与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数图像的交点． （1）把点代入函数与即可求解； （2）对于直线，分别令与，求出点A，B的坐标，得到，的长．解方程组得到点C，D的坐标，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得， ∵反比例函数的图像过点， ∴； （2）解：∵， ∴直线的解析式为，反比例函数解析式为， 对于直线， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，． 过点C作轴于点E，过点D作轴于点F， 解方程组得或， ∴，， ∴，， ∴ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得，即， ∴， ∴点的坐标为或． 押题猜想四 二次函数的图象与性质 限时：20min 16．某位学生根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断：①当时，函数有最小值为0；②点在这个函数图像上；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为；④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则．其中说法正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断①正确；根据待定系数法求出抛物线的函数解析式，可验证点是否在抛物线上，可判断②错误；根据抛物线的平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，即可判断③错误；联立方程组，消去y得，，当一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点时，其判别式，解方程可得，，即可判断④错误． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的顶点坐标为， 抛物线的开口向上， 当时，函数有最小值为0， ①正确； 抛物线的顶点式为，且由图可知抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点不在这个函数图像上， ②错误； 将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为， ③错误； 联立方程组， 消去y得，， 若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点， 则， 解得，， ④错误； 其中说法正确的个数为1． 故选：A． 押题解读 本考点为必考考点，二次函数的图象与性质是初中阶段最重要的考查内容，基本上每年的中考卷均会重点考查；一般会在小题里面出现一题，大题会重点考查，出现在压轴题时会和其他知识点一起综合考查；近几年宿迁中考数学考查此知识点的题型比较新颖，难度也较高，故我们在平时做题的时候要加强练习，尤其边、角、最值、三角函数类考查题型，重点考查对象。 17．抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于， 设， ，， ， ． 是方程的两根 ， ， ． 故选：C． 18．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先利用一元二次方程根的判别式可得一元二次方程有两个不相等的实数根，从而可得函数的图象与轴有2个交点，即，再分两种情况：①当，且中有一个数等于0时，②当，且均不等于0时，利用一次函数的图象、一元二次方程根的判别式可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即． ①当，且中有一个数等于0时，则，， ∴函数的解析式为，其图象与轴有1个交点，即， ∴此时； ②当，且均不等于0时，则， 一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即， ∴此时； 综上，或， 故选：C． 19．已知点、在二次函数的图像上，当时，． (1)① ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． (2)若是图像上的两点，且，求的取值范围． (3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②4 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式得关系． （1）①根据题意可得对称轴为直线，继而列式解出的值；②利用即可求出的值； （2）根据抛物线对称性特点，点关于直线的对称点为，再根据二次函数增减性列出不等式即可求解； （3）根据题意可得二次函数最小值为，继而得到的取值范围． 【详解】（1）解：①∵当时，， ∴对称轴为：直线， ∵点、在二次函数的图像上， ∴，即：， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴，即：， 故答案为：； （2）解：∵对称轴为：直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵，，对于任意实数、都有， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 押题猜想五 二次函数的应用 限时：15min 21．某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 由（1）得，， ， 当时，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 押题解读 本考点为中考必考考点，主要会考查的应用题型有销售利润问题、动态几何问题、图形几何问题、含参类型的应用等问题；一般都是在解答题中考查，选择题、填空题偶有出现，但难度不大；近几年宿迁的中考数学题针对二次函数的应用考查分值不大，但题目都比较新颖，要注意对题目概念的理解。 22．某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量（单位：万包）和售价（单位：元包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如表所示： 售价（元包） 周销售量万包 (1)求出与的函数关系式． (2)若该零食礼包的生产成本是元包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少万元?此时周销售量是多少? 【答案】(1)与的函数关系式； (2)当每包的售价是元时，周销售利润最大，最大周销售利润是万元，此时周销售量是万包． 【分析】（）待定系数法求一次函数解析式 （）设周销售利润，利用每包利润销量列函数得即有，根据二次函数开口向下，函数有最大值，当时，最大万元，求出销量即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 根据表格可知，当时，；当时，； ∴，解得：， ∴与的函数关系式； （2）设周销售利润元， 由题意得， 整理得：， ∴当时，取最大值，此时， ∴（万包）． 答：当每包的售价是元时，周销售利润最大，最大周销售利润是万元，此时周销售量是万包． 23．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克 (2)利润最大为3450元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即可； （2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克， 则，解得：． 答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克． （2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元， ∴利润 ． 又∵， ∴当时，利润有最大值，最大值为3450元． 24．某商店以30元/件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元/件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示： 第天（为整数） 日销售价（元/件） 40 日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数． (1)求第30天的销售利润； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？日销售利润 （日销售价 进价） 日销售量 【答案】(1)750元 (2)该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意销售量、利润与时间x的关系是解答的关键． （1）先求出第30天的销售量和销售单价，再由销售利润单件利润销售量求解即可； （2）先求得日销售利润与销售时间的关系式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，销售量，销售单价为元/件， ∴第30天的销售利润为元； （2）解：设日销售利润为W元， 当时，日销售量为，销售单价为元/件， ∴日销售利润， ∵， ∴当时，W最大，最大值为800； 当时，日销售量，销售单价为40元， ∴日销售利润， ∵，y为整数， ∴当时，W最大，最大值为元， ∵， ∴该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元． 25．如图，在四边形中，A、B、C三点坐标分别为、、、上一动点P以每秒1.5个单位长度由点O向终点A运动；同时上一动点Q以每秒1个单位长度由点B向终点C运动，设运动的时间为t秒． (1)设， 求y与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (2)当时，求t值； (3)无论t取何值，是否存在某一定点，使得直线恒过该定点．如果存在，请求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】对于（1），过点P作垂线，再根据勾股定理列出方程，整理得出答案； 对于（2），将数值代入计算即可； 对于（3），先将关系式联立，求出解，再确定答案． 【详解】（1）过点P作，交于点D． 根据题意可知，，，，， ∵点，点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据勾股定理，得， 即， ∴； （2）当时，， 解得或； （3）存在，连接，，交于点E．连接， 设直线的关系式为，直线的关系式为，得 ，， 解得，， 所以直线的关系式为，， 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点E的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴共线， 所以直线恒过点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求自变量等，确定定点的位置是解题的关键． 押题猜想六 锐角三角函数的实际应用 限时：15min 26．春节期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600米高的山峰，由山底处先步行200米到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为每分钟20米，登山缆车的速度为每分钟50米，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟？（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到0.1）（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)分钟 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过B点作于点F，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于点F，则， 由题意可知，， ∴四边形是矩形， ∵在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：登山缆车上升的高度为米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴从山底A处到达山顶C处大约需要： （分钟）， 答：从山底A处到达山顶C处大约需要分钟. 押题解读 本考点为必考考点，锐角三角函数的实际应用包括仰俯角问题、方位角问题、坡度坡比等，常在解答题中出现；这个知识点主要考查对锐角三角函数的实际应用和三角函数的计算能力的要求，属于必须拿分的题目，要注意的是锐角三角函数的题目辅助线要横平竖直的添加。 27．如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点在竖直方向上升了 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过作于，在根据代入计算即可； （2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （2）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 28．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键， （1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 答：点D与塔顶P的距离为． （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 29．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 30．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为（A，B，D，E在同一条直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】宣传牌的高度约为4.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论，进一步解答即可得解． 【详解】解：过点作于， 依题意知，，， 四边形是矩形， ， 在中， （米， ； 斜坡的坡度为． 中，（米， （米． 在中， （米， 在中， （米， （米． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 押题猜想七 相似三角形的综合 限时：25min 31．如图1，和都是等边三角形，连接，．    (1)求的值； (2)如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； (3)如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， （2）解：，， ， ，； ， ， ； （3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，   是等腰直角三角形，，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 押题解读 本考点为必考考点，相似三角形的判定与性质是初中阶段极为重要的一块内容，一般在各个题型中均有可能会考查，作为压轴题来考查相似三角形，会与其他知识点一起综合考查；解决此类问题的方法主要是加强相似概念的理解，通过刷一些宿迁这边的一模二模题型，可以加强做这一块题型的熟悉度。 32．在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，，由相似三角的性质得出，可求出的长，则可得出答案； （3）设，则，由折叠知，，，由相似三角形的性质得出，，则可得出方程求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ，， ， ． （2）解：把沿翻折，使点恰好落在边上的点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得． ， ， 故答案为：； （3）解：设，则， 由折叠知，，， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 33．在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； (3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）作交的延长线于，证明及，二者结合可证明结论； （3）点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形找出点的最大值，然后根据垂线段最短可求出的最小值，从而确定和的比值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，设的延长线交于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2， 作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环， 当在的延长线上时，最大， ，，， 为的中点， ， ， 根据三角形面积可得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 34．“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 【答案】[初步应用]；[变式练习]的长为 ；[操作思考]图形见解析． 【分析】[初步应用]先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； [变式练习]过点作交于点，先证明得到，设，表示出的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； [操作思考]根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有 ，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； 【详解】解：[初步应用]：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即 ， ∴， 设， 则， 在中， ， ， 解得 (负值舍去) ， ∴的长为 ， 故答案为： ． [变式练习]：如图，过点E作 交于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 解得： ， 当 时，，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意； ∴的长为 [操作思考]：如图，点C即为所求． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 35．在梯形中，，点在边上，且． (1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； (2)已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接并延长交的延长线于P，证明，得出，结合已知可得出，，证明，得出，则可证明，即可证明； （2）①连接并延长交的延长线于P，证明，求出，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，求出，即可求解； ②设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F，证明，得出，由角平分线定义得出，结合平行线的性质可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交的延长线于P， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：①连接并延长交的延长线于P， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 押题猜想八 圆的证明与计算 限时：20min 36．如图，是的内接三角形，是的直径，且与相交于点，，． (1)判断直线与的位罝关系，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，即可得到结论； （2）连接并延长交于点，证明，得到，由得到，得到，则于点，求出，得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切 （2）连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴于点， ∵， ∴， 解得 ∴     ∴， ∴ 【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 押题解读 本考点为必考考点，圆的知识点有点多，包括垂径定理、圆周角圆心角、直线与圆的位置关系、正多边形等等；一般圆的题目会出现在选择题、填空题和大题，作为压轴题来考查的话，圆的题目有些难度，需要综合运用圆的基础概念和圆与其他知识点的混合；解决圆类的问题，最主要是牢记勾股定理和垂径定理的应用； 37．如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 38．阅读与思考 下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为． 完成下列任务： (1)连接，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案； （2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： 为的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， ∵， ∴， 由（1），得， ， ，即， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 39．如图，是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 40．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴． ∵为的直径，是切线， ∴． ∴． （2）证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴． ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴． ∴． 由折叠可得， ∴． ∵在中，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 押题猜想九 尺规作图与几何 限时：10min 41．如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 押题解读 本考点为必考考点，尺规作图已经成为宿迁中考数学必不缺少的一部分，主要在解答题中出现，一般难度不大，熟记初中的基本尺规作图方法，尤其是不同的尺规作图方法需要注意的点； 42．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中， 求证：． (1)尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等； （1）根据作角平分线的步骤作图即可； （2）利用判定出，再根据性质求解即可． 【详解】（1）解：如解图，，即为所求． （2）证明：平分， ． 又， ． ． ， ． 43．如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 【答案】(1)图见解析 (2)的半径为 【分析】（1）先做出的垂直平分线，交于F点，交于E点，连接，再作出的垂直平分线交于O点，O点即为圆心，以O点为圆心，长为半径画圆即可． （2）根据题意首先得出四边形是矩形，进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和矩形的判定与性质等知识，正确应用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：如图，为所作； ∵为的弦，垂直平分， ∴必过圆心， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴E点是切点， ∴是的弦， ∴、的垂直平分线的交点就是圆心，长就是半径， 因此即为所求； （2）解： ∵四边形是正方形， ，， ∵垂直平分， ，且， 四边形为矩形， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 44．如图，为锐角三角形．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据要求作出图形即可； （2）作于，求出、，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求，   ； （2）解：如图，作于，   ， 在中，，， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ． 45．如图，在中，，点在边上，连接，过点作射线． (1)在射线上求作点，使得；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若， ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——相似变换，解直角三角形，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）在上方作，交于点，点即为所求； （2）解直角三角形求出、，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）在中，，，， ， ， ， ， ， ， ． 押题猜想十 统计与概率 限时：10min 46．某地区教育部门为了解本地区初二学生立定跳远的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，对跳远成绩进行分类：A类（优秀），B类（良好），C类（及格），D类（不及格），将调查结果绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中的样本容量是_________； (2)求出C项对应的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)如果该地区初二学生有5200名学生，请你估计该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有多少人？ 【答案】(1) (2)，图形统计图见解析 (3)该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有人 【分析】本题考查了统计图的应用，求扇形的圆心角，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据统计图数据计算即可； （2）根据统计图数据求出C项对应的扇形的圆心角度数，补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：根据统计图得，本次调查中的样本容量是， 故答案为：； （2）解：C项对应的扇形的圆心角度数为， 成绩优秀的人数为人， 补全图形统计图如下： （3）解：人， 答：该地区初二学生中立定跳远成绩为“优秀”的大约有人． 押题解读 本考点为必考考点，统计概率主要涉及到平均数、中位线、众数、方差、概率等；此类题型比较简单，一般填空题里边会考查一道，解答题一道统计，一道概率，这是固定考查模型；解决此类问题只需要熟悉基础概念，考试的时候千万不要混淆概念。 47．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查了部分学生听写的结果，并绘制成如下统计图表(均不完整)． 组别 听写正确的个数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息解决下列问题： (1)_____， ____； (2)补全图（1）中的统计图； (3)求出图（2）中α的度数； (4)已知该校共有3000名学生，如果将听写正确的个数小于24定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数． 【答案】(1)30； 20； (2)补全图形见解析； (3)； (4)估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数为1500名． 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，频数分布表以及利用样本估计，总体等知识，属于常考题型，正确懂㯵图象信息，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据组有 15 人，所占的百分比是即可求得总人数，然后用求出的总人数分别乘以两组所占的百分比即可求出的值，进而可补全条形统计图； （2）根据（1）中的计算结果，进而可补全条形统计图； （3）先根据组的人数总人数求出组的占比，再根据组的圆心角度数组的占比求出答案即可； （4）先求出“听写正确的个数少于 24 个”的人数，再利用总人数 3000 乘以对应的比例即可． 【详解】（1）解：本次随机抽查的学生共有（名）， ． （2）解：补全的条形统计图如图所示． （3）解：． （4）解：由题意可知“听写正确的个数少于 24 个”的人数为不合格，那么三组均是不合格的， ∴不合格人数（名）． 答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数为1500名． 48．某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析，给出了下列部分信息、 平均数 中位数 众数 方差 甲品种 3.16 3.2 a 0.2944 乙品种 3.16 b 3.5 0.1484 甲品种产量：，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示（不完整）． (1)补全如图的折线统计图（图中要写上数据）； (2) ， ； (3)从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)乙品种，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数与众数、方差、折线统计图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用平均数公式求出乙品种第七棵的产量，据此补全折线统计图即可得； （2）根据中位数和众数的定义求解即可得； （3）从平均数和方差的角度，平均数相同，选择方差小的品种即可得． 【详解】（1）解：设乙品种第七棵的产量为千克， 则， 解得． 补全折线统计图如下： ． （2）解：甲品种的10个数据中，数据出现了3次，出现的次数最多， 所以其众数； 将乙品种的10个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∵排在第5位和第6位的数是，， ∴中位数； 故答案为：，． （3）解：该基地应推广种植乙品种的枸杞，理由如下： ∵甲、乙品种的平均数相同，甲品种的方差为，乙品种的方差为，且， ∴乙品种的产量更稳定， ∴该基地应推广种植乙品种的枸杞． 49．一般地，如果随机事件发生的概率是，那么相同条件下重复次试验，事件发生的次数的平均值为．请尝试解决： 问题．假设某航班平均每次约有名乘客，飞机失事的概率．一家保险公司要为乘客保险．承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元．平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？ 设该保险公司向每名乘客收取保险费元，则在次飞行中，飞机平均失事______次，保险公司共收取保险费______元．若保险公司必须保证收入不小于支出，则该保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于______元． 问题．某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费元．如果该航空公司航班平均每次约有名乘客，并且乘客都没有自费另买保险，那么平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？ 【答案】问题：，，；问题：飞机失事的概率不超过时，才能保证保险公司的收入不小于支出 【分析】本题考查了概率实际生活问题中的运用，一元一次不等式的应用，将实际问题抽象为数学问题是解题的关键． 问题：用计算出飞机可能失事的次数收取的保费总额为，才能保证收入不小于支出，解出即可； 问题：先分别求出保险公司向乘客收取保险费的金额，飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据概率公式列出不等式即可解答． 【详解】解：问题：； ； ， 解得， 故答案为：；；； 问题：设飞机失事的概率不超过p时，才能保证保险公司的收入不小于支出， 根据题意得：， 解得：， 答：飞机失事的概率不超过时，才能保证保险公司的收入不小于支出． 50．某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有___________名； (2)请把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是___________度． (4)团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)90 (4)该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供800名学生一周伙食支出． 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据“没有剩”的人数除以占比即可求解； （2）根据总人数减去其他类型的人数，然后补全统计图即可求解； （3）根据“剩一半”的人数除以总人数乘以，即可求解； （4）用4000除以100乘以20即可求解． 【详解】（1）解：这次被调查的同学共有（名）， 故答案为：100； （2）解：“剩少量”的人数为：人， 补充统计图，如图： （3）解：“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是， 故答案为：90； （4）解：（人）， 故该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供800名学生一周伙食支出． 押题猜想十一 最值问题 限时：15min 51．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理），． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴． ∴当P在F时，取最小值为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最小值为． 故答案为：． 押题解读 本考点为常考点之一，最值问题属于初中数学的一个难点，同时也是中考数学的常客，往往是在压轴题进行考查；宿迁的中考数学对这一块的考查也比较频繁，基本上都是作为压轴题；解决此类问题的方法是训练一下初中阶段考查的最值模型，比方说将军饮马问题、三点共线问题、隐圆问题等等，当然，也可以从动点的轨迹问题来统一思考。 52．直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ） A．(-3，0) B．(-6，0) C．(-，0) D．(-，0) 【答案】D 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 53．若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为 【答案】/(0.8，0) 【分析】根据题意可得，当PA=PB时，最小，利用勾股定理求得两点间的距离，然后解方程求解即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，当PA=PB时，最小， ∵点P在x轴上，设点P(a,0)， ， ， 当PA=PB时 ， 解得：a=， ∴点P（，0）， 故答案为：（，0）． 【点睛】题目主要考查两点间的距离公式，理解题意，找准等量关系求解是解题关键． 54．如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．过点作交于点，可得，根据相似三角形的性质可得出，根据，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，此时点P的横坐标为2， 故答案为：2． 55．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】作于H，于 G，作于M，由等腰三角形三线合一可得，再证，计算出，，设，通过证明，可得，从而用含x的二次函数表示出，化为顶点式即可求解． 【详解】解：作于H，于 G，作于M，如图： ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，最大， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解． 押题猜想十二 图形的平移、旋转、翻折问题 限时：15min 56．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为． 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为， 故答案为：． 押题解读 本考点为常考点之一，图形的平移、旋转、翻折均属于小题中压轴题常考的题型，难度较大，多与几何图形、函数等知识点一起综合考查；从近几年的宿迁中考卷来看，这一块的考查越来越灵活，需要考生多加练习，加强辅助线添加的思维训练，这样可以有效帮助理解题意。 57．如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    【答案】①③④ 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故④正确． 【详解】图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即， 故正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， 故错误； ， ， ， 故正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 58．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，， 由平移的性质可知，，，， ∴在直线上运动，四边形是平行四边形， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 59．如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作，   将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， ，， ， ， ， ∵在中，，即 ∴， ， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 故答案： 60．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成”将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为的直线上运动，再作对称求解即可. 【详解】解：∵，点M是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于、，过点作于点， 四边形为矩形， ， ， ∴， ∴， 四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键. 押题猜想十三 新定义问题 限时：20min 61．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 关于的一元一次方程是妙解方程， ， ， 的值为． 故答案为：． 押题解读 本考点为常考点之一，新定义问题属于课本知识的延伸或者拓展，基本上都会有挂钩的知识点，所以在理解新定义问题时首先要明确考查的是课本那一块的内容，再具体分析；新定义问题可难可简单，一般三种题型里均会考查。 62．对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①  ② (3) 【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可； （2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可； （3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果． 【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限， 直线与直线不平行，故有唯一点； 反比例函数的图象在一、三象限， 关于直线与反比例函数的图象有两个交点； 二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点， 与一次函数互为“融创函数”的是①③． 故答案为：①③； （2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”， 则联立， 消去y得；， 则，解得， 故函数，令 解得   ∴R的坐标为； ②将函数向左平移个单位得到函数． 联立函数与函数， 则，即， 解得：或， 当，则；当，则； 如图： 设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点， 函数与函数， ， 当时，，当时，， 则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个； （3）解：函数与函数互为“融创函数”， 令，整理得： 则，即， 当，恒有， 点在函数顶点的右侧，即， 解得， 由， ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键． 63．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． (1)反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数是上的“同步函数”，理由见解析； (2)或； (3)． 【分析】（）根据“同步函数”的定义进行判断即可； （）根据“同步函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可； （） 由 ，得 ，则抛物线在上是随的增大而增大，可知时，1，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标； 【详解】（1）当时, 则， ∵反比例函数在第一象限内随的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数是上的“同步函数”； （2）由题意得: 当时，， ∵， 当时，随着的增大而增大， ∴当时，，当时，， 则， 解得：， 即； 当时，随着的增大而减小， ∴当时，当时，， 则 解得： 即 ， 综上所述，或； （3）抛物线的顶点式为，顶点坐标为， ∵，， ∴， ∴抛物线 ，在上是随的增大而增大， ∴当时，取最小值， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与直线相交于两点，设，，      假设点在点的左侧，即， ∴， 解得：，， ∴在中，，，， ∴，， ∵外心在线段的垂直平分线上，设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为得 ， ∴， ∵是等腰三角形，轴为的角平分线， ∴的内心在轴上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质，等腰三角形的性质等知识，理解新定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 64．小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为： 且； 故答案为：且． 65．数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决： (1)如图1，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1，已知A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，且以、为边的四边形是对等四边形，则顶点D的坐标为______； (2)如图2，在圆内接四边形中，是的直径，．求证：四边形是对等四边形； (3)如图3，在中，，，，点A为中点，动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动．设运动时间为t秒，若四边形是对等四边形时，求t的值． 【答案】(1)或或； (2)见解析 (3)若四边形是对等四边形时， t的值为或或． 【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可解题； （2）根据对等四边形的定义，利用弧、弦、圆心角的关系，即可解答； （3）根据对等四边形的定义，分两种情况讨论：①若；②若，此时点D在、的位置；利用勾股定理和解直角三角形，求出相关相关线段的长度，即可解答． 【详解】（1）解：由有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形． 分以下两种情况讨论， 当时，如下图所示： 由图知，点D的坐标为或； 当时，如图所示： 由图知，点D的坐标为， 综上所述，点D的坐标为或或； 故答案为：或或． （2）证明：， ， ， ， ， 由题知， 四边形是对等四边形． （3）解：在中，，，， ， ， 点A为中点， ， 四边形是对等四边形， 分以下两种情况讨论， ①若， ， ， 动点D从点P出发，沿以1/秒的速度向终点C运动． 秒； ②若， 过点A分别作，，垂足为E，F， ， 设，则， ，解得或（舍去）， ，， 当在点处时，， ， 秒； 当在点处时，同理可得， 秒； 综上所述，若四边形是对等四边形时， t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了对等四边形的定义，弧、弦、圆心角的关系，坐标与图形，勾股定理和解直角三角形，解题的关键是理解并能运用“对等四边形”这个概念．注意分类讨论思想的应用和勾股定理的应用． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 106 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $$