精品解析：重庆市璧山中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆市2024-2025年度八年级（下）期半期质量检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共48分）． 1. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是二次根式，故选项符合题意； B、不是二次根式，故选项不符合题意； C、，无意义，故选项不符合题意； D、，无意义，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 6，8，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 4. 下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 5. 如图，已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（　　 ） A. AC=BD B. AB⊥BC C. AD=BC D. AC⊥BD 【答案】D 【解析】 【分析】由∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°可知四边形ABCD为矩形，再根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由题意知：∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD为矩形， 选项A：对角线AC=BD，这是矩形的性质，不能判定是正方形，故选项A错误； 选项B：AB⊥BC，即顶角为直角，不能判定是正方形，故选项B错误； 选项C：AD=BC，对边相等，这是矩形的性质，不能判定是正方形，故选项C错误； 选项D：对角线AC⊥BD，即对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和正方形的判定方法，熟练掌握其判定方法是解决本题的关键． 6. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，先根据二次根式的混合运算得到，再估计无理数的大小即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴的运算结果在6和7两个连续自然数之间， 故选：B． 7. 图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　　) A. 体育场离张强家2.5千米 B. 张强在体育场锻炼了15分钟 C. 体育场离早餐店4千米 D. 张强从早餐店回家的平均速度是千米/小时 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A、由纵坐标看出，体育场离张强家2.5千米，故A正确； B、由横坐标看出，30-15=15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故B正确； C、由纵坐标看出，2.5-1.5=1千米，体育场离早餐店1千米，故C错误； D、由纵坐标看出早餐店离家1.5千米，由横坐标看出从早餐店回家用了100-65=35分钟=小时，1.5÷千米/小时，故D正确. 故选C． 【点睛】本题图中折线反映的是张强离家的距离y与时间x之间的关系，根据横轴和纵轴上的数据不难解答有关问题．需注意理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与x轴平行的一段线段．平均速度=总路程÷总时间． 8. 下列命题中是假命题的是（　 　） A. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 三边a、b、c满足关系式a2-b2=c2的三角形是直角三角形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定方法对A进行判断；根据勾股定理的逆定理可对B进行判断；根据平行四边形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断． 【详解】A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题； B、三边a、b、c满足关系式a2-b2=c2的三角形是以a为斜边的直角三角形，所以B选项为真命题； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以C选项为假命题； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以D选项为真命题． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理、平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题． 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（ ）尺． A. B. 10 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索长为 尺，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设绳索长为 尺，依题意得： ， 解得：， ∴绳索长为尺， 故选：B． 10. 已知：如图，在正方形 外取一点 ，连接、、 ．过点 作的垂线交 于点．若，，下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②点 到直线的距离为；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，然后根据列式计算即可判断出④正确；过点B作交的延长线于F，先求出，从而判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出的长为，判断出②错误． 【详解】解：在正方形 中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ，故④正确； 过点B作交的延长线于F， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，即， ∴（负值已舍）， 即点B到直线的距离为，故②错误， 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 直线经过点，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标，把点代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 故答案为：． 13. 已知，在正比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ∴ 随 的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为， 故答案为：5． 15. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的意义等知识，根据实数、在数轴上的位置确定，，的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意分情况讨论：当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点 、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于 ， ①当时，如图1所示： ∴，， 由勾股定理得：， ； ②当时，如图2所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为或或． 17. 如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作，交 于点，连接，若，则的度数是_________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据矩形的性质有DO=OA=OB=OC，结合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分线，即有∠COG=90°，AG=CG，则有∠OAG=∠OCG，根据∠BOG=15°，可得∠COB=75°，进而有∠OCB、∠OBC的度数，则可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即问题得解． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，且AC、BD相互平分，， ∴DO=OA=OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC， ∵OG⊥AC， ∴OG是AC的垂直平分线，∠COG=90°， ∴AG=CG， ∴∠OAG=∠OCG， ∵， ∴∠OAG=∠OCD， ∵∠BOG=15°，∠COG=90°， ∴∠COB=75°， ∵∠OCB=∠OBC， ∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=， ∵在矩形ABCD中∠BCD=90°， ∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=， ∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=， ∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行的性质等知识，根据矩形的性质得出OG是AC的垂直平分线是解答本题的关键． 18. 一个四位正整数 的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称 为“十全十美数”，将“十全十美数” 的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数” 的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若 是最大的“十全十美数”，请直接写出：_____； （2）若 是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的 的最小值_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查十全十美数的定义，二元一次方程组的解，整式的加减混合运算，熟练掌握整式的加减运算法则，能被9整除的数的特征是解题的关键． （1）根据十全十美数的定义可得十位数字要大于千位数字，那么千位最大是8，进而可得其他位数的数字即可求解； （2）设 的千位数字是，十位数字是，则百位数字是，个位数字是，可求，由题意可得能被9整除，则，分别对、的值进行讨论，即可求 是1973或2864或3755或8291，进而求得最小值． 【详解】解：（1）由题意可知，十位数字要大于千位数字，那么千位最大是8，那么百位为2，十位数字为9，个位为1， ∴， 故答案为：8291； （2）解：设 的千位数字是，十位数字是，则百位数字是，个位数字是， ， ， 能被9整除， 能被9整除， ， ， ，或， 或，或 ， 是或或或． ∴符合条件的 的最小值 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，平方差公式，然后合并即可； （2）根据二次根式的性质化简，化简绝对值，有理数的乘方运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形 中，点 是对角线 的中点．用尺规过点 作 的垂线，分别交 ，于点 ，，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形 ，点 ，分别在 ，上，经过对角线 的中点 ，且．求证：四边形是菱形． 证明： 四边形 是矩形， ， ①_____，， 点 是 的中点， ②_____， ． ③_____， 又， 四边形是平行四边形， ④_____， 平行四边形是菱形． 【答案】（1）图见解析； （2），，，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的判定，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点分别交 ，于点 ，，连接 ， 即可； （2）由矩形的性质得到，进而得到，，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴， 分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点分别交 ，于点 ，，连接 ， ，如图： 【小问2详解】 证明： 四边形 是矩形， ， ，， 点 是 的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：，，，． 21. 已知与成正比例函数关系，且时，． （1）求 与 之间的函数解析式； （2）在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． （1）根据正比例的定义设，将把，代入解方程求出即可; （2）把点代入求出的函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设 把，代入， 得 解得 ∴， 即； 【小问2详解】 解：把代入， 得 解得： ∴的值为． 22. 如图，矩形 中，点 在边上，将沿折叠，点落在 边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形. （2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积. 【详解】（1）略 （2）∵矩形 中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 23. 小明和小红相约周末游览公园，如图， ， ，，， 为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点 的北偏西方向且米，景点 位于景点 的东南方向，景点位于景点 的北偏西方向，景点位于景点 的正东方向米处． （1）求景点与景点 之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点 出发，小红沿着的路线前往景点 ，小明沿着的路线前往景点 ，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点 ．（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）小红先到达景点B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，先解求出，再解求出 的长即可得到答案； （2）过点E作于G，则四边形是矩形，可得米，解直角三角形求出的长，再分别计算出两人需要的时间即可得到结论． 【小问1详解】 解；如图所示，过点B作于F， 由题意得，，， 在中，米，， 在中，米， ∴米， 答：景点与景点 之间的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形， ∴米， 在中，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， ∵，，且， ∴小红先到达景点B． 24. 已知 是 的函数， 的取值范围为任意实数，如图是 与 的几组对应值．小华同学根据研究函数的已有经验探索这个函数的有关性质，并完成下列问题． 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 （1）如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象并写出函数解析式_____； （2）请根据你画出的函数图象，完成： ①当时，_____； ②当时，求 的取值范围． 【答案】（1）见解析， （2）和 【解析】 【分析】此题主要考查函数值对应的函数图象及自变量的取值范围． （1）根据表格的数据即可画出图象，由图象可得函数解析式； （2）①由函数解析式可得当时，； ②由得，根据图象即可求出 的取值范围． 【小问1详解】 解：由表格的数据所画的图象如图所示： 由图象可知，函数解析式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时，， 故答案为：5； ②当时，， ∴x的取值范围为：和． 25. 阅读下列材料，请回答下列问题： 问题：已知，求的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键； （1）把各项分母有理化后，在合并同类二次根式，即可求解； （2）根据题意将值进行化简得，得出，进而可得，代入代数式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ，即 ∴ ∴ 26. 在平行四边形 中，， 为中点，点 在线段上，连接 ，在下方有一点，满足，连接 ． （1）若，，求的面积； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先证明，求出，再求出的长，结合勾股定理求出R的长，即可求解； （2）延长至，使，连接，先证明，再根据 中，点 是斜边的中点，即可证得结论； （3）在上截取，先证明，进而得出是等边三角形，运用直角三角形性质和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形 为平行四边形， ，， ， 又∵， ， ， 在 中， 为的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，延长至，使，连接， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 中，点 是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，在上截取， 由（2）知， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2024-2025年度八年级（下）期半期质量检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共48分）． 1. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2，3 B. ，， C. 3，4，5 D. 6，8，12 4. 下列图象中，y不是x的函数图象的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是（　　 ） A. AC=BD B. AB⊥BC C. AD=BC D. AC⊥BD 6. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9 7. 图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(　　) A. 体育场离张强家2.5千米 B. 张强在体育场锻炼了15分钟 C. 体育场离早餐店4千米 D. 张强从早餐店回家的平均速度是千米/小时 8. 下列命题中是假命题的是（　 　） A. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 三边a、b、c满足关系式a2-b2=c2的三角形是直角三角形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 9. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（ ）尺． A. B. 10 C. 16 D. 12 10. 已知：如图，在正方形 外取一点 ，连接 、 、 ．过点 作 的垂线交 于点 ．若，，下列结论中正确结论的个数是（ ） ①；②点 到直线 的距离为；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 直线经过点，则_____ 13. 已知，在正比例函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 14. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为_____． 15. 实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段 上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． 17. 如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作，交 于点，连接，若，则的度数是_________． 18. 一个四位正整数 的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称 为“十全十美数”，将“十全十美数” 的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数” 的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若是最大的“十全十美数”，请直接写出：_____； （2）若 是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的 的最小值_____． 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）． 19. 计算： （1） （2） 20. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形 中，点 是对角线 的中点．用尺规过点 作 的垂线，分别交 ，于点 ， ，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形 ，点 ， 分别在 ，上，经过对角线 的中点 ，且．求证：四边形是菱形． 证明： 四边形 是矩形， ， ①_____，， 点 是 的中点， ②_____， ． ③_____， 又， 四边形是平行四边形， ④_____， 平行四边形是菱形． 21. 已知与成正比例函数关系，且时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 22. 如图，矩形 中，点 在边上，将沿 折叠，点 落在 边上的点 处，过点 作交 于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 23. 小明和小红相约周末游览公园，如图， ， ， ， ， 为同一平面内的五个景点．已知景点 位于景点 的北偏西方向且米，景点 位于景点 的东南方向，景点 位于景点 的北偏西方向，景点 位于景点 的正东方向米处． （1）求景点 与景点 之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点 出发，小红沿着的路线前往景点 ，小明沿着的路线前往景点 ，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点 ．（参考数据：，，） 24. 已知是的函数，的取值范围为任意实数，如图是与的几组对应值．小华同学根据研究函数的已有经验探索这个函数的有关性质，并完成下列问题． 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 （1）如图，小华在平面直角坐标系中描出了上述几组值对应的点，请你根据描出的点画出函数的图象并写出函数解析式_____； （2）请根据你画出的函数图象，完成： ①当时，_____； ②当时，求的取值范围． 25. 阅读下列材料，请回答下列问题： 问题：已知，求的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简； （2）若，求的值． 26. 在平行四边形 中，， 为 中点，点在线段 上，连接 ，在 下方有一点，满足，连接 ． （1）若，，求的面积； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $