精品解析：山西省晋中市介休市2024-2025学年第二学期期中质量评估八年级数学试题（卷）

2024-2025学年第二学期期中质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ两两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则能直接判定的理由是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 6. 小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将沿方向平移得到．若点的对应点为线段的中点，则C，F两点间的距离为​（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（O为衣架的固定点）：如图②，若衣架收拢时，，则此时A，B两点之间的距离是（ ） 图① 图② A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得到，其中点，，分别旋转到了点，，．若，则的度数是_________． 12. 如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为_________． 13. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是多少． 14. 小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出． 15. 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 两边都除以，得第五步 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是______ ； （2）上述求解过程从第______ 步开始出现错误，具体错误是______ ，原不等式的解集应为______ ； （3）上述解不等式的过程主要体现的数学思想是：______ 从下面选项中选出一个 A．数形结合B．模型思想C．分类讨论D．转化思想 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标为， ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为______． 18. （1）解不等式，并将解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并写出它的所有的正整数解． 19. 每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 20. 如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 21. 为促进新能源车的稳定发展，各地推出新能源车停车优惠政策，某商场附近有甲、乙两个停车场，停车不超过的收费标准均为元不足按计新能源车停放时优惠如下：甲是按收费标准的计费；乙是前含免费停放，后按收费标准的计费李老师计划自驾新能源车去该商场购物，设她的停车时间为，计费时取整数． （1）请分别写出新能源车在甲、乙两个停车场的停车费元与停车时间之间的函数关系式； （2）求在什么范围内时，李老师在甲停车场停车费较少？ 22. 阅读理解，并完成任务： 小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下： 如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？ 他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理： ①连接、作线段的垂直平分线； ②连接，作线段的垂直平分线，与交于点. 则点为所求作的旋转中心. 推理过程如下： ∵是绕点旋转而成的 ∴（依据1） ∴点在线段的垂直平分线上（依据2） 同理可得，点在线段的垂直平分线上 ∴点为与的交点. 任务： （1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”：______________________________________________________. “依据2”：______________________________________________________. 23. 【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ两两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式解集的数轴表示，正确理解不等式解集的数轴表示方法是解题的关键． 根据小于向左，等号为实心圆圈，即可得出答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上为： 故选：A． 2. 下面的标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，如果一个图形绕着某一点旋转能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：观察图形，选项A、B、C的图形，绕一点旋转后，不能与自身完全重合，不是中心对称图形， 选项D的图形，绕一点旋转后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选：D． 3. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的性质，即可求解． 【详解】解：A：在不等式两边同时减，不改变不等号的方向，故，故A错误； B：在不等式两边同时乘，不改变不等号的方向，，故B正确； C：在不等式两边同时乘，不等号方向发生改变，，故C正确； D：在不等式两边同时乘，不等号方向发生改变，；在此基础上，在不等式两边同时加，不改变不等号的方向，，故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查一元一次不等式的性质．将各选项正确变形是解题的关键． 4. 如图，，，，则能直接判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解答． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 6. 小明一家外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小客车的速度为千米/小时，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ， 又自驾游的车属于小客车， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C 7. 如图，在中，，，，将沿方向平移得到．若点的对应点为线段的中点，则C，F两点间的距离为​（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由平移的性质可得出答案． 【详解】解：，，， ， 点为线段的中点， ， 将沿方向平移得到． ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 8. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（O为衣架的固定点）：如图②，若衣架收拢时，，则此时A，B两点之间的距离是（ ） 图① 图② A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查等边三角形问题，根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由点在内部，且到三边的距离相等得平分，平分，进而求得，再根据三角形内角和定理求得，即可得解． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 10. 小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，由等腰三角形的性质得（米），然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得到，其中点，，分别旋转到了点，，．若，则的度数是_________． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先根据旋转的性质确定旋转角，然后利用已知条件即可解答． 【详解】解：将绕点按顺时针方向旋转一个角度得到，其中点，，分别旋转到了点，，， ， 故答案为：． 12. 如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的交点确定不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由图象即可解答． 【详解】解：由题图可知，当时，一次函数在一次函数的上方，交点处， 故的解集为， 故答案为：． 13. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理， 连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵,， ∴． ∵,， ∴． ∴ 在中， 14. 小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出． 【答案】10 【解析】 【详解】（36-20）÷3=2（cm）. 设放入x小球有水溢出，由题意得 2x+30>49, ∴x>9.5, ∴放入10小球有水溢出. 15. 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接FB，EC，证明△BFM是等边三角形，△EMC是等边三角形，过点E作ED⊥AC，垂足为D，根据30°角的函数值，求得ED，AD，DC，再用勾股定理计算EC即EM的长，结合BM=BE+EM计算即可． 【详解】如图，连接FB，EC， ∵∠BAC=120°，∠BAE=∠CAF=90°，AB=AE=AC=AF=， ∴∠EAC=30°，∠BAF=150°，∠ABE=∠AEB=∠AFC=∠ACF=45°，BE=FC=4， ∵AB=AF， ∴∠ABF=∠AFB=15°， ∴∠FBE=∠BFC=60°， ∴△BFM是等边三角形， ∴△EMC是等边三角形， 过点E作ED⊥AC，垂足为D， 则ED=AEsin30°=，AD=AEcos30°=， ∴DC=AC-AD=， 根据勾股定理，得EC=， ∴BM=BE+EM==． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，特殊角的三角函数，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 两边都除以，得第五步 任务： （1）上述求解过程中，第一步变形的依据是______ ； （2）上述求解过程从第______ 步开始出现错误，具体错误是______ ，原不等式的解集应为______ ； （3）上述解不等式的过程主要体现的数学思想是：______ 从下面选项中选出一个 A．数形结合B．模型思想C．分类讨论D．转化思想 【答案】（1）不等式的性质 （2）三，移项后没有变号， （3）D 【解析】 【分析】（1）根据去分母的依据是不等式的性质，可得答案； （2）根据移项要变号，可判断第三步出现错误； （3）解不等式的过程主要体现的是转化思想． 【小问1详解】 解：以上解题步骤中，第一步是去分母，去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质； 【小问2详解】 上述求解过程从第三步开始出现错误，具体错误是移项后没有变号， 正确解答如下： 去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 两边都除以，得第五步 原不等式的解集应为． 故答案为：三，移项后没有变号，； 【小问3详解】 上述解不等式的过程主要体现的数学思想是转化思想． 故答案为：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）平移，使点A的对应点的坐标为， ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为：先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度． （2）请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为______． 【答案】（1）①见解析；①2，4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可； ①根据平移的性质即可求解； （2）根据中心对称的性质，连接、、的交点就是对称中心． 【小问1详解】 解：①如图所示， ； ②由图形得，将平移到的过程可描述为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度； 【小问2详解】 解：如图所示 连接、、的交点为． 故答案为：． 18. （1）解不等式，并将解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并写出它的所有的正整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），不等式组的正整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． （1）先求出两个不等式的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上，求其公共解； （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 不等式组的解集为； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解为1，2，3，4． 19. 每年的6月5日为世界环境日，某校学生会高举“共建清洁美丽世界”的旗帜，积极响应国家号召，组织七、八年级共80名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1500个，至少需要多少名八年级学生参加活动？ 【答案】至少需要60名八年级学生参加活动． 【解析】 【分析】设需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由收集塑料瓶总数不少于1500个建立不等式求解即可． 【详解】解：设至少需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个． ， 解得， ∴至少需要60名八年级学生参加活动． 【点睛】此题考查列一元一次不等式解决实际问题，一元一次不等式的解法的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1500个建立不等式是解题关键． 20. 如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； （2）2.5 【解析】 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解决此题的关键． 21. 为促进新能源车的稳定发展，各地推出新能源车停车优惠政策，某商场附近有甲、乙两个停车场，停车不超过的收费标准均为元不足按计新能源车停放时优惠如下：甲是按收费标准的计费；乙是前含免费停放，后按收费标准的计费李老师计划自驾新能源车去该商场购物，设她的停车时间为，计费时取整数． （1）请分别写出新能源车在甲、乙两个停车场的停车费元与停车时间之间的函数关系式； （2）求在什么范围内时，李老师在甲停车场停车费较少？ 【答案】（1）甲停车场的停车费与停车时间之间的函数关系式是，乙停车场的停车费与停车时间之间的函数关系式是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据甲，乙停车场的优惠方案，分别求出函数表达式即可； （2）由在甲停车场停车费较少列出不等式，即可解得答案． 【小问1详解】 甲商场：， 乙商场：， 甲停车场的停车费与停车时间之间的函数关系式是，乙停车场的停车费与停车时间之间的函数关系式是； 【小问2详解】 ∵在甲停车场停车费较少， ， 解得， 当时，李老师在甲停车场停车费较少． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数表达式． 22. 阅读理解，并完成任务： 小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下： 如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？ 他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理： ①连接、作线段的垂直平分线； ②连接，作线段的垂直平分线，与交于点. 则点为所求作的旋转中心. 推理过程如下： ∵是绕点旋转而成的 ∴（依据1） ∴点在线段的垂直平分线上（依据2） 同理可得，点在线段的垂直平分线上 ∴点为与的交点. 任务： （1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”：______________________________________________________. “依据2”：______________________________________________________. 【答案】（1）见解析；（2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）按照步骤作图即可； （2）由旋转的性质和垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： （2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查的是基本作图，以及旋转的性质和垂直平分线的性质，掌握作图技巧和旋转的性质和垂直平分线的性质是解题的关键． 23. 【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键． （1）由得，再用证明，继而得证； （2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解； （3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形． 【详解】解：（1） 证明： ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴； （2）当时，仍成立． 理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）如图，在等腰直角三角形和中，，，， ∵与关于沿着过点D的某条直线对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $