精品解析： 天津市第五十五中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级数学试卷 一、单选题（每小题2.5分） 1. 代数式 有意义时，应满足的条件为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故选：C． 2. 以下列各组数为边长，能够成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. 1，， C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意， B．，能够成直角三角形，故此选项符合题意， C．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意， D．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 4. 如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可． 【详解】解：标记字母如图： 为直角三角形， ， 又， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D． 5. 下列四个命题中，假命题是 （ ） A. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 B. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 C. 菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角 D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，菱形的性质，直角三角形的性质，中点四边形，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可判断A；根据直角三角形的性质即可判断B；根据菱形的性质即可判断C；根据矩形的判定定理即可判断D． 【详解】解：A、如图所示，在四边形中，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故原命题是真命题，不符合题意； B、直角三角形斜边上的中线等于这斜边的一半，故原命题是假命题，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角，故原命题是真命题，不符合题意； D、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，证明，得出，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 7. 在四边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ， 故选：C． 8. 如图， 菱形的边长为2，， 对角线交于点O， 点E、F分别为的中点， 连接， 则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，根据题意易证是的中位线，由三角形中位线定理得，再由菱形的性质结合直角三角形的性质得，，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 又∵四边形是边长为2的菱形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 12 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边行的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边行的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，则为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质得到，根据勾股定理计算，得到答案，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点连接、， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，作轴于，轴于，求出，证明，推出，即可．解题的关键是证明，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， ， ， 四边形为矩形， ， ， 矩形为正方形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：D． 12. 如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，利用上述性质逐一判断即可，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接、，交于点， ，， ， ，， ， ，故②正确； 如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接， 则，，， 、、三点在同一直线上， ， ， ， ， ，即，故③正确； 如图3，作，垂足为，作，垂足为， 由①得， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ，即， ， ，故④错误． 故选：C． 二、填空题（每小题3分） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 14. 在平面直角坐标系中，若点坐标为，则点到点的距离为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据两点之间的距离公式即可解决问题．熟知两点之间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题知，因为点的坐标为，点坐标为， 所以点到点的距离为：． 故答案为：． 15. 等边三角形的边长为4，则其面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三线合一的性质根据勾股定理可以求出AD，根据AD、BC可以计算等边△ABC的面积，即可解题． 【详解】∵等边三角形中中线与高线重合， ∴D为BC的中点，故BD=BC=2， 在Rt△ABD中，AB=4，BD=2， 则AD=， ∴等边△ABC的面积为BC•AD=． 故答案为 4． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键． 16. 如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据裁去的两个小正方形的面积可求出这两个小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，再用大正方形的面积减去裁去的两个小正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为， 故答案为：． 17. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作， 正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 18. 已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． （2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】 ①. ②. 取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为 【解析】 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）已知： ，求代数式 的值： 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值： （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）求出的值，整体代入法求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 20. 天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题． 【答案】（1）米 （2）能成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 21. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 22. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 23. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点E是的中点，，且交正方形外角平分线于点F．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点G，连接．请你在图1中补全图形并证明结论； （2）若点E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②填空：如图3，连接，当，时，则的面积为________． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点G，连接， 四边形是正方形， ，， 点E是的中点，点G是的中点， ，， ， ， ， 是正方形外角平分线， ， ， ， , ， ， 在和中， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，根据正方形的性质和等边对等角的性质，证明，即可得出结论； （2）①在上截取，连接，根据正方形的性质和等腰三角形的性质，证明，得到，即可求出的大小； ②过点作，分别交延长线于点，延长线于点，则四边形是矩形，再证明是等腰直角三角形，得到，，设，则，，，利用勾股定理，求出，进而得出，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 是等腰直角三角形， ，， , ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图，过点作，分别交延长线于点，延长线于点， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，， 由①可知，， 是等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的哦安定额性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． （1）求点E的坐标； （2）如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，周长的最小值为8 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：点， ， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知：， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 点的坐标； 【小问2详解】 解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于， ， ， 的周长为，则点四点共线时最小值为， 由（1）可得， 点，点关于轴对称，点，点关于对称， ，， 点，点， ， 的周长最小值为8； 【小问3详解】 解：存在点使得△为等腰三角形， 若，如图3， ，， ， ， 若时，如图4， ， ， ； 若，如图5， ， ， 此时点与点重合， 不存在这样的点． 综上所述：的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、单选题（每小题2.5分） 1. 代数式 有意义时，应满足的条件为 （ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能够成直角三角形的是（ ） A. ， ， B. 1，， C. ，， D. 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5. 下列四个命题中，假命题是 （ ） A. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 B. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半 C. 菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角 D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在四边形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图， 菱形的边长为2，， 对角线交于点O， 点E、F分别为的中点， 连接， 则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 12 D. 6.5 10. 如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，则为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 11. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 12. 如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分） 13. 计算：_______． 14. 在平面直角坐标系中，若点坐标为，则点到点的距离为___． 15. 等边三角形的边长为4，则其面积为______． 16. 如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是___________． 17. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 18. 已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． （2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）已知： ，求代数式 的值： 20. 天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题． 21. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 22. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点E是的中点，，且交正方形外角平分线于点F．求证． （1）课本中给出证法提示：取的中点G，连接．请你在图1中补全图形并证明结论； （2）若点E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②填空：如图3，连接，当，时，则的面积为________． 24. 如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． （1）求点E的坐标； （2）如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $