吉林省长春市2024-2025学年高三下学期质量监测（四）数学试题

数学试题 第 1 页（共 4 页） 2025 年长春市高三毕业班质量监测（四） 数 学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。 2. 答题时请按要求用笔。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数 1 2 i z = − 在复平面上所对应点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机变量 1(3, ) 3 X B ，则 ( 1)P X =≤ A. 7 27 B. 8 27 C. 12 27 D. 20 27 3. 已知向量 a 和 b 满足 | | | | 3= =a b ， a 与 b 的夹角为 6 0  ，则 | 2 |− =a b A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 3 4. 若 (0, ) 2 α π∈ ，且 πsin(2 ) cos2 06α α+ + = ，则 tanα = A. 3− B. 3 C. 3 3 − D. 3 3 5. 圆 2 2 4 0x y+ − = 与 2 2 4 4 12 0x y x y+ − + − = 的公共弦长为 A. 2 2 B. 2 3 C. 14 D. 4 6. 在正四面体 ABCD中，M 、 N分别是棱 AB、CD的中点，则直线 AN与CM 所成角 的余弦值为 A. 1 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 7. 已知直线 1y x= + 与曲线 2 2 0mx ny+ = （ 0m > ， 0n < ）交于 A，B两点，若过原点和 线段 AB中点的直线斜率为 3 2 ，则双曲线 2 2 1x y m n + = 的离心率为 A. 5 2 B. 10 2 C. 5 3 D. 15 3 数学试题 第 2 页（共 4 页） 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O xyz− 中，过点 0 0 0( , , )P x y z 且一个法向量为 ( , , )a b c=n 的平面α 的方程为 0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z− + − + − = .”解决问题：在空间 直角坐标系O xyz− 中，若直线 l是两平面 3 7 0x y− + = 与4 2 3 0y z+ + = 的交线，则直 线 l的方向向量可以是 A. (3,1, 2)− B. (3,1,2) C. ( 2,1, 3)− − D. (2,1,3) 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ( ) 2sin( 2 ) 6 f x x π= − − 则 A. 3 x 2π= 是 ( )f x 的一条对称轴 B. ( )f x 与函数 2cos(2 ) 3 y x π= − 相等 C. ( )f x 在区间 π(0, ) 3 上单调递减 D. ( )f x 在区间 π(0, ) 2 上的取值范围是[ 2,1)− 10. 已知函数 2( ) 2 | |f x x x= − （ ( , )x a∈ −∞ ），若函数 ( ) ( )F x f x x= − 存在两个零点，则 a 的取值可能是 A. 1− B. 1 C. 2 D. 3 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法. 比如形状酷似“星 星”的曲线 1 1 2 2:| | | | 2C x y+ = （如图所示），则下列关于曲线C 的说法正确的有 A. 周长大于 25 B. 共有 4 条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于 14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为 1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 | | | | | | 2= = + =a b a b ，则 | |− =a b _______. 13. 已知 nS 是公差不为 0 的等差数列{ }na 的前 n项和，且 1 2 5, ,a a a 成等比数列，则 6 3 S S = ___________. 14. 已知函数 ( ) af x x x = + （0 3a< ≤ ）在[ 2, 1]− − 上的最大值比最小值大 1 2 ，则 a=___________. （长春四模） 数学试题 第 3 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了 200 名高三年级的 学生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图： （1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的m， n的值； （2）依据小概率值 0.001α = 的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身 高是否低于 170cm”有关联？ （3）将样本频率视为概率，在全市不低于 170cm 的学生中随机抽取 6 人，其中不低 于 175cm 的人数记为 X ，求 X 的期望. 附： ( ) ( )( )( )( ) 2 2 , n ad bc a b c d a c b d χ − = + + + + 2( )P kχ α=≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.（15 分） 已知函数 2( ) sin 1f x x x ax+ −= . （1）当 1a = 时，求 ( )f x 在 x π= 处的切线方程； （2）当 π[0, ] 2 x∈ 时， ( ) 1f x −≥ 恒成立，求 a的取值范围. 17.（15 分） 已知数列{ }na 中， 1 1 52 3n n n a a+ += − . （1）若 1 2 3, ,a a a 依次成等差数列，求 1a ； （2）若 1 4 3 a = ，证明数列 1{ } 3n n a − 为等比数列，并求数列{ }na 的前 n项和 nS . 身高 性别 低于 170cm 不低于 170cm 合计 女 m 20 男 50 n 合计 200 数学试题 第 4 页（共 4 页） 18.（17 分） 如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点 ,M N位于底面两 侧，底面 ABCD是边长为 6 的正方形. （1）证明：平面 AMCN ⊥平面 BMDN ； （2）若 AM AN⊥ 且 2AM AN= ，点P满足 1 1 1 6 2 3 NP AD AB MN= − −     ，求直线 AM 与平面 BPN所成角的 正弦值. 19.（17 分） 已知点 P为圆 ( )2 2: 2 12C x y+ + = 上任意一点，点 ( )2,0A ，线段 PA的垂直平分线交 直线 PC于点 B，设点 B的轨迹为曲线H . （1）求曲线H的方程； （2）若过点 B的直线 l与曲线H相切，且与直线 3 3 y x= ± 分别交于点 ,M N . （i）证明：点 B为线段MN 的中点； （ii）求 2 3OM ON+ 的取值范围. （长春四模）