期末测试卷（B卷·培优卷·北师八下全部）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一至六章 期末测试卷（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称又是中心对称的图形是（　　） A． B． C． D． 2．若m＞n，则下列结论正确的是（　　） A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．﹣6ab2c3＝﹣abc•6bc2 B．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1） C．a（a﹣3b）＝a2﹣3ab D．a2+2a+1＝a（a+2）+1 4．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB＝4，BB′＝1，则A′B的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 7．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　） A．10x＝40（x+6） B．10（x﹣6）＝40x C． D． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，则△CED的周长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 9．若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 11．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠A＝∠BCD，CD＝16，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若DG：AD＝8：5，则DF为（　　） A． B． C． D． 12．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．不等式的解集是 　 　 ． 14．关于x的方程1无解，则a的值是 　 　 ． 15．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．（10分）已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝5． 20．（10分）已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，将三角形ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′． （1）请在图上画出三角形A′B′C； （2）写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形A′B′C′的面积． 21．（10分）已知a，b，c满足， （1）求a，b，c的值； （2）试问以a、b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 22．（11分）如图，已知AC垂直平分BD、DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF． （1）求证；四边形ACFD是平行四边形； （2）若DF＝CF＝10，CD＝12，求BD的长． 23．（12分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，作AD⊥BC交BC于点D． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长． 24．（12分）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 25．（13分）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A． 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　 　 ，∠2＝∠A+　 　 ， ∴∠1+∠2＝　 　 ． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（ 　 　 ） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】（1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为 　 　 度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，则∠P与∠A的数量关系为 　 　 ． 【拓展提升】如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角∠EBC、∠FCB的平分线，若∠A+∠D＝230°，则∠P的大小为 　 　 度． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一至六章 期末测试卷（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称又是中心对称的图形是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：元素符号H既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意； 元素符号N、C、S都不是轴对称图形，故选项A、B、D都不符合题意． 故选：C． 2．若m＞n，则下列结论正确的是（　　） A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 【解答】解：A．若m＞n，则m+2＞n+2，故选项A错误； B．若m＞n，则m﹣2＞n﹣2，故选项B错误； C．若m＞n，则2m＞2n，故选项C正确； D．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n，故选项D错误． 故选：C． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．﹣6ab2c3＝﹣abc•6bc2 B．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1） C．a（a﹣3b）＝a2﹣3ab D．a2+2a+1＝a（a+2）+1 【解答】解：﹣6ab2c3＝﹣abc•6bc2中对象是单项式，则A不符合题意， 4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）符合因式分解的定义，则B符合题意， a（a﹣3b）＝a2﹣3ab是乘法运算，则C不符合题意， a2+2a+1＝a（a+2）+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：B． 4．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：∵a2+2b2+c2＝2ab+2bc， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即：（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，即：a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 5．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB＝4，BB′＝1，则A′B的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′， ∴△OAB≌△OA′B′， ∴AB＝A′B′＝4， ∴A′B＝A′B′﹣BB′＝4﹣1＝3， 故选：A． 6．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 【解答】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选：D． 7．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　） A．10x＝40（x+6） B．10（x﹣6）＝40x C． D． 【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人． 依题意得：， 故选：C． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，则△CED的周长为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，CD＝AB， ∵▱ABCD的周长为20， ∴AD+BC+AB+CD＝2AD+2CD＝20， ∴AD+CD＝10， ∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F， ∴CE＝AE， ∴CE+ED+CD＝AE+ED+CD＝AD+CD＝10， ∴△CED的周长为10， 故选：B． 9．若关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞a+2， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜1， ∴a+2＝﹣1，， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1， 故选：C． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 11．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠A＝∠BCD，CD＝16，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若DG：AD＝8：5，则DF为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，过点C作CH⊥AB于点H， ∴∠AHC＝90°， ∵∠BDC＝60°， ∴∠DCH＝30°， ∵CD＝16， ∴DH， ∵EF⊥CD， ∴∠GFD＝∠EFC＝90°， 在△AHC和△CFE中， ， ∴△AHC≌△CFE（AAS）， ∴AH＝CF， ∵∠BDC＝60°，∠DFG＝90°， ∴∠DGF＝30°， ∴DG＝2DF， 设DF＝x，则DG＝2DF＝2x，CF＝CD﹣DF＝16﹣x， ∵DG：AD＝8：5， ∴， ∵AH＝AD+DH，AH＝CF， ∴， ， ， ∴， 故选：C． 12．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．不等式的解集是 　x＞5　 ． 【解答】解：， x﹣3＞2， x＞2+3， x＞5， 故答案为：x＞5． 14．关于x的方程1无解，则a的值是 　1或2　 ． 【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得ax＝4+x﹣2， （a﹣1）x＝2， ∵关于x的方程1无解， ∴x﹣2＝0，a﹣1＝0， 解得：x＝2，a＝1， 把x＝2代入（a﹣1）x＝2，得：（a﹣1）×2＝2， 解得：a＝2， 综上，a＝1或2； 故答案为：1或2． 15．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则▱ABCD的面积为 　32　 ． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC＝30°，BE＝8， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝8， ∴四边形ABCD的面积＝BC×EF＝8×4＝32． 故答案为：32． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是 　①②③　 ． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD为高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF，故②正确； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF， 即∠FAG＝2∠ACF，故③正确； 根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：由4x﹣2（x﹣1）＜4得：x＜1， 由得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜1， 将解集表示在数轴上如下： 18．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28， xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28， （x﹣y）（xy﹣1）＝28， ∵xy＝15， ∴14（x﹣y）＝28， ∴x﹣y＝2； （2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34； （x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64， ∴x+y＝±8． 19．先化简，再求值：，其中x＝5． 【解答】解： ＝[]• • • ； 当x＝5时，原式． 20．已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，将三角形ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′． （1）请在图上画出三角形A′B′C； （2）写出点A′，B′，C′的坐标； （3）求三角形A′B′C′的面积． 【解答】解：（1）如图所示， △A′B′C′即为所求作的三角形． （2）由（1）知， 点A′的坐标为（4，5），点B′的坐标为（2，0），点C′的坐标为（5，2）． （3）S△A′B′C′． 21．已知a，b，c满足， （1）求a，b，c的值； （2）试问以a、b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，， ∴a＝2，b＝3，； （2）能构成直角三角形，理由如下： ∵a2+b2＝4+9＝13，c2＝13， ∴a2+b2＝c2， ∴能构成直角三角形． 22．如图，已知AC垂直平分BD、DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF． （1）求证；四边形ACFD是平行四边形； （2）若DF＝CF＝10，CD＝12，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，BC＝DC， 在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC＝∠DCF， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴AD∥CF， ∵AC⊥BD，DF⊥BD， ∴DF∥AC， ∴四边形ACFD是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDF是平行四边形，DF＝CF＝10， ∴▱ACDF是菱形， ∴AD＝10， 设CE＝x，则AE＝10﹣x， ∴CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2 即122﹣x2＝102﹣（10﹣x）2 解得：x＝7.2，即CE＝7.2， ∴DE， ∴BD＝2DE＝19.2． 23．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，作AD⊥BC交BC于点D． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长． 【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠EAC， ∵AB＝CE， ∴AB＝AE， 又∵∠BAE＝44°， ∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣44°）＝68°， ∵∠AEB＝∠C+∠EAC， ∴∠C＝34°； （2）∵AC＝7cm，△ABC的周长为17cm， ∴AB+BC＝17﹣7＝10cm， ∵AB＝AE，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∵AB＝CE， ∴AB+BD＝DE+CE（AB+BC）＝5cm， ∵DC＝DE+CE， ∴DC＝5cm． 24．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元， 根据题意得：， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣8＝10， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”， 根据题意得：18a+10（60﹣a）≤1000， 解得：a≤50， 设总利润为w元， 根据题意得：w＝（30﹣18）a+（18﹣10）（60﹣a）＝4a+480， ∵4＞0， ∴w最a的增大而增大， ∴当a＝50时，w有最大值，w最大＝4×50+480＝680， 此时，60﹣a＝10， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 25．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A． 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　∠4　 ，∠2＝∠A+　∠3　 ， ∴∠1+∠2＝　∠A+∠A+∠3+∠4　 ． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（ 　三角形内角和是180°　 ） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】（1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为 　50　 度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，则∠P与∠A的数量关系为 　∠P＝90°∠A　 ． 【拓展提升】如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角∠EBC、∠FCB的平分线，若∠A+∠D＝230°，则∠P的大小为 　65　 度． 【解答】解：【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+∠4，∠2＝∠A+∠3， ∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（三角形内角和是180°） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 故答案为：∠4，∠3，∠A+∠3+∠4+∠A，三角形内角和是180°； 【初步应用】（1）如图②，由【推理证明】可得∠1+∠2＝180°+∠A， ∵∠1＝130°， ∵130°+∠2＝180°+∠A， 即∠2﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50； （2）如图③∠P＝90°∠A， ∵BP、CP分别是∠DBC、∠ECB的平分线， ∴∠DBP＝∠CBP∠DBC，∠ECP＝∠BCP∠ECB， ∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°（∠DBC+∠ECB） ＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ＝180°（180°+∠A） ＝90°∠A； 故答案为：∠P＝90°∠A； 【拓展提升】如图④ ∵∠A+∠D＝α， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α， ∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBP＝∠CBP∠EBC，∠FCP＝∠BCP∠FCB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°﹣（） （∠ABC+∠BCD） （360°﹣α） ＝180α ＝180°230° ＝180°﹣115° ＝65°． 故答案为：65． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$