精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学下册期末综合测试卷

八年级数学下册期末测试卷（江西南昌版，学生版） (满分：120分　考试用时：120分钟) 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（　　） A. x＞ B. x＜ C. x＞3 D. x＜3 5. 如图所示，在△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是 （　　） A. 8+2a B. 8a C. 6+a D. 6+2a 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 因式分解：___． 8. 计算：结果是________________． 9. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：______使得四边形BDFC为平行四边形． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm． 11. 不等式组有三个整数解，则a的取值范围是_______ 12. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为___________． 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 14. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值． 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在中，点E是边的中点，仅用一把无刻度的直尺画出边的中点F．(保留作图痕迹，不写作法) 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到△A1B1C1； （2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到△D1E1F1； （3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式． 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 19. 某服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米． （1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； （2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°． （1）求证：AEBD； （2）过点C作CF⊥BD于点F，连接EF，求证：四边形EFCD是平行四边形． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长和面积． 22 某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多2元，经了解，用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等． （1）分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ （2）若该文具店用1200元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲x个，乙y个． ①求y关于x的关系式． ②甲每个的售价为10元，乙每个的售价为9元，且在进货时，甲的购进数量不少于60个，若这批文具袋全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明如何进货该文具店所获利润最大，最大利润是多少？ 六、(本大题共12分) 23. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； （1）探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下册期末测试卷（江西南昌版，学生版） (满分：120分　考试用时：120分钟) 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断以上选项，即可得出答案. 【详解】（1）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（2）=，故本选项正确；（3）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（4）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误．因此答案选择B. 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行因式分解，重点需要掌握完全平方公式的特点：首尾皆为平方的形式，中间则是积的两倍. 4. 如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（　　） A. x＞ B. x＜ C. x＞3 D. x＜3 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3）， ∴b＝3， 令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝， ∴点B（，0）． 观察函数图象，发现： 当x＜时，一次函数图象在x轴上方， ∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键． 5. 如图所示，在△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是 （　　） A. 8+2a B. 8a C. 6+a D. 6+2a 【答案】D 【解析】 【分析】在△MNP中，∠P=60°，MN=NP，证明△MNP是等边三角形，再利用MQ⊥PN，求得PM、NQ长，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP ∴△MNP是等边三角形． 又∵MQ⊥PN，垂足为Q， ∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°， ∵NG=NQ， ∴∠G=∠QMN， ∴QG=MQ=a， ∵△MNP的周长为12， ∴MN=4，NG=2， ∴△MGQ周长是6+2a． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：连接CD,因为点D，E分别是边AB，AC的中点，所以DE=BC,DE//BC,又CF=BC.所以DE//CF,DE=CF,所以四边形DECF是平行四边形，所以EF=CD，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，所以CD=AB=5，所以EF=5. 考点：1.三角形的中位线定理；2.平行四边形的判定与性质；3.直角三角形的性质. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 因式分解：___． 【答案】2a（a-2） 【解析】 【详解】 8. 计算：的结果是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减运算，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：______使得四边形BDFC为平行四边形． 【答案】BD∥FC． 【解析】 【详解】试题解析：∵AD∥BC， 当BD∥FC时，四边形BDFC为平行四边形． 考点：平行四边形的判定． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm． 【答案】42 【解析】 【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm，△BCD为等边三角形， ∴CD=BC=BD=12cm， 在Rt△ACB中，AB===13， △ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）， 故答案为：42． 11. 不等式组有三个整数解，则a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为5、6、7， ∴， 解得． 故答案：． 【点睛】本题考查由不等式组解得情况求参数．已知不等式（组）的解集，求不等式（组）中待定字母的取值范围问题，首先把不等式（组）的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，这类问题有时要运用方程知识，有时要用到不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析． 12. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为___________． 【答案】6或2或4 【解析】 【详解】如图1： 当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾； 如图2： 当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP=BC=6； 如图3： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°﹣30°=30°， ∴PC=PB， ∵BC=6， ∴AB=3， ∴PC=PB===2 如图4： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴PC=BC÷cos30°=4． 故答案为6或2或4． 考点：解直角三角形 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）原方程的解是． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解、解分式方程等知识点，掌握分式方程的解法成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式因式分解即可； （2）先将分式方程转化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：（1）． （2）＝1－． 方程两边同乘，得，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 14. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值． 【答案】， 时，原式=－2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面的通分，再把除法转化为乘法约分化简，最后选取使分式有意义的x的值代入进行计算即可. 详解】解：原式 ∵x=﹣2，0，1，2时分母为0，无意义， ∴x只能取﹣1， 当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键.同时要注意取的数要使分式有意义. 15. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，x−1， 由②得，x<2， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键． 16. 如图，在中，点E是边的中点，仅用一把无刻度的直尺画出边的中点F．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．连接和交于点O，连接并延长交于点F，点F即为的中点． 【详解】解：如图，连接和交于点O，连接并延长交于点F． 点F即为的中点． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴, ∴， ∴的对角线和交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边中点， ∴， ∵， ∴， 即点F即为的中点． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1； （2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1； （3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x 【解析】 【分析】（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可； （2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可； （3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式． 【详解】解：（1）见下图； （2）见下图； （3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2． 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长． 【答案】（1）见解析（2）BD=2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可． （2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°． ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）． （2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1， ∴DC=DE=1． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°． ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2． 19. 某服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米． （1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； （2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 【答案】（1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米； （2）服装厂需要生产套款服装 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意得， ， 解得：， 答：每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米； 【小问2详解】 解：设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意得， ， 解得：， ∵正整数， ∴的最小值为， 答：服装厂需要生产套款服装． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°． （1）求证：AEBD； （2）过点C作CF⊥BD于点F，连接EF，求证：四边形EFCD是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，从而得到∠ADB=∠DBC，进一步推出∠EAD=∠ADB即可； （2）由AE∥BD可得∠AED+∠BDE=180°，进而得出∠BDE=90°，由CF⊥BD得出DE∥CF，再利用平行四边形的性质证明即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠EAD=∠DBC， ∴∠EAD=∠ADB， ∴AE∥BD． 【小问2详解】 证明：∵AE∥BD， ∴∠AED+∠BDE=180°， ∵∠AED=90°， ∴∠BDE=90° ∵CF⊥BD， ∴∠EDB=∠CFD=90°， ∴DE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD， ∵∠EAD=∠CBF，∠AED=∠BFC=90°， ∴△ADE≌△BCF， ∴DE=CF， ∴四边形EFCD是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长和面积． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解题的关键． （1）先说明是的垂直平分线可得，再根据等边对等角即可证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到、，再根据勾股定理可得，最后计算的周长和面积即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴，． 22. 某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多2元，经了解，用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等． （1）分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ （2）若该文具店用1200元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲x个，乙y个． ①求y关于x的关系式． ②甲每个的售价为10元，乙每个的售价为9元，且在进货时，甲的购进数量不少于60个，若这批文具袋全部售完可获利w元，求w关于x的关系式，并说明如何进货该文具店所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）乙文件袋每个进价为6元，则甲文件袋每个为8元；（2）①；②w＝﹣2x+600，甲文具袋进60个，乙文件袋进120个，获得利润最大为480元． 【解析】 【分析】（1）关键语是“用120元购进的甲文具袋与用90元购进的乙文具袋的数量相等”可根据此列出方程． （2）①根据题意再由（1）可列出方程 ②根据甲每个的售价为10元，乙每个的售价为9元，且在进货时，甲的购进数量不少于60个，若这批文具袋全部售完可获利w元，可列出方程,求出解析式再根据函数图象，分析x的取值即可解答 【详解】解：（1）设乙文件袋每个进价为x元，则甲文件袋每个为（x+2）元， 根据题意得： 解得x＝6 经检验，x＝6是原分式方程的解 ∴x+2＝8 答：乙文件袋每个进价为6元，则甲文件袋每个为8元 （2）①根据题意得：8x+6y＝1200 y＝200﹣ ②w＝（10﹣8）x+（9﹣6）y＝2x+3（200﹣）＝﹣2x+600 ∵k＝﹣2＜0 ∴w随x的增大而减小 ∵x≥60，且为整数 ∴当x＝60时，w有最大值为，w＝60×（﹣2）+600＝480 此时，y＝200﹣×60＝120 答：甲文具袋进60个，乙文件袋进120个，获得利润最大为480元． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程 六、(本大题共12分) 23. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需要证明； （1）探究：如图②，将绕点A逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）应用：如图③，当绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接； ①探究线段、、之间的数量关系． ②若，，求线段的长． 【答案】（1）成立，证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】探究：利用SAS证明ΔABD≌ΔCAE，得BD=CE； 应用：①证明ΔACE≌ΔABD，即可得出结论； ②首先证明∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：成立，理由是： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转，连结和， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∴，，， ∴ ∴， ∴． ②∵， ∴， 又∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 又∵，， ∴在中， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明ΔACE≌ΔABD是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$