二次函数压轴之平行四边形问题归纳练-2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与平行四边形综合问题，通过基础巩固、中档应用、压轴提升三层设计，构建从解析式求解到动态几何综合的递进路径，适配三轮冲刺阶段能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式求解|直接应用待定系数法，强化代数运算基础| |中档应用|平行四边形存在性判定、动点坐标表示|结合坐标几何，培养方程思想与分类讨论能力| |压轴提升|相似三角形、面积最值综合应用|融合多知识点，发展逻辑推理与创新意识|

二次函数压轴之平行四边形问题归纳练-2026年中考数学三轮复习备考 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标是m．求线段的长度n关于m的函数关系式； (3)若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024九年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴； (2)如图，若点为对称轴上一动点，是否存在点使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线下方抛物线上的任意一点，连结，，以，为邻边作平行四边形，求四边形面积的最大值． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 5．（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． (1)已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； (2)如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 6．（2024九年级上·广东珠海·期中）如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 7．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A、B、C三点的坐标； (2)点P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标； (3)如图①，已知点M在抛物线上，点N在x轴上，且四边形为平行四边形，求M点的横坐标． 8．（2025九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 9．（2024·山东东营·模拟预测）已知，经过点的抛物线与x轴相交于点及原点O． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段于点Q，交抛物线于点P，当四边形为平行四边形时，求的度数； (3)如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使？若存在，请求出直线解析式；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·四川德阳·月考）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图像经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式 (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标 (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点M的坐标． 11．（2024·甘肃天水·一模）抛物线经过、两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线、直线的函数解析式； (2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由． (3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 12．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式： (2)点在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线交抛物线于两点，直线与抛物线都只有一个公共点，直线分别交轴于两点，若的面积为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：由，可得直线解析式为， 设，则， ， ，要使四边形恰好是平行四边形，只需， ， 解得， ； （3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下： 是的中点，点， 点， 由（2）知， 直线的表达式为， ， 在直线上，，， 过点作轴于点，过作轴于，如图： ，故， ， ， 直线和直线关于直线对称， ，， ， 由点，可得直线的表达式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， ， ，，， ， ， ， ， ，即， 与相似，点与点是对应点， 设点的坐标为，则， 当时，有， ， 解得或（在右侧，舍去）， ； 当时，， ， 解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点． 2．(1) (2) (3)或或． 【分析】本题主要考查的是二次函数综合运用、一次函数图象的平移、平行四边形性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将点和点代入抛物线求得a、b的值即可解答； （2）先求出直线的表达式为：，则点，，据此即可解答； （3）分是边、是对角线两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：设点且， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴点， ∴，即． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 点，点，设点，，点， ①当是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B， 同样点向右平移3个单位向上平移3个单位得到，即，， 解得：或4， ∴M点的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点公式得：， 解得：， ∴M点的坐标为． 综上，M点的坐标为或或． 3．(1)；抛物线的对称轴为直线 (2)点为对称轴上一动点，存在点使的周长最小，理由见解析 (3)四边形面积的最大值是 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度； 用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；从而可知抛物线的对称轴为直线； 求出，，可知的周长最小时，最小，由，得当，，共线时，最小，最小值为的长；在中，令得，即得； 过作轴交于，设，知，，故，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； ， 抛物线的对称轴为直线； （2）点为对称轴上一动点，存在点使的周长最小，理由如下： 如图： 在中，令得， ， ， ， 的周长最小时，最小， 点为对称轴上一动点， ， ， 当，，共线时，最小，最小值为的长； 由，得直线的解析式为， 在中，令得， ； （3）过作轴交于，如图： 设， 由直线的解析式为知， ， ， ， 当时，取最大值， 四边形面积的最大值是． 4．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的横坐标为； (3)的值为． 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点，点的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点的坐标，设直线的解析式为，把，的坐标代入，得出直线的解析式为； （2）由是以为腰的等腰直角三角形，得出轴，即点的纵坐标为3，把代入，得或2，由轴，得出点的横坐标为； （3）由抛物线的解析式可得出，由直线的解析式可得，由以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，可得，由方程，即可得无解． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得 所以抛物线的解析式为， 令，解得，，得点的坐标， 设直线的解析式为，把，的坐标代入， 得， 解得 所以直线的解析式为； （2）解：是以为腰的等腰直角三角形， 轴，即点的纵坐标为3， 把代入，得或2， 轴， 点的横坐标为； （3）解：抛物线的解析式为，的横坐标为 ， 直线的解析式为． ， 以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， ， ，化简得，无解， 或，化简得， 解得， 当以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，的值为． 5．(1)：y= (2)①直线的关联抛物线；②； 【分析】（1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）①连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ②根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得， 直线的关联抛物线； （2）解：①如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得， 直线的关联抛物线； ②如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 6．(1)，顶点； (2)； (3)或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【分析】求出直线与轴，轴的交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； （2）解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； （3）解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 7．(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】（）令，列式求解即可得到答案； （）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标； （）分别求出两直线的解析式，再求出另一交点，得到的直线，当时求出点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，； （2）如图，过点P作轴于点，交于点，    则， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 设，， ∴， ∴当时，取最大值，即的面积最大， ∴； （3）设点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴M点的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用题，解题的关键是根据平行四边形的性质及一次函数与二次函数的交点坐标结合函数性质求解． 8．(1)； (2)能．或或． 【分析】（1）将，代入，列方程组求出b、c的值即可； （2）当线段时，以B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，先求出的长，按点P在直线的上方或下方分类讨论，列方程求出相应的点E的坐标即可． 【详解】（1）∵抛物线与直线相交于，两点， ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 （2）能．理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入， 得，解得 ∴直线AC的解析式为 ∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为， 直线，当时，， ∴， ∴， 设点E的横坐标为t，则点F的坐标为， 当，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为； 当或时，四边形、是平行四边形， 则， ∴， 解得，， ∴点F的坐标为，或． 综上所述点 F的坐标为或或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的判定与性质等知识与方法，解第（2）题时应分类讨论，属于考试压轴题． 9．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二函数、一次函数的解析式，求得点和点的坐标是解答问题（2）的关键，证得是解答问题（3）的关键． （1）将点、、的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）设直线的解析式为，将代入可求得的值，则可得到的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为．由题意可知，则，则可求得的值，于是得到，，最后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可； （3）在轴上取点，使，则，延长交抛物线于点．当点在直线上时， ．设的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可，然后再证明，则，设的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：将点、、的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：，． 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为． 四边形为平行四边形， ． ，解得：． ，． 依据两点间的距离公式可知，，， ． 为直角三角形． ． （3）解：如图2所示：在轴上取点，使，则，延长交抛物线于点． 当点在直线上时， ， 设的解析式为，将点和点的坐标代入得：， 解得，． 直线的解析式为． 点的坐标为， ， ． 在和中，， ， ． 设的解析式为，将点和点的坐标代入得：， 解得：，． 直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 10．(1) (2)周长的最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． （1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解； （2）延长交于点，易知是等腰直角三角形，由三边之间的关系可得：，当最大时，最大； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， 故该抛物线的表达式为； （2）延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当最大时，最大， 设，则， ， 当时，有最大值，即有最大值， 此时，点的坐标为； （3）∵， ∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， ∵N是原抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵点M在新抛物线上， ∴设， ①当为边时， 点向右平移4个单位得到点， ∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点， ∴或， 解得：或6， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 当时，， ∴点M的坐标为； 综上，满足条件的点M的坐标有或或． 11．(1)抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为 (2)存在使得的面积达到最大，最大值为8 (3)存在这样的点E，坐标为或或 【分析】（1）先将、代入抛物线，即可求出抛物线解析式，求出B点坐标，设直线的函数解析式为，再将点B，点C的坐标代入求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，根据的面积为，利用二次函数的性质即可求解； （3）设，，根据平行四边形的定义分为对角线时，为对角线时，和为对角线时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线，得， 解得：， 抛物线的解析式为：； 令，则， 解得：或， ， ， 设直线的函数解析式为， 将点B，点C的坐标代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接， 设点，则， ， ， 的面积为，则， ， 当时，的面积最大，最大值为8， 此时； （3）解：存在，求解过程如下： 设，， 由平行四边形的定义分以下2种情况： ①如图，当为对角线时， F点在x 轴上， ，， ， 则， 解得或（舍去）， ， ②如图，当为对角线时， 则，即， 解得或， 点的坐标为或， ③如图，当为对角线时， ∵F点在x 轴上， ∴，， ∴， 则，即， 解得或（舍去）， ， 综上，存在这样的点E，坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分3种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． 12．(1) (2) (3)存在，， ． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得a、b即可解答； （2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即， ∵，点D在y轴负半轴， ∴，即； 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的关系表达式为， 设，则，，其中， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，解得： ， (舍去)， 故当四边形是平行四边形时，． （3）解：如图：分别连接， ∵ ， 由（1）（2）易知， ， ∴当最大时，最大，即， ∵点E在线段上运动， ∴， ∴当 时， 最大面积．即，最大面积为． 13．(1) (2)存在，或或 (3)2 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，再由，分别求出，将点代入，即可函数的解析式： （2）设，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可求解： （3）先求平移后的抛物线，设，当时，，，设直线的解析式为，当时，根据直线与抛物线只有唯一公共点，可推导出，则直线的解析式为，求出点的坐标为，同理，直线的解析式为，点的坐标为，当时，结合，可得，再由的面积，求出的值为2． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，当时，， ， ， ， ， ， 将点代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当是对角线时，， ， 解得， ； ②当是对角线时，， ， 解得， ； ③当是对角线时，， ∴， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或； （3）解： ∴将抛物线向右平移1个单位长度，可以得到抛物线， 设， 当时，， ， 设直线的解析式为， 当时，， ∵直线与抛物线只有唯一公共点， ∴方程的解为， ， ， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为，点的坐标为， 当时， 解得， 代入得， ∵， ， 的面积， 解得或(舍)， ∴的值为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $