四川省天立教育集团2024-2025学年高一下学期期中联测数学试题

2025年春期天立教育集团高一年级期中联测 数学试题 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．在△中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如何将函数的图象变换得到函数的图象？（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 4．若为第三象限角，且，则（    ） A． B． C．2 D． 5．已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 6．已知，，则（    ） A．1 B． C． D． 7．已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知在所在平面内，满足，且，=+) == 0则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对得分，部分选对得部分分，不选或有选错得分。 9．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（     ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 10．已知函数的部分图象如图所示，其中，则（     ） A． B． C．在上单调递减 D．在上有4050个零点 11．如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（     ） A．存在使是正三角形 B．若的周长为，则 C．若为中点，则的周长的最小值为 D．若，求的面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，已知是边上一点，若，，则实数的值是 . 13．如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为 .    14．若存在使满足，则正数的取值范围是 . 四、解答题：本题共小题，共分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 16．（15分） 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若锐角满足，求. 17．（15分） 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若的外接圆的面积为，求的面积. 18.（17分） 如图，在等腰梯形中，，，，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）设点为线段上的一动点，求的取值范围. 19.（17分） 已知函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象. ①求不等式的解集； ②若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期天立教育集团高一年级期中联测考试 数学试题参考答案及评分标准 1．【答案】D 【详解】. 2．【答案】C 3．【答案】B 【详解】因为，所以将的图象向左平移个单位可得到的图象. 4．【答案】A 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 5．【答案】B 【详解】，在上的投影向量的模为：，解得. 6．【答案】C 【详解】由两边平方得①， 由两边平方得②， 由①②得，所以. 7．【答案】D 【详解】由正弦定理可得，若满足条件的三角形有且只有一个，则或，所以或，得或. 8．【答案】D 9．【答案】BC 【详解】由两边平方，，因，，故，B正确； 对于A，由得，因，故，A错误； 对于C，由，即，C正确； 对于D，由，则， ，D错误. 10．【答案】ABD 【详解】依题意得，，则，，A正确； 由图可知，所以，又，所以，B正确； 延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误； 因为在上有2个零点，所以在上有4050个零点，故D正确. 11．【答案】ABD 【详解】对于A，设，则，， 由得，，解得（舍去）.故A正确. 对于B，设，，则，即， ， .故B正确. 对于C，因为，所以只需求的最小值即可.延长至点，使得，则，当仅当共线时等号成立.则的周长的最小值为．故C错误. 对于D，设，，，， 则，即， 因为，当且仅当等号成立， 解得或，因为， 所以，则当时，的最大值为．故D正确. 12．【答案】 【详解】因为，所以， 13．【答案】2 【详解】中，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，，即. 14．【答案】 【详解】， ，， ，当仅当时取等. 即，，即. 因为， 当时，， 由题知存在使且， 则 得，所以，解得． 当时，；当时，； 因此的取值范围是． 15．解：（1）若，则，即，——————————————3分 则，.—————————————————————6分 （2），则，则，—————10分 ，得.————————————————————————13分 16．解：（1）.—————5分 所以函数的最小正周期.——————————————————————7分 （2）因为，得， 又因为是锐角，所以，——————————————————————9分 因为，且，所以，—————————11分 故.————————————15分 17．解：（1）由得，——2分 ，， 则，或.——————————————————————————6分 （2）设的外接圆的半径为，由，解得.——————————7分 由正弦定理，，得.—————————————————9分 因为，所以，由（1）可得.—————————————————10分 由余弦定理，，——————————————12分 得，解得或.—————————————————————13分 故当时，的面积为；————————————————14分 当时，的面积为.————————————————————15分 18.解：（1），且， ；—————————————————————————————————5分 （2）过点作交的延长线于点， ， 且， 是正三角形，， 在▱中，， .—————————————————————————————11分 （3）设， 则，——————————————12分 ，————————————————————13分 ———————————————————————15分 令，在上递增，在上递减， 且，， 的取值范围是.——————————————————————17分 注：本题还可以采取坐标法、极化恒等式法，详细过程不再赘述. 19.解：（1）由题知，的图象关于对称，———————————————2分 即，，—————————————3分 又，， 故的解析式是；———————————————————5分 （2），———————————7分 即不等式的解集为；—————————————10分 （3）令， 其中辅助角的终边过点，即，，，11分 ， 由图可知， 即，———————————————————————————13分 由得， ， 则， 在上递减，，， 的取值范围是.—————————————————17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$