精品解析：陕西省西安市曲江第一中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题

西安市曲江第一中学2024—2025学年第二学期 八年级数学期中试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. “MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是（ ） A. 甲是分式，乙不是 B. 乙是分式，甲不是 C. 甲和乙都是分式 D. 甲和乙都不是分式 3. 已知，下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【 】 A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 7. 不等式组：的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 当________时，分式无意义． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为________． 13. 已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为_______． 14. 若多项式因式分解的结果为，则________． 15. 三个数3，，在数轴上从左到右依次排列，则的取值范围是______． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 三、解答题（共8小题，共计52分） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 解不等式（组） （1）解不等式 （2）解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 21. 如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 22. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是________； （2）求关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 23. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 24. 【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，在等边三角形内有一点P，且，，，求的度数． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下思考：将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，寻找线段，，之间的数量关系……，请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形内有一点P，且，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市曲江第一中学2024—2025学年第二学期 八年级数学期中试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. “MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，找出中心对称点是解题的关键． 中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转1后，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据中心对称图形的定义，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； D、有中心对称点，是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是（ ） A. 甲是分式，乙不是 B. 乙是分式，甲不是 C. 甲和乙都是分式 D. 甲和乙都不是分式 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母” 即可求解． 【详解】解：是分式，不是分式， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3. 已知，下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，则，原式变形错误，不符合题意； B、由可得，原式变形正确，符合题意； C、由不一定可得，例如当时，满足，但不满足，原式变形错误，不符合题意； D、由可得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 6. 如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【 】 A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可： 【详解】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数， ∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1）， ∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．故选B． 7. 不等式组：的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可求出答案． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由旋转的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 10. 如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 当________时，分式无意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 根据点平移的规律解答即可． 【详解】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时， 此等腰三角形周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时， ， 不能组成三角形； 综上所述：此等腰三角形周长为15， 故答案为：15． 14. 若多项式因式分解的结果为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 三个数3，，在数轴上从左到右依次排列，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵三个数3，，在数轴上从左到右依次排列， ∴列不等式组得， 解不等式组得． 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求解是解题关键． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小； 【详解】解：如图,取AB的中点E,连接CE,PE． ∵∠ACB＝90°,∠A＝30°, ∴∠CBE＝60°, ∵BE＝AE, ∴CE＝BE＝AE, ∴△BCE是等边三角形, ∴BC＝BE, ∵∠PBQ＝∠CBE＝60°, ∴∠QBC＝∠PBE, ∵QB＝PB,CB＝EB, ∴△QBC≌△PBE（SAS）, ∴QC＝PE, ∴当EP⊥AC时,QC的值最小, 在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°, ∴PE＝AE＝, ∴CQ的最小值为． 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（共8小题，共计52分） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式即可进行因式分解； （2）先利用提公因式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解不等式（组） （1）解不等式 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤． （1）利用解不等式的步骤进行求解即可； （2）利用解不等式组的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可打得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 作线段的垂直平分线交于一点，即为点． 【详解】略 21. 如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 为等腰直角三角形， 在和中， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“”证明，即可作答． 【详解】略 22. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是________； （2）求关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的的范围． （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象，与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集是． 【小问3详解】 解：， ， ． 23. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）至少购进5台A型智能机器人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 24. 【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，在等边三角形内有一点P，且，，，求的度数． 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下思考：将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，寻找线段，，之间的数量关系……，请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形内有一点P，且，，，求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，即为所求；利用等腰三角形的性质即可求出； （2）将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则，得到，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出； （3）根据（2）的方法将将绕点逆时针旋转，得到，则，求出，，即可得是等腰直角三角形，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，即，延长，过点作于，得到，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴， 如图，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接， ， ，， ∴是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ， ． （3）∵四边形是正方形， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转，得到， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴是直角三角形， ∴， 如图，延长，过点作于，则， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $