2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中线段的计算与证明综合训练

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中线段的计算与证明综合训练 1．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E． 求证：（1）DE⊥AE； （2）AE+CE=AB． 2．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径． 3．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长． 4．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长． 5．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F． （1）求证：CE=EF； （2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空： ①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N． （1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； （2）连接MD，求证：MD=NB． 7．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长． 8．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP=∠ADB． （2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长． 9．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点． （1）求证：AD⊥CD； （2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）． 10．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径． 11．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长． 12．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度． 14．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°． （1）求∠ABD的度数； （2）若AB=6，求PD的长度． 15．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD． （1）求证：AD=AE； （2）若AB=6，AC=4，求AE的长． 参考答案 1.【解答】证明：（1）连接OD，如图1所示． ∵OA=OD，AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AE∥OD． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AE． （2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB， ∴DE=DM． 在△DAE和△DAM中，， ∴△DAE≌△DAM（SAS）， ∴AE=AM． ∵∠EAD=∠MAD， ∴=， ∴CD=BD． 在Rt△DEC和Rt△DMB中，， ∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL）， ∴CE=BM， ∴AE+CE=AM+BM=AB． 2．【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED； （2）解：OC交BF于H，如图， ∵AB为直径， ∴∠AFB=90°， 易得四边形CDFH为矩形， ∴FH=CD=4，∠CHF=90°， ∴OH⊥BF， ∴BH=FH=4， ∴BF=8， 在Rt△ABF中，AB===2， ∴⊙O的半径为． 3．【解答】解：（1）连接OA， ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵，∠ADE=25°， ∴∠AOE=2∠ADE=50°， ∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°； （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵， ∴∠AOC=2∠B， ∴∠AOC=2∠C， ∵∠OAC=90°， ∴∠AOC+∠C=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， ∴OA=OC， 设⊙O的半径为r， ∵CE=2， ∴r=， 解得：r=2， ∴⊙O的半径为2． 4．【解答】解：（1）连接OC，OD， ∴OC=OD， ∵PD，PC是⊙O的切线， ∵∠ODP=∠OCP=90°， 在Rt△ODP和Rt△OCP中，， ∴Rt△ODP≌Rt△OCP， ∴∠DOP=∠COP， ∵OD=OC， ∴OP⊥CD； （2）如图，连接OD，OC， ∴OA=OD=OC=OB=2， ∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°， ∴∠AOD=80°，∠BOC=40°， ∴∠COD=60°， ∵OD=OC， ∴△COD是等边三角形， 由（1）知，∠DOP=∠COP=30°， 在Rt△ODP中，OP==． 5．【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵CE为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°， ∵DO⊥AB， ∴∠3+∠B=90°， 而∠2=∠3， ∴∠2+∠B=90°， 而OB=OC， ∴∠4=∠B， ∴∠1=∠2， ∴CE=FE； （2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°， 而AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=30°， ∴∠3=∠2=60°， 而CE=FE， ∴△CEF为等边三角形， ∴CE=CF=EF， 同理可得∠GFE=60°， 利用对称得FG=FC， ∵FG=EF， ∴△FEG为等边三角形， ∴EG=FG， ∴EF=FG=GE=CE， ∴四边形ECFG为菱形； ②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°， 而OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=67.5°， ∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴∠AOC=45°， ∴∠COE=45°， 利用对称得∠EOG=45°， ∴∠COG=90°， 易得△OEC≌△OEG， ∴∠OGE=∠OCE=90°， ∴四边形ECOG为矩形， 而OC=OG， ∴四边形ECOG为正方形． 故答案为30°，22.5°． 6．【解答】证明：（1）连接ON，如图， ∵CD为斜边AB上的中线， ∴CD=AD=DB， ∴∠1=∠B， ∵OC=ON， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠B， ∴ON∥DB， ∵NE为切线， ∴ON⊥NE， ∴NE⊥AB； （2）连接DN，如图， ∵CD为直径， ∴∠CMD=∠CND=90°， 而∠MCB=90°， ∴四边形CMDN为矩形， ∴DM=CN， ∵DN⊥BC，∠1=∠B， ∴CN=BN， ∴MD=NB． 7．【解答】解：（1）连接OC， ∵CN为⊙O的切线， ∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB， ∴∠OAC+∠ODA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM， ∴MD=MC； （2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC=， ∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB， ∴，即， 可得：OD=2.5， 设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52， 解得：x=， 即MC=． 8．【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠ADB=90°， ∵BC为切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， 而OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB； （2）解：∵OP⊥AD， ∴∠POA=90°， ∴∠P+∠A=90°， ∴∠P=∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴=，即=， ∴BP=7． 9．【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD， ∵点C是的中点， ∴∠DAC=∠EAC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠EAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∴AD⊥CD； （2）解：∵∠CAD=30°， ∴∠CAE=∠CAD=30°， 由圆周角定理得，∠COE=60°， ∴OE=2OC=6，EC=OC=3，==π， ∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3． 10．【解答】（1）证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙0的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如图2，连接BD， ∵CE丄AB， ∴∠E=90°， ∴BC===5， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2=CD•CE， ∴CD==， ∴OC==， ∴⊙O的半径=． 11．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD， ∴AE=ED； （2）∵OC⊥AD， ∴， ∴∠ABC=∠CBD=36°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°， ∴． 12.【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD； （2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形BCDH是平行四边形， ∴BC=DH， 在Rt△ABC中，∵AB=DH， ∴tan∠ACB==， ∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC=AC， ∴DH=AC， ①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°， ∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH=AC， ∴DH=OD， ∴∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20° ∵∠ADB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°， ②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述，∠BDE的度数为20°或40°． 13.【解答】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE是⊙O的切线，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC； （2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD=EH，OH=DE． 设AH=x． ∵DE+AE=8，OD=10， ∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2． 在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102， 解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）． ∴AH=8． ∵OH⊥AF， ∴AH=FH=AF， ∴AF=2AH=2×8=16． 14.【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD． ∵BA是⊙O直径， ∴∠BDA=90°． ∵=， ∴∠BAD=∠C=60°． ∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°． 方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°． 即∠ABD=30°． （2）如图1，∵AP是⊙O的切线， ∴∠BAP=90°． 在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°， ∴DA=BA=×6=3． ∴BD=DA=3． 在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=， ∴cos30°==． ∴BP=4． ∴PD=BP﹣BD=4﹣3=． 15.【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°，∠ADB=90°， ∵CE∥AB， ∴∠E=90°， ∴∠E=∠ADB， ∵在△ABC中，AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠BCA=∠ACE， 又∵AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（AAS）， ∴AD=AE； （2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y， 则BD=（6﹣y）， ∵△AEC和△ADB为直角三角形， ∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2， AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入， 解得：x=，y=， 即AE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$