精品解析：广东省深圳市红岭教育集团 2024—2025 学年下学期 八年级期中考试 数学试卷

红岭教育集团2024-2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一．填空题 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、左边不是多项式，故A错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B错误； C、右边不是积的形式，故C错误； D、符合因式分解的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 3. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质，两边同时加上或者减去相同数，或者两边同时乘以相同正数，不等号不变，不等式两边同时乘以相同负数，不等号要发生改变逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式基本性质，掌握不等式基本性质是解题关键． 4. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【详解】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 5. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 6. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 7. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由题意可得线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，于是可求出、的值，然后计算即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，，若将线段平移至， 线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段， ，， ． 故选：B． 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 10. 如果分式的值为0，那么x的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键． 11. 某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打________折． 【答案】八 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设打x折，根据利润率不低于，即利润要大于或等于元，列出不等式，解出x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：设打x折，根据题意得： ， 解得：， 则最多可打八折． 故答案为：八． 12. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，首先证明GF＝GE＝GD，求出GE，然后根据OB＝OE＝OC＝BC可得点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上，求出∠BEC＝90°，进而可求BE、CE、CG的长，再利用面积法求出点F到直线AC的距离，进而可求的面积． 【详解】解：连接BE， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∵点O是BC边的中点， ∴BO＝CO＝BC＝2， ∵把绕边的中点O旋转后得，直角顶点E恰好落在边上， ∴BO＝EO＝2，∠DFE＝∠ACB，∠CBA＝∠FED，AC＝DF， ∴CO＝EO， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠DFE＝∠OEC， ∴GF＝GE， ∵∠D＋∠DFE＝∠DEG＋∠GEF＝90°， ∴∠D＝∠DEG， ∴GE＝GD， ∴GE＝DF＝AC＝， ∵OB＝OE＝OC＝BC， ∴点B、E、C在以O为圆心，BC为直径的圆上， ∴∠BEC＝90°， ∴BE＝， ∴CE＝， ∴CG＝CE−GE＝， ∵GF＝GE＝GD， ∴S△GFE＝S△GDE＝S△DEF＝， 设点F到直线AC的距离为h，则，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质以及圆周角定理等知识，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共7小题，其中14题8分，15题6分，16题8分，17题8分，18题8分，19题11分，20题12分，共61分） 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行约分即可求得结果； （2）先把各分式的分子、分母进行因式分解后，再把除法转化成乘法，最后进行约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：. ． 15. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为． 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． 17. 如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． （1）求直线的解析式； （2）记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； （3）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【小问1详解】 解：∵的直线解析式为， 令， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； 【小问2详解】 解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 18. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE． （1）求证：CE＝CB； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度． 【答案】 （1）证明：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴AC是∠EAB的角平分线， 又∵CE⊥AD，CB⊥AB， ∴CE＝CB． （2）BE＝2． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB； （2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长． 【详解】（1）略 （2）∵AC是∠EAB的角平分线， ∴∠EAB＝2∠CAE＝60°， ∵∠DCA＝∠DAC＝30°， ∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴∠ECD＝30°， ∵CB⊥AB， ∴∠CBA＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠CBA+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝90°， ∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°， ∵CE＝CB＝2， ∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°， ∴∠EBA＝60°， ∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB； 在Rt△ABC中， ∵BC⊥AB，∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝4， ∴AB＝， ∴BE＝2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键． 19. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】（1） （2），，自西向东方向更拥堵 （3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由（1）得，，，当时，算出，． 根据可变车道为自东向西方向，得出自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，即可求出，，即可判断； （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，．当时，，则，解得，分为当时，，和当时，，求解即可； 【小问1详解】 解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． 【小问3详解】 在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 20. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） 仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2024-2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一．填空题 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 3. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 5. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 7. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6 8. 如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解_____． 10. 如果分式的值为0，那么x的值为 ___． 11. 某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打________折． 12. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 13. 如图，在中，，把绕边的中点O旋转后得，若直角顶点E恰好落在边上，且边交边于点G，则的面积为____________． 三．解答题（共7小题，其中14题8分，15题6分，16题8分，17题8分，18题8分，19题11分，20题12分，共61分） 14. 计算 （1）； （2）． 15. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 17. 如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． （1）求直线的解析式； （2）记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； （3）根据图象，直接写出的解集． 18. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE． （1）求证：CE＝CB； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度． 19. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 20. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． （1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； （2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $