精品解析：四川省内江市第六中学2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年四川省内江六中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知1微米=10﹣7米，则25微米用科学记数法表示为（　　） A. 0.25×10﹣5米 B. 25×10﹣7米 C. 2.5×10﹣6米 D. 2.5×10﹣8米 【答案】C 【解析】 【详解】∵1微米=0.000001米=1×10﹣7米 ∴25微米=25×1×10﹣6米=2.5×10﹣6米 故选C． 【点睛】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握求复合函数自变量的取值范围的方法是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：函数， ，即， 故选：B． 3. 的值为（ ） A. 64 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据（，p为负整数）计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：．，故本选项正确，符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，例如，，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变． 5. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断粗答案． 【详解】A：，，两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，符合题意； B：，，一组对边平行，一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意； C：，，属于两组邻边互相相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意； D：，，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法的种类是关键． 6. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴上的点的坐标特点纵坐标为0，即求得的值，进而求得点的坐标 【详解】解：∵点在轴上， ∴ 解得 故选A 【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，理解“轴上的点的坐标特点是纵坐标为0”是解题的关键．平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点：①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0； ④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0． 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间为8时，对应的高度为（ ） … 1 2 3 … … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求出一次函数解析式，然后零，求出函数值即可． 【详解】解：∵水位是时间的一次函数， ∴设一次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 10. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意并找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键． 设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时，根据题意乙同学比甲同学早到分钟列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是千米/小时，则甲同学的速度为千米/小时， 甲同学所花时间为小时，乙同学所花时间小时， 乙同学比甲同学提前分钟小时达到活动地点， 得：． 故选：B． 11. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴E为中点， ∴，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故正确的个数为个， 故选：B． 12. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意； B、当时，，，故说法正确，符合题意； C、当时，，，故说法错误，不符合题意； D、当时，，，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 13. 若关于的方程组无解，则函数的图象不经过第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．首先根据题意，解二元一次方程组，用k表示出x为；接下来由方程组无解即可得到，求出k的值，然后根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：对方程组消去y，得， 解得：， 方程组无解， ∴， 即， 故， ∵，， ∴一次函数y随x增大而增大，图象与轴交于负半轴， ∴一次函数图象过一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 14. 若关于的分式方程的解是正数，且的最小整数值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的范围即可． 【详解】解：根据题意：解得， 依题意，且， 得且， 故m的最小整数值为7， 故答案为：7． 15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使得点在直线上，点在轴的正半轴上，则点的坐标是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键．先求出的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【详解】解：∵与x轴交于点， ∴点坐标， ∵四边形是正方形， ∴坐标， ∵轴，即：坐标， ∵四边形是正方形， ∴坐标， ∵轴， ∴坐标， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，…， ∴点的坐标为． 故答案为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算及解分式方程： （1）先计算乘方、立方根、零指数幂和负整数幂，再进行加减运算； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 原方程去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 经检验是原方程的解， 原方程的解是． 18. 化简：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键；根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定的值，代入计算得到答案． 【详解】解：， ，，且， 当时，原式； 当时，原式． 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． 在 Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴， ， ∴四边形 AECD 的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1； （2）-3≤x＜0或x≥2； （3）P的坐标是（-5，0）或（3，0）． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得； （3）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数y=的图象经过B（2，3）， ∴m=2×3=6． ∴反比例函数的解析式为y=． ∵A（-3，n）在y=上，所以n==-2． ∴A的坐标是（-3，-2）． 把A（-3，-2）、B（2，3）代入y=kx+b．得： ，解得， ∴一次函数的解析式为y=x+1； 【小问2详解】 解：由图象可知：不等式kx+b≥的解集是-3≤x＜0或x≥2； 【小问3详解】 解：设直线与x轴的交点为D， ∵把y=0代入y=x+1得：0=x+1， x=-1， ∴D的坐标是（-1，0）， ∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（-3，-2），B（2，3）， ∴DP×2+DP×3=10， ∴DP=4， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是（-5，0）； 当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0）， 即P的坐标是（-5，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力． 21. 今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； （2）购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元，根据题意列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双，根据购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设这批跑鞋全部售完的利润为元，根据总利润单双利润销售数量（购进数量），即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设种跑鞋的进价是元，则种跑鞋的进价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种跑鞋的进价是元，种跑鞋的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进种跑鞋双，则购进种跑鞋双， 依题意，得：， 解得：， 设这批跑鞋全部售完的利润为元，则 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时， 答：购进种跑鞋双，种跑鞋双时，才能获利最大，最大利润是元． 22. 若关于的方程无解，则的值是_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】先将分式方程变形为整式方程，再将整式方程变形为(a-1)x=2的形式，根据方程无解的情况：a-1=0，或x-1=0，求得答案即可． 【详解】， ax=3+x-1， ∴(a-1)x=2. ∵的方程无解， ∴a-1=0，或x-1=0 当a-1=0时，解得a=1． 当x-1=0时，即x=1，此时，a=3. 故答案为1或3． 【点睛】此题考查了分式方程的解，一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解． 23. 如果，，是正数，且满足，，则________ 【答案】7 【解析】 【分析】先根据题意得出a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=9， ∴a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b， ∴ = = = =7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 25. 在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为_____________________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性即可判断①；由即可判断②；分两组情况讨论求得的值即可判断③；根据A的横坐标即可判断④． 【详解】解：①∵直线中， ∴随x的增大而增大， 当时，；当时，， ∴，故①错误； ②∵当时，；当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与x轴所夹锐角总等于，故②正确； ③∵时，， ∴， 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； ∴的长为2或4，故③正确； ④由③可知，直线与直线的交点A横坐标为2， ∴关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质等，求得A点的坐标是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示． （1）已知点A的坐标是（1，3）． ①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是 ． ②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标 ． （2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标； （3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）或（-3，-4）；（3）且 【解析】 【分析】（1）①根据题中“正轨点”的定义求解即可； ②根据题中“正轨点”的定义，写出一个点A的“正轨点”的坐标，验证即可； （2）根据点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，列出方程组即可得出结果； （3）分情况讨论①若H在C的右上方；②若H在C的左上方；③若H在C的左下方；④若H在C的右下方，解得即可． 【详解】解：（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线， ∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）； ②（-1，1），∵(3-1)×=4， ∴（-1，1）符合要求； （2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上， ∴或． ∴或 ∴点B的“正轨点”的坐标是，（-3，-4） （3）设C的“正轨点”为H(n,2n+m)， ①若H在C的右上方，此时m＜0， 则n-m=2n+m，n=-2m， ∴H(-2m，-3m)， ∵(-2m-m)(-3m-0)＜4， ∴9m²＜4，m²＜， ∴-， ∴； ②若H在C的左上方，此时m＞0， m-n=2n+m，3n=0,n=0， ∴H(0，m)，而C(m，0)， ∴m×n＜4， ∴-2＜m＜2， ∴； ③若H在C的左下方，此时m＞0， m-n=0-(2n+m)，n=-2m， ∴H(-2m,-3m)，而C(m，0)， ∴(m+2m)(0+3m)＜4， ∴9m²＜4，m²＜， ∴-， ∴； ④若H在C的右下方，此时m＜0， n-m=0-(2n+m)，n=0，∴H(0，m)，而C(m,0)， ∴(0-m)(0-m)＜4，m²＜4， ∴-2＜m＜2， ∴-2＜m＜0； 综上所述：且． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，正方形的性质以及一次函数解析式，解题的关键是：运用分类讨论的思想解决问题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点为线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的周长最小时，在轴正半轴上找一点，连接，若，求点的坐标； （3）将绕点顺时针旋转得到，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求得点D坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得A、B坐标，得到和是等腰直角三角形，进而可得，则的周长， 当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为，如图1，过点作轴于，设，利用列方程求得t值即可； （3）分①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况，分别画出对应的图形，利用等腰三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，逐个求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 设直线的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，； 当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的周长， 当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为， ∴， 如图1，过点作轴于， 对于，当时，，则， 设， ， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：分四种情况： ①当时，如图2，过点作轴于， ∵， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ， 是等腰直角三角形， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图2，此时与重合， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； ③当时，如图3，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，； ④当时，如图4，此时与重合，与重合，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、直线与坐标轴的交点问题、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合与分类讨论思想的运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省内江六中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知1微米=10﹣7米，则25微米用科学记数法表示为（　　） A. 0.25×10﹣5米 B. 25×10﹣7米 C. 2.5×10﹣6米 D. 2.5×10﹣8米 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 的值为（ ） A. 64 B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间为8时，对应的高度为（ ） … 1 2 3 … … … A. B. C. D. 8. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点千米和千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍．乙同学比甲同学提前分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 13. 若关于的方程组无解，则函数的图象不经过第___________象限． 14. 若关于的分式方程的解是正数，且的最小整数值为______． 15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，使得点在直线上，点在轴的正半轴上，则点的坐标是___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）， 18. 化简：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上一点，的面积为10，直接写出点P的坐标． 21. 今年无锡马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进，两种跑鞋共80双进行销售．已知9000元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的1.5倍，种跑鞋的进价比种跑鞋的进价每双多150元，，两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元． （1）求，两种跑鞋的进价分别是多少元？ （2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售，若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？ 22. 若关于的方程无解，则的值是_______． 23. 如果，，是正数，且满足，，则________ 24. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 25. 在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为_____________________． 26. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示． （1）已知点A的坐标是（1，3）． ①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是 ． ②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标 ． （2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标； （3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点为线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的周长最小时，在轴正半轴上找一点，连接，若，求点的坐标； （3）将绕点顺时针旋转得到，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $