精品解析：江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷

2024~2025学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 2025.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数单调性解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【详解】，故，，故， 所以， 又，故. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法和减法法则计算出答案. 【详解】 故选：B. 3. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】C 【解析】 【分析】由极差、中位数、平均数和标准差的概念判断即可. 【详解】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到6个有效评分， 6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变， 而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化， 因此一定不变的数字特征是中位数. 故选：C. 4. 已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线的倾斜角，从而求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解. 【详解】由与联立，结合可解得： ，，， 再由二倍角公式可得， 故选：B. 6. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可判断ABC，再分类讨论时和时，结合等比数列求和公式即可判断． 【详解】令，，，，，A错； ，B错； ，C错； 一般情况，时，，，， ，此时； 时，， 左边， 右边左边，D对； 故选：D． 7. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出，然后在等式中，分别令、，可得出的值，的值，由此可得的值. 【详解】因为是奇函数，则， 令，可得，可得， 在中令得，所以， 在中令得， 所以， 所以. 故选：D. 8. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱柱的体积可得面积之比，进而得长度比例关系，结合勾股定理，联立方程可求解半径，由表面积公式求解，或者利用余弦定理求解长度，进而根据正弦定理求解外接圆半径，即可利用勾股定理求解球半径得解. 【详解】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则， 设外接球半径，设（当时，O在线段上） ，，故外接球表面积为， 故选；A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，写出展开式的通项公式，得到，求出的系数；B选项，第3项和第4项的二项式系数均为10；C选项，所有项的二项式系数和为；D选项，赋值法得到所有项的系数和. 【详解】A选项，展开式第项， 时，，A对； B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对. C选项，所有项的二项式系数和为，C对. D选项，时，，即所有项的系数和为，D错； 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用点在曲线上得出，点也在曲线上即可判断；B设，利用距离公式求出距离，再作差即可比较大小；C设，利用导函数求出切线斜率，进而求出直线，，再利用距离公式求出即可求得；D利用基本不等式求最值，得出取最值时即可求斜率. 【详解】A，若点满足方程，则点也满足方程， 则关于轴对称，故A正确； B，设，则， 则到点的距离，到直线的距离， 则， 当时，，即，所以B错误； C，设，则， 因，则， 则曲线在点处切线斜率为， 所以直线为，直线为， 所以，， 可得， ， 则 因，故存在，使得时，故C正确； D，由C选项可知，， 等号成立时，，即， 此时的斜率为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值. 【详解】，， ，. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可知、为与抛物线的交点，联立求出其中一个交点坐标，代入双曲线方程，结合焦距得到，进而求出离心率. 【详解】由对称性知、关于轴对称，为正三角形， 则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点， 联立与得或0（舍去），当时，， 故其中一个交点为， 设双曲线方程为，故，解得， 在双曲线上，，， 故离心率为； 故答案为： 14. 已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布写出概率再结合独立事件概率乘积公式计算即可；根据概率求和结果倒序相加计算求解. 【详解】，， . 并利用， 记原式， 倒序相加. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）产品的质量与采用的工艺有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算公式求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 零假设：产品的质量与采用的工艺无关， 根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关. 【小问2详解】 记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙. . 16. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1），，， 由余弦定理得， ， ，， 又，，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，根据勾股定理逆定理得到，结合证明出线面垂直； （2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角的平面角为，求出各边长，得到为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：平面，平面， 且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ， 解得，令，则，故， 设与平面所成角为， . 方法二：因为平面，又平面，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，因为，，所以．故是等边三角形 所以． 在三棱柱中，，又平面，所以平面， 又平面，所以．故为直角三角形． 在直角中，因为，，所以，故． 设点到平面的距离为，由， 得，解得． 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义及所过点求出即可得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理定理，结合弦长及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以. 18. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程即可求解； （2）利用分类讨论，通过导数正负符号的判断可得单调区间； （3）利用端点值刚好为，要满足不等式恒成立，必要条件先行，再证明充分性即可求解. 【小问1详解】 由已知得，，在点处的切线方程为. 设与切于，，， 则过该点的切线方程为：， 整理得，由于该切线与重合， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，即对恒成立. 令，， 令，， 因为，， 若，则在处的切线必然是上升的， 又因为，所以当且靠近的函数值满足， 此时就有， 从而可推导在且靠近的附近是递增的， 又因为， 所以在且靠近的附近必有 则必然不满足对恒有， 所以要满足对恒有， 首先必需满足在且靠近的附近， 所以满足， 从而可得参数满足的必要条件是； 下面再证充分性，当，时，则，即有， 又构造，，可得， 所以在区间上单调递增，即， 则可知，则， 恒成立，符合题意， 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：针对端点值刚好是不等式的临界值时，利用必要条件先确定参数的范围，再进行充分性证明，如若成立，则这个必要条件就是充要条件. 19. 若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”. （1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，； （2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由； （3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”. 【答案】（1）证明：法一： ； 法二： 为“均值递减数列”，关于单调递减， 即关于单调递减，， ； （2）是，理由：法一： 设的前项和为， 令，则，判别式小于零，所以递减， 因此是“均值递减数列”； 法二： 易知时，单调递减；时， 单调递增且时，当时，单调递减且， 且计算易得， 设前项和为，归纳假设，，时， ，即，即，， ，即，，时，成立. 而成立，对且恒成立， 也有， 即为“均值递减数列”； （3）证明：法一： 设依题意，均为递减数列， 而， 相乘展开得， 由于，，则由补充不等式有， 所以 ， 求和得，由（1）的结论知，， 所以， 于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”； 法二： 设的前项和为，的前项和为， 和均为均值递减数列， 由（1）知对恒成立， 由①②知，，记的前项和为， 证对，，时不等式显然成立， 设当，时，成立， 即，， ， ， ，即时，不等式也成立， 对恒成立， 也为“均值递减数列”. 【解析】 【分析】法一： （1）“均值递减数列”定义可得答案； （2）求出的前项和为，令，则判断的正负可得答案； （3）设，求出，结合，得，求和由（1）的结论知，，可得答案； 法二： （1）根据为“均值递减数列”得化简可得答案； （2）判断出的单调性，得，设前项和为，利用归纳法可得答案； （3）设的前项和为，的前项和为，设的前项和为，利用归纳法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 2025.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 4. 已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 13. 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______. 14. 已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 18. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”. （1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，； （2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由； （3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $