数学（广东卷03）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

2025年高考押题预测卷 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A C C D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．-2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以,即,即, 因为，所以.··············5分 （2）. 所以，从而，所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得··········13分 16．（15分） 【详解】（1）因为动点到的距离等于到直线的距离， 所以M的轨迹为开口向右的抛物线， 又因为焦点为， 所以轨迹方程为.··············5分 （2）（ⅰ）证明：设点， 设以为切点的切线方程为， 联立抛物线方程,可得， 由，得， 所以切线AP：， 同理切线BP：点P在两条切线上，则， 由于均满足方程，故此为直线AB的方程， 由于垂直即，则， 所以直线AB的方程，恒过；    （ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线 联立直线AB与直线OP的方程得， 因此，时取等号. 即的最小值是.··············15分 17．（15分） 【解析】（1） 取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面.··············5分 （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ，··············8分 （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为， ， 则二面角的正弦值为；··············11分 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 ， ，，.··············15分 18．（17分） 【详解】（1）被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为. 偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为， 所以2×2列联表为： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 300 女性市民 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关. ··············6分 （2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为， 所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人， 设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B， 则，， 所以.··············10分 （3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为， 所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人. 根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为， 从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2. “3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件， 则. “参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件， 则，， ，， ，， 所以 ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P ··············17分 19．（17分） 【解析】（1）函数，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为：， 令，得，因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以.··············5分 （2）由（1），令， 则， 于是， 两式相减得： 因此，由，得， 令，则， 当时，，即， 当时，，即，则， 所以整数的最小值为22. ··············11分 （3）由（2）知，依题意，方程有且只有两个根， 令，则函数有且只有两个零点， 求导得，当时，恒成立，在R上递增， 最多1个零点，不符合题意， 当时，由，得或，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 函数有且只有两个零点，则的图象与x轴有且只有两个公共点，必有， 此时，，方程，即，得， 所以，.··············17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C．5 D．8 3．已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 10．已知函数，其中为自然对数的底数，则（    ） A．若为减函数，则 B．若存在极值，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，长方形的长为，宽为2，，，，分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面的夹角为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 . 13．设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 16．（15分）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离. (1)求M的轨迹方程； (2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q； （ⅰ）求证：R是一个定点； （ⅱ）求的最小值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（17分）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2－2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 女性市民 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率； (3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（17分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：） (3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 女性市民 合计 500 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C．5 D．8 3．已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 10．已知函数，其中为自然对数的底数，则（    ） A．若为减函数，则 B．若存在极值，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，长方形的长为，宽为2，，，，分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面的夹角为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 . 13．设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 16．（15分）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离. (1)求M的轨迹方程； (2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q； （ⅰ）求证：R是一个定点； （ⅱ）求的最小值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（17分）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2－2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 女性市民 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率； (3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（17分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：） (3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得到，所以， 由，即，解得或， 所以， 所以，故选：D. 2．若复数满足，则（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】B 【解析】，所以.故选：B． 3．已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件，故选:A． 4．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选， 这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况， 所以所求概率为.故选：C. 5．函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，令，得， 即， 所以， 所以，AB选项错误. 由于， 所以， 上述式子相加可得， 而，所以，C选项正确. 由，令， 则，即， 所以. 令，得， 同理C选项的分析可知， 所以，D选项错误.故选：C 6．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . ， 由于在区间上有且只有一个零点， 所以， 而， 其中，而， 在区间上单调递增， 所以，解得，则.故选：D 7．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以.故选：B. 8．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果. 【详解】 令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足）， 从而在上单调递增，所以当时，，从而当时，； 当时，（当时取等号），又当时，，即， 所以在上单调递增，由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增； 不等式. 令，则原问题等价于有解，从而， ∵，∴在上单减，在上单增， ∴，所以的最小值为，故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合二次函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意得，解得，故A正确； ，故为递减数列，即B正确； ，解得且，故C错误； 由二次函数的性质可知：的图象开口向下且关于直线对称， 由于，所以当或时，取最大值，故D正确； 故选：ABD. 10．已知函数，其中为自然对数的底数，则（    ） A．若为减函数，则 B．若存在极值，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对求导可得，当时，也为减函数，可得A错误；若存在极值可知存在“变号”零点，可得B正确；由可得，构造并判断单调性可得，C正确；由可得，易知，可得，构造函数并判断单调性即可求得，D正确. 【详解】因为，所以， 所以当时，为减函数，A错误． 若存在极值，则存在“变号”零点． 因为可得，所以，即，B正确． 若，则，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上是增函数， 所以，所以，C正确． 若，即．由，得，即， 所以，易知，所以． 设，． 设，所以在上单调递增， 结合，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以，所以，即，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：在求解参数取值范围时，往往根据已知条件得出变量之间的基本关系，通过构造函数得出函数单调性即可求得参数取值范围. 11．如图，长方形的长为，宽为2，，，，分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面的夹角为 【答案】ACD 【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，平面，即可求解AB，结合线面角以及面面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解CD. 【详解】对于A，由题意可得，，， 由题意可知是的中点，连接， 又，，所以，， 平面，故平面， 平面，故，A正确， 对于C，由于，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 故为直线与平面所成角，，故，故C正确， 对于D，过作于，连接， 由于平面，平面，故， 又平面，故平面， 因为平面，故， 故为平面与平面的夹角， 由等面积法可得， 又，故，故，D正确， 对于B，由于平面，而平面，且与平面不平行， 故平面与平面不垂直，故B错误 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以 . 13．设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 14．在三棱锥中，，平面经过点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】先根据截面面积最大，确定平面平面，再确定外接球球心的位置，求出外接球半径，可求球的表面积. 【详解】如图： 如图所示，取中点，连接．由，可知． 同理可知，．又，平面， 所以平面，所以平面即为平面． 又易知，所以截此三棱锥所得的截面面积为． 当时，取得最大值． 设为外接球球心，，分别为、外接圆圆心． 球心满足平面，平面， 所以四边形为正方形，且， 三棱锥外接球的半径， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以,即,即, 因为，所以.··············5分 （2）. 所以，从而，所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得··········13分 16．（15分）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离. (1)求M的轨迹方程； (2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q； （ⅰ）求证：R是一个定点； （ⅱ）求的最小值. 【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用抛物线的定义求M的轨迹方程； （2）（ⅰ）设点，由切线AP和BP的方程，得到直线AB的方程为，又直线AB与PO垂直得，则直线AB的方程，可得所过定点. （ⅱ）联立直线AB与直线OP的方程得交点Q的坐标，表示出，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为动点到的距离等于到直线的距离， 所以M的轨迹为开口向右的抛物线， 又因为焦点为， 所以轨迹方程为.··············5分 （2）（ⅰ）证明：设点， 设以为切点的切线方程为， 联立抛物线方程,可得， 由，得， 所以切线AP：， 同理切线BP：点P在两条切线上，则， 由于均满足方程，故此为直线AB的方程， 由于垂直即，则， 所以直线AB的方程，恒过；    （ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线 联立直线AB与直线OP的方程得， 因此，时取等号. 即的最小值是.··············15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)（i）；（ii）存在，. 【解析】（1） 取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面.··············5分 （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ，··············8分 （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为， ， 则二面角的正弦值为；··············11分 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 ， ，，.··············15分 18．（17分）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2－2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 女性市民 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率； (3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能 (2) (3)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意直接确定列联表，计算，对比数据即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）记“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件， 求得，再由条件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算随机变量取每一个值对应的概率，即可求解； 【详解】（1）被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为. 偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为， 所以2×2列联表为： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 300 女性市民 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关. ··············6分 （2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为， 所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人， 设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B， 则，， 所以.··············10分 （3）因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为， 所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人. 根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为， 从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2. “3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件， 则. “参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件， 则，， ，， ，， 所以 ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 P ··············17分 19．（17分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数 的最小值；（参考数据：） (3)在（2）的前提下，设，直线与曲线有且只有两个公共点，其中，求的值． 【答案】(1)；(2)22；(3)16. 【解析】（1）函数，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为：， 令，得，因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以.··············5分 （2）由（1），令， 则， 于是， 两式相减得： 因此，由，得， 令，则， 当时，，即， 当时，，即，则， 所以整数的最小值为22. ··············11分 （3）由（2）知，依题意，方程有且只有两个根， 令，则函数有且只有两个零点， 求导得，当时，恒成立，在R上递增， 最多1个零点，不符合题意， 当时，由，得或，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 函数有且只有两个零点，则的图象与x轴有且只有两个公共点，必有， 此时，，方程，即，得， 所以，.··············17分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$