精品解析：贵州省遵义市桐梓县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

贵州省桐梓一中2023-2024学年高一下学期期末考试数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，判断的形状（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 6. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有2个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 10. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 11. 若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ） A. 重合 B. 相交于一点 C. 两两平行 D. 恰有两条交线平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为______. 13. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，. （1）求集合、； （2）若，求实数的取值范围. 16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 17. 已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心. （1）求证：； （2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明； （3）求二面角的余弦值. 18. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省桐梓一中2023-2024学年高一下学期期末考试数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 集合，， ∴是方程的解，即 ∴ ∴，故选C 2. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值逐一分析即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，故A正确； ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误. 故选：. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按定义域的定义列式求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则，且， 解得或， 故定义域为． 故选：D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式化简集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由得， 即， ∴， 故选：A. 5. 在中，已知，判断的形状（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答案可得. 【详解】解：根据正弦定理由，得，即， 所以，所以， 所以为等腰三角形. 故选：D. 6. ，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 7. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简得出复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则，所以，， 所以，. 故选：C. 8. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有2个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用诱导公式结合函数周期性的定义判断，对于B将给定函数化简后结合余弦函数的性质求解零点个数判断，对于C利用换元法转化为二次函数，再求解二次函数的最值判断，对于D举反例判断即可. 【详解】对于A，因为 ， 所以是的一个周期，故A正确， 对于B，因为， 所以令，解得或， 当时，，故舍去， 当时，而，， ，，由余弦函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论， 当时，得到，所以此时在上存在一个根， 当时，得到，所以此时在上存在一个根， 综上可得在上有2个零点，故B正确， 对于C，令，故可化为， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 且，， 故最大值为，即的最大值为，故C正确， 对于D，由题意得，， 所以在上不可能是增函数，故D错误. 故选：ABC 10. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 【答案】AD 【解析】 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 11. 若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ） A. 重合 B. 相交于一点 C. 两两平行 D. 恰有两条交线平行 【答案】ABC 【解析】 【分析】构造长方体模型，选择其中的若干平面作为平面，即可依次判断即得. 【详解】 如图，作出一个长方体. 对于A项，可把平面依次取为平面，它们两两相交于共同的交线,故A项正确； 对于B项，可把平面依次取为平面，此时，,,, 而易得三条交线交于同一点D，故B项正确； 对于C项，可把平面依次取为平面,此时，,,, 而易得三条交线两两平行，故C项正确； 对于D项，可把平面依次取为平面,此时，,,, 若只有,因平面，而平面，则平面, 又平面,而平面平面=，则有, 即交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由极差是中位数的2倍得到，再由和为12得到，联立可求出四个数值，即可求第75百分位数. 【详解】这组数据的极差为，中位数为， 根据题意得，即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为为正整数且互不相等，且， 三个数的平均数即中位数， 则得到，. 因为， 所以这4个数据的第75百分位数为. 故答案是：. 13. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以，， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，. （1）求集合、； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，利用分式不等式的解法可得集合； （2）利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由得，解得，则， 由可得，等价于， 解得，则. 【小问2详解】 因为，则，解得，因此，实数的取值范围是. 16. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 17. 已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心. （1）求证：； （2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出平面，结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）在平面内，过点作的平行线，即为所求的直线，且平面，再结合线面平行性质定理即可得证； （3）先证明为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系计算即可． 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 四边形为正方形， ，且为中点， 又，， 平面，平面，且，平面， 平面，而平面， ； 【小问2详解】 在平面内，过点作的平行线，即为所求的直线，且平面． 证明如下：，，， 平面，平面， 平面； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面， ，过点作，为垂足，连接， ，，平面 平面，平面，， 为二面角 的平面角， 由题意可知四棱锥为正四棱锥，平面，故平面， 平面，故, ，， ，，， ， ， 二面角的余弦值为． 18. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果； （2）将问题转化为有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的一元二次不等式恒成立，由判别式得到关于的不等式，求解得到结果； （3）利用已知得到，根据对勾函数的性质求得最值即可得到所求范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. 【小问3详解】 ∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查了函数问题中的新定义问题，搞清楚不动点是方程的根，不动点的个数即为方程的根的个数，从而构造方程在求解参数范围的过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数，对勾函数求解对应模型的最值.对于转化与化归的思想要求较高. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】（1） （2） ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【小问1详解】 因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $