专题13 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题13 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 2．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第三象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握根据反比例函数解析式判定反比例函数图象的性质是关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称， ∴故B、D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 当时，，故A选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3．反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图像分布在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．必过点 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，反比例函数的增减性和反比例函数 图象经过的象限，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据解析式判断出增减性和经过的象限，最后求出当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， 在中，当时，， ∴反比例函数必过点， ∴四个选项中只有C选项说法错误，符合题意； 故选：C． 4．反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质与图象．对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限；当，反比例函数图象在第二、四象限内． 【详解】解：反比例函数中， 则反比例函数的图象一定经过一三象限， 故选：B 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值． 故选：B ． 7．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 8．已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型2：反比例函数性质图像】 9．正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 10．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 11．函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于（），当时，，观察图象可排除B和D； 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 观察A、C选项，选项C符合题意， 故选：C． 12．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键； 根据和分别讨论，即可求解； 【详解】解：当，的图象过一，二，三象限，过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，过二，四象限； 当时，和A选项图象一致； 故选：A 13．当时，函数和在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像的综合问题， 根据题意可知一次函数的图像是一条经过一，三象限，且过原点的直线，反比例函数位于二，四象限的双曲线，再根据得出一次函数取第三象限的部分，双曲线取第二象限的部分，即可得出答案. 【详解】解：当时，函数和函数的图像如图所示， 故选：C. 14．已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限， ∴选项中没有图象符合． 故选：B． 15．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象应过在二、四象限，故本选项不符合题意； C、一次函数图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； D、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、三、四象限可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限知，由一次函数图象知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型3：反比例函数大小比较】 17．已知点，，在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，得出在每个象限内，y随x的增大而增大，根据，得出，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，，在函数的图象上，且， ∴， 即， 故选：C． 18．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 19．若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 根据可得反比例函数图形经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B ． 20．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．此题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴此函数图像在一、三象限，在每个象限内x随y的增大而减小， ∵， ∴点，在第一象限， ∴， ∵， ∴点点在第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 22．点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的增减性和图象的中心对称性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； B、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； C、反比例函数是中心对称图形，若，则，正确，符合题意； D、若则有，即，选项错误，不符合题意． 故选：C． 23．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解． 【详解】解： ∴反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大， 当时，函数的最大值和最小值之差为4， ， 解得：． 故选：D 24．若点，，在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点，点，点坐标代入解析式可求，，的值，即可得，，的大小关系． 【详解】解：点，，，，，在反比例函数的图象上， ，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足图象函数解析式是本题的关键． 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：B． 26．已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可． 【详解】解∶根据题意得： 当时， x的取值范围是或． 故选 ∶D． 27．如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集为： 或； 故选D． 28．如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系．根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答． 【详解】解：观察图象，两函数图象的交点坐标为，， 的解就是一次函数图象在反比例函数的图象的下方的时候的取值范围， 由图象可得：或者， 故选：A． 29．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 30．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查直线和双曲线的交点问题．根据观察图象来求解不等式的解集． 【详解】解：解集从图形上来看就是直线在双曲线的上方， 观察图象得，不等式的解集是或， 故选：C． 31．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 先求出、的值，再根据函数图象即可求解． 【详解】解：，在函数和函数上， ，， 即，， 则的范围如图中实线所示： 即或． 故选：． 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 32．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】此题主要考查了用待定系数法确定函数的解析式，，以及一次函数的应用，难易适中．在求解面积时要注意运用分割法，把总面积分割为两个小三角形的面积之和． （1）首先把代入反比例函数中，就可以确定k的值，从而确定反比例函数的表达式，再把代入反比函数解析式确定n的值，再利用待定系数法确定一次函数的表达式； （2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 反比例函数的表达式为：； ，即：； 将、代入得：， 解得： 一次函数的表达式为：； （2）解：如图所示：设一次函数与轴交于点， 由得； ． 33．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求函数的表达式； (2)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）点，在一次函数上，求出的值，待定系数法求出的表达式即可； （2）的面积等于的面积，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵的面积等于的面积， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∵， 时， ∴将直线向上或向下平移1个单位，得到直线，直线与双曲线在第一象限的交点即为点，如图： ∵， ∴，， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 综上：点的坐标为：或． 【题型6：反比例函数应用】 34．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键． 根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】解：底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10， ， ． 故选：C． 35．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 36．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】(1)， (2)理由见解析 【分析】本题考查了求一次函数、反比例函数的解析式及根据解析式求解不等式． （1）将点坐标代入反比例函数解析求出段的表达式，再代入点的横坐标即可求解； （2）求出函数在上解析式，令，解出的范围，即可判断． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 37．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 38．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 【答案】度． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 把代入中得，， ∴， 当时，， 当时， ∴度数减少了度． 39．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中． (2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 【答案】(1)5； (2)教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据实际意义列出解析式是解题的关键． （1）根据图像信息即可得到结论； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差与比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由图像可知， 设线段的解析式为， 将代入， 得：， 解得， 故线段的解析式为， 设双曲线的解析式为， 将代入，求得， 双曲线的解析式为， 当时，， 当时，， 故上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第5分钟时学生的注意力更集中； （2）解：当，，解得， 当，，解得， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 40．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 41．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入（1）中所求解析式，即可得出y的值； （3）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，代入得 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴他不能撬动这块石头． 42．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．    (1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式． (2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少， 【答案】(1) (2)弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力即弹簧秤的示数最小，最小示数为 【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用反比例函数的性质求最值． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到和的函数关系，从而可以写出和满足哪种函数关系； （2）根据反比例函数的性质和木杆的总长度，可以得到移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小），并求出此时弹簧秤的示数为多少． 【详解】（1）解：根据杠杆原理可知： ， ， 即是关于的反比例函数，函数表达式为； （2）解： ，， 当时，随的增大而减小， 当取最大值时，取最小值， 木杆长，为木杆的中点，故， 当时，， 答：弹簧秤离木杆中点距离为时，最省力（弹簧秤的示数最小），最小示数为． 43．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型） 【题型1：反比例函数性质】 【题型2：反比例函数性质图像】 【题型3：反比例函数大小比较】 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 【题型6：反比例函数应用】 【题型1：反比例函数性质】 1．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 2．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第三象限 3．反比例函数的图像经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图像分布在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．必过点 4．反比例函数的图象一定经过（    ） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 7．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 8．已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【题型2：反比例函数性质图像】 9．正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 10．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 11．函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A．B．C．D． 12．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 13．当时，函数和在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A．B．C．D． 14．已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A．B．C．D． 15．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【题型3：反比例函数大小比较】 17．已知点，，在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 18．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 19．若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．若点，，在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 26．已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 27．如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 28．如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A．或者B．或者C．或者 D． 29．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．如图，直线与双曲线相交于点、，那么不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．无解 31．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【题型5：反比例函数与一次函数综合】 32．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 33．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求函数的表达式； (2)点C是反比例函数的图象上第一象限内的一个动点，当的面积等于的面积时，求C点的坐标． 【题型6：反比例函数应用】 34．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 35．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 36．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标和段的表达式； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 37．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 38．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度． 39．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中，为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中． (2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明． 40．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 41．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 42．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧处挂了一个约的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．    (1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：）满足怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式． (2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少， 43．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$