专题11.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点:“源于教材”但“高于教材”,体现了“题在书外,根在书中”的特点,本专题持别选了一些“课本源题”,供大家参考使用! 1．（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 2．（2015·山东枣庄·三模）【课本节选】 反比例函数y=（k为常数,k≠0）的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】 我们首先对反比例函数y=（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时． 在函数图象上任意取两点A、B，设A（x1，），B（x2，）， 且0＜x1＜x2． 下面只需要比较和的大小． —=． ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0． ∴＜0．即＜． 这说明：x1＜x2时，＞．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． 即：当x＞0时，y随x的增大而减小． 同理，当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）试说明：反比例函数y= （k＞0）的图象关于原点对称． 【运用推广】 （2）分别写出二次函数y=ax2（a＞0，a为常数）的对称性和增减性，并进行说理． 对称性： ； 增减性： ． 说理： （3）对于二次函数y=ax2＋bx＋c （a＞0，a，b，c为常数），请你从增减性的角度，简要解释为何当x=—时函数取得最小值． 3．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 4．（18-19九年级上·山西·期中）（1）课本情境 课本第 40 页第 3 题：如图 1，已知矩形 AOBC，AB=6cm，BC=16cm，动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动.出发____________________时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm； （2）逆向发散 当运动时间为 2s 时，P、Q 两点的距离为__________cm；当运动时间为 4s 时，P、Q 两点的距离为___________cm； （3）拓展应用 若点 P 沿着 AO→OC→CB 移动，点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点 B 停止时，点P随点 Q 的停止而停止移动，试求经过多长时间△POQ 的面积12cm2？ （4）探索发现 如图 2，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线过点 D，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值. 5．（21-22八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第56页的部分内容， 例1  画出函数的图象． 解  这个函数中自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出与的对应值表： … … 1 2 3 6 … … … 6 3 2 1 … 通过列表、描点、连线画出函数的图象如下所示： 得出结论：观察图象写出该函数的两条性质 ①_______________________； ②___________________． 【学法迁移】通过列表、描点、连线画出函数的图象并进行探索． … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … （1）请将上面表格补全，并在图中画出函数的图象； （2）根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数，自变量的取值范围为________； ②函数的图象是________图形（填中心对称图形或轴对称图形）； ③直接写出当时自变量的值________． 6．（20-21八年级下·河南南阳·期中）（1）阅读教材例题：例：利用一次函数的图象，求二元一次方程的解．分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：如图，分别作出一次函数y＝x+5和y＝﹣x﹣1的图象，得到它们交点的坐标（4，1），即方程组解为； （2）解决问题：模具厂计划生产一种面积为4cm2、周长为12cm的长方形模具，求这个长方形的长与宽，小明同学是这样解决的：设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm；因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是　 　；因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是　 　；x的取值范围是　 　，求长方形的长与宽，可转化为求两个函数图象交点坐标请你完成上面的填空，并画出函数的图象，求出长方形的长与宽（精确到0.1）； （3）问题拓展：若长方形面积为4cm2周长为m，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）． 7．（2013·江苏镇江·中考真题）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题． 如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B． （1）写出点B的坐标，并求a的值； （2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）． ①求n的值； ②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式； ③直接写出不等式的解集． 8．（2024·江苏常州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图像交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图像于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 9．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点 （1），，； （2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，求的面积． 10．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求n，a与b的值； （2）若，请直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 12．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于，求； （3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 13．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点，直线与轴交于点．  （1）直接写出反比例函数和一次函数的表达式及值； （2）连接，求的面积； （3）不等式的解集是_________． 14．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． （1）求证：； （2）求点B的横坐标； （3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 15．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． （1）当时，求关于的函数关系式； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 16．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 （1）由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求的值并补全图象； （3）科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 17．（2022·江苏盐城·一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． （1）代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.12 反比例函数（回归教材与课本源题）（精选精编） 中考考题一个特点:“源于教材”但“高于教材”,体现了“题在书外,根在书中”的特点,本专题持别选了一些“课本源题”,供大家参考使用! 1．（2025·山东聊城·一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【答案】（1），，图见分析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． （1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为，即，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线的解析式为，则即，由勾股定定理即可求解． 解：（1）解：∵， ∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为， 当时，； 画出该函数的图象如解图： （2）解：点的坐标为，如解图，根据对称性可知，当上方的函数图象沿直线翻折， ∵点的纵坐标为，即直线与轴的距离为， ∴折叠后与轴的交点关于对称， ∴交点与原图之间的距离为，即， ∴， 解得， ∴轴的交点坐标为； （3）解：设直线的解析式为（为常数，），将代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，，即， ∴． 2．（2015·山东枣庄·三模）【课本节选】 反比例函数y=（k为常数,k≠0）的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】 我们首先对反比例函数y=（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时． 在函数图象上任意取两点A、B，设A（x1，），B（x2，）， 且0＜x1＜x2． 下面只需要比较和的大小． —=． ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0． ∴＜0．即＜． 这说明：x1＜x2时，＞．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． 即：当x＞0时，y随x的增大而减小． 同理，当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）试说明：反比例函数y= （k＞0）的图象关于原点对称． 【运用推广】 （2）分别写出二次函数y=ax2（a＞0，a为常数）的对称性和增减性，并进行说理． 对称性： ； 增减性： ． 说理： （3）对于二次函数y=ax2＋bx＋c （a＞0，a，b，c为常数），请你从增减性的角度，简要解释为何当x=—时函数取得最小值． 【答案】（1）理由见分析；（2）关于y轴对称；y轴左侧，y随x的减小而增大；y轴右侧，y随x的增大而增大；（3）理由见分析. 解：试题分析：（1）设点A（a，b）在函数图象上，将其对称点代入函数解析式也成立，反比例函数y=（k＞0）的图象关于原点对称； （2）设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d），将两点横坐标代入解析式得到相同的纵坐标，可知其关于y轴对称；取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0；则ax12＞ax22，即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． （3）根据对称轴左侧和右侧的坐标对应的函数值都比对称轴对应的函数值大来说理． 试题解析：（1）设点A（a，b）在函数图象上，则有ab=k， 则函数关于原点的对称点为A′（-a，-b）， 将A′（-a，-b）代入y=，有（-a）（-b）=k， 即ab=k， 可见，A和A′关于原点对称． （2）关于y轴对称：设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d）， 将C（c，d）代入y=ax2得，d=ac2；将C′（-c，d）代入y=ax2得，d=a（-c）2=ac2． 可见，函数关于y轴对称； 增减性：取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0； 则ax12＞ax22， 即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． 可见，对称轴左侧和右侧的坐标对应的函数值都比对称轴对应的函数值大，当x=-时函数取得最小值． （3）关于y轴对称：设C（c，d），其关于y轴的对称点为C′（-c，d）， 将C（c，d）代入y=ax2得，d=ac2；将C′（-c，d）代入y=ax2得，d=a（-c）2=ac2． 可见，函数关于y轴对称； 增减性：取点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜0； 则ax12＞ax22， 即y1＜y2，可见，y轴左侧，y随x的减小而增大；同理可证，y轴右侧，y随x的增大而增大． 考点：反比例函数综合题． 3．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【答案】教材呈现：证明见分析；方法探究：；方法应用：． 【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证； 方法探究：过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解； 方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解． 解：教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即的面积和的面积相等； 方法探究：如图，过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得， ∵，， ∴， 故答案为：； 方法应用：连接，由教材呈现可得，， ∵轴，函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（18-19九年级上·山西·期中）（1）课本情境 课本第 40 页第 3 题：如图 1，已知矩形 AOBC，AB=6cm，BC=16cm，动点 P 从点 A 出发，以 3cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动.出发____________________时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm； （2）逆向发散 当运动时间为 2s 时，P、Q 两点的距离为__________cm；当运动时间为 4s 时，P、Q 两点的距离为___________cm； （3）拓展应用 若点 P 沿着 AO→OC→CB 移动，点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点 B 停止时，点P随点 Q 的停止而停止移动，试求经过多长时间△POQ 的面积12cm2？ （4）探索发现 如图 2，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线过点 D，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值. 【答案】 或 （2） （3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2. （4）的值不会发生变化,是定值. 【分析】设P,Q两点出发秒，点P和点Q之间的距离是 10cm，过点P作, 根据勾股定理，列出方程求解即可. （2）2s时， 根据勾股定理，即可求出P、Q 两点的距离，同理可求出当4s时，P、Q 两点的距离. 分类讨论：①当点P在OA上时；②当点P在OC边上；③当点P在BC边上时． （4）先求出直线AC的解析式，再求出P,Q的坐标进而求值直线P,Q的解析式，联立两个解析式即可得出结论. 解：设P,Q两点出发秒，点P和点Q之间的距离是 10cm，过点P作, 由勾股定理得： 解得：或 故答案为或 （2）2s时， 4s时， 故答案为 （3）连接OQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2. ①当时，则PO=16−3y， ∴即 解得y=4； ②当时， OP=3y−AB=3y−16，QC=2y，则 解得（舍去）； ③时， QP =22−y，则 解得y=18（舍去）. 综上所述,经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2. （4）的值不会发生变化, 理由：四边形AOCB是矩形, 直线AC的解析式为： 设运动时间为 直线PQ的解析式为： 联立①②，解得： 即点 是定值. 【点拨】考查动点问题，勾股定理，三角形的面积公式，待定系数法求函数解析式等，构造直角三角形是解题的关键. 5．（21-22八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第56页的部分内容， 例1  画出函数的图象． 解  这个函数中自变量的取值范围是不等于零的一切实数，列出与的对应值表： … … 1 2 3 6 … … … 6 3 2 1 … 通过列表、描点、连线画出函数的图象如下所示： 得出结论：观察图象写出该函数的两条性质 ①_______________________； ②___________________． 【学法迁移】通过列表、描点、连线画出函数的图象并进行探索． … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … （1）请将上面表格补全，并在图中画出函数的图象； （2）根据以上探究结果，完成下列问题： ①函数，自变量的取值范围为________； ②函数的图象是________图形（填中心对称图形或轴对称图形）； ③直接写出当时自变量的值________． 【答案】【教材呈现】①函数图象的对称中心为；②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；【学法迁移】（1）2；；画图象见分析；（2）①；②轴对称图形；③ 【分析】教材呈现：观察函数图象，从对称性、增减性的角度得出结论． 学法迁移：（1）将和代入解析式即可求得对应的函数值，然后根据表格中的点在坐标系中描点画出图象． （2）①自变量在分母位置，分母不能为零，故；②观察图形即可；③将代入函数解析式，求出的值即可． 解：教材呈现： 观察函数图象，可以得到： ①函数图象的对称中心为 ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小． 学法迁移： （1）将和代入， 当时，， 当时，； 补全表格如下： … 1 2 3 … … 1 2 3 3 2 1 … 函数图象如图所示： （2）①自变量在分母位置，分母不能为零，故； ②观察函数图象可知，图象关于轴对称， 故函数的图象是轴对称图形； ③将代入， 即，， 则． 故答案是：，轴对称图形，． 【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象． 6．（20-21八年级下·河南南阳·期中）（1）阅读教材例题：例：利用一次函数的图象，求二元一次方程的解．分析：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：如图，分别作出一次函数y＝x+5和y＝﹣x﹣1的图象，得到它们交点的坐标（4，1），即方程组解为； （2）解决问题：模具厂计划生产一种面积为4cm2、周长为12cm的长方形模具，求这个长方形的长与宽，小明同学是这样解决的：设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm；因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是　 　；因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是　 　；x的取值范围是　 　，求长方形的长与宽，可转化为求两个函数图象交点坐标请你完成上面的填空，并画出函数的图象，求出长方形的长与宽（精确到0.1）； （3）问题拓展：若长方形面积为4cm2周长为m，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）． 【答案】（2）；；0＜＜6，图象见分析，长宽分别为5.2，0.8；（3） 【分析】解决问题：（2）直接根据面积公式和周长公式求解即可；画出函数图象，根据图象求解即可； 问题拓展：（3）将面积和周长表达式联立方程组，得关于x的一元二次方程，根据有实数根进行判断即可得到结果． 解：解决问题：（2）设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm； 因为长方形的周长为12cm，则y与x的关系是y=6-x； 因为长方形的面积为4cm2，则y与x的关系是； x的取值范围是0<<6； 画图如下： 根据图象得，交点坐标为（0.8，5.2），（5.2，0.8） ∴长方形的长是5.2cm，宽是0.8cm， 故答案为：；；0＜＜6； （3）当周长为mcm时，设长方形的一边长为ycm，另一边为xcm； 则y与x的函数关系式为 ∵面积为4cm2 ∴ 联立方程组得 整理得，时，两个函数图象有交点， ∴ 解得，，（舍去） ∴ 【点拨】本题主要利用长方形的周长和面积公式求出一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7．（2013·江苏镇江·中考真题）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题． 如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B． （1）写出点B的坐标，并求a的值； （2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）． ①求n的值； ②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式； ③直接写出不等式的解集． 【答案】（1）B点坐标为（﹣2，﹣2）．a=1．；（2）①n=1．②； y=x﹣1．③x≥3或﹣1≤x＜1． 【分析】（1）直接把A点坐标代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标． （2）①根据题意得到函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为，然后把M点坐标代入即可得到n的值．②根据题意易得图象C′的解析式为；图象l′的解析式为y=x﹣1．③不等式可理解为比较和y=x﹣1的函数值，由于和y=x﹣1为函数的图象和直线AB同时向右平移1个单位长度，得到的图象；而反比例函数的图象与正比例函数y=ax（a≠0）的图象的交点为A（2，2）和B（﹣2，﹣2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（﹣1，﹣2），则当x＜﹣1或0＜x＜2时，函数的图象都在y=x﹣1的函数图象上方． 解：（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象的交点关于原点对称，A（2，2）， ∴B点坐标为（﹣2，﹣2）． 把A（2，2）代入y=ax得2a=2，解得a=1． （2）解：①函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为， 把M（2，4）代入得，解得n=1． ②图象C′的解析式为；图象l′的解析式为y=x﹣1． ③不等式的解集是x≥3或﹣1≤x＜1． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质、反比例函数的平移特征、根据图像求解不等式的解集，熟练掌握反比例函数的平移特征是解题的关键． 8．（2024·江苏常州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图像交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图像于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1），，详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题， （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 解：（1）∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点 （1），，； （2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，求的面积． 【答案】（1）；；；（2）或；（3） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征， （1）将点坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，确定出反比例解析式，再将点的坐标代入反比例解析式中求出的值，确出点的坐标，将点坐标代入一次函数解析式中即可求出的值； （2）由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围即可； （3）连接， 的面积可以用为底边，高为点的横坐标减去点的横坐标求出，利用三角形的面积公式即可求出的面积； 解题的关键是掌握函数图象上点的坐标特征及数形结合思想的灵活运用． 解：（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点和， ∴，， ∴，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴， ∴，，， 故答案为：；；； （2）∵一次函数与反比例函数的图象交于点和， 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为：或； （3）连接，设为点的横坐标，为点的横坐标， ∵轴， 由（1）知：和， ∴，， ∴， ∴的面积为． 10．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题（求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点），待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短， （1）把点代入中求出，即，代入中求出即可； （2）求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，求出点即可； 理解求反比例函数与一次函数的交点坐标的实质和对称的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ∴， 此时的周长最小，则点即为所作， ∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴存在点，使的周长最小． 11．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求n，a与b的值； （2）若，请直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）把代入反比例函数，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值； （2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． （3）求出直线与x轴的交点C的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可． 解：（1）把点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数为， ∵点也在反比例函数， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得； （2）∵的x取值范围反映在图象上就是直线位于双曲线上方部分所对应的自变量的取值范围， ∴根据图象可知：的x的取值范围为或． （3）如图，设直线与x轴的交点为C， 当时，， ∴， ∴． 【点拨】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 12．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于，求； （3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】（1）根据反比例函数的图像过点，可求出的值，进而确定反比例函数关系式； （2）求出点的坐标，得出点的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小，求出直线的解析式进而得出与轴的交点坐标即可． 解：（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）∵一次函数与反比例函数的图像相交于点和点， ∴ 解得：，， ∴， 又∵轴， ∴点， 设、分别为点、的横坐标，、分别为点、的纵坐标， ∴， 即； （3）存在，理由为： 如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，得：， ∴．    【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点，待定系数法确定反比例函数解析式和一次函数的解析式，对称的性质，两点之间线段最短，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积等知识点．两个函数关系式联立方程组的解即为交点的坐标是解题的关键，理解轴对称的性质是解决问题的前提． 13．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点，直线与轴交于点．  （1）直接写出反比例函数和一次函数的表达式及值； （2）连接，求的面积； （3）不等式的解集是_________． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为，；（2）；（3）或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）把点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，再由、两点坐标可求得一次函数解析式； （2）根据一次函数解析式可求得点的坐标，则可求得的长度，且根据点的坐标可求得点到的距离，可求得的面积； （3）根据两函数图像的交点即可求出一次函数的值小于反比例函数的值时的取值范围； 解题的关键是学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式，能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 又∵点、在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为，； （2）∵一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴点到的距离为， ∴， ∴的面积为； （3）∵由一次函数与反比例函数的图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 14．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． （1）求证：； （2）求点B的横坐标； （3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），详见分析；（2），详见分析；（3）或，详见分析． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性等知识点， （1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到，变形得到； （2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得； （3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得； 熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 解：（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为； （3）∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为， ∴当时，对于实数m，当时，；当时，，m的取值范围是或， 解得或． 15．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数是时间的一次函数．10分钟以后注意力指数是的反比例函数． （1）当时，求关于的函数关系式； （2）当时，求关于的函数关系式； （3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？ 【答案】（1）；（2）；（3）在第至第分钟讲完这道题 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式； （）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式； （）分别令一次函数和反比例函数值大于等于求得的取值范围后相减即可得到答案． 解：（1）解：当时，设， 将、两点代入得：， 解得：，， ∴关于的函数关系式是； （2）解：当时，设， 将代入得：， ∴关于的函数关系式是； （3）解：当时，，解得：， 当时，； 解得：， ∴老师本节课应该在第至第分钟讲完这道题． 16．（2025·江西·模拟预测）某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 （1）由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求的值并补全图象； （3）科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性． 【答案】（1）一次，反比例；（2）；（3）见详解 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，理解表格信息，函数图象信息，掌握一次函数，反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，进行比较即可求解． 解：（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （2）解：当时，是的一次函数，设解析式为，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，； 当时，是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴反例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， 补全图形如下， ； （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵这堂课刚开始进行了3分钟预热， ∴符合学生听课注意力指标数与上课时间的函数关系，合理； 当时，反例含解析式为， 当时，， 解得，， ∵上到31分钟时，结束对数学综合题的探究， ∴这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著； 综上所述，该教育专家点评的合理． 17．（2022·江苏盐城·一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． （1）代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 【答案】（1）① ；②举例见分析；（2）画图见分析 【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断； （2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可． 解：（1）解：①当时，则 解得：或 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是 ②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大， 所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于， 连接CD， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F， 以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G， 作射线AG， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D， 以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E， 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D， 以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧） 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 【点拨】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$