专题12 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题12 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：中点模型】 【模型5：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线段，，若矩形的面积为8，则的值为（    ）    A．8 B． C．4 D． 3．如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（   ） A． B． C．6 D． 4．如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（    ）    A． B．1 C．2 D．4 5．如图，A为反比例函数图象上的一点，于B，点P在x轴上，，则这个反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则 ． 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 9．如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 10．如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 11．如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 12．如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ．    13．如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 14．如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 15．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 16．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为 ． 17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【模型4：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 18．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 21．如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ．    22．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 23．如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为 ． 24．如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 25．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ． 【模型5：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 27．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 28．如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ． 29．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 反比例函数常见几何模型归纳（五大模型） 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【模型4：中点模型】 【模型5：相等模型】 【模型1：定值矩形与定值三角形】 【方法点拨】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键． 【详解】解：的面积为， 所以． 故选：A． 2．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线段，，若矩形的面积为8，则的值为（    ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式的几何定义，理解反比例函数解析式的几何定义是解题关键．根据题意，由反比例函数解析式的几何定义得，即可得出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图像上，轴，垂足为A，轴，垂足为B， ， ， 故选：A． 3．如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由，可以得出矩形的面积，矩形的面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，即可得出答案. 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：由，可得矩形的面积， ∴， 即， 又∵函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（    ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， ，或（舍去）， 故选：D．    【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提． 5．如图，A为反比例函数图象上的一点，于B，点P在x轴上，，则这个反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作AB边上的高PD，交AB的延长线与点D，设A点坐标为（x，y）利用平行线之间的距离处处相等，可得PD的长度即为A点纵坐标的绝对值，底AB的长度即为A点横坐标的绝对值，最后即可求出k的值和的关系. 【详解】解：过点P作AB边上的高PD，交AB的延长线与点D ，设A点坐标为（x，y） ∵A为反比例函数图象上的一点 ∴ ∵轴 ∴AB∥x轴 ∴AB=，PD= ∵ ∴AB ·PD=2 ∴ =2 ∴ ∵反比例函数图象在二、四象限 ∴k＜0 ∴ 故选D. 【点睛】此题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数上点的坐标与图形的面积关系是解决此题的关键. 6．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义代入求解即可；点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，则． 【详解】解：依题意得， ， ， 的图像在第二象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【模型2：平行线之间的定值三角形】 【方法点拨】 7．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 9．如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】如图，交轴于， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】如图，交轴于， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中系数k的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数k的几何意义是解决本题的关键． 过点A作轴于D，过点B作x轴于E，首先得到，，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：过点A作轴于D，过点B作x轴于E，    ∵轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选答案为：． 13．如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】 【方法点拨】 14．如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答． 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值． 【详解】∵点P是反比例函数上的点 ∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为， ∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 故选：D． 15．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 16．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：6． 17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴． 故答案为：12． 【模型4：中点模型】 【方法点拨】 条件：A/B两点分别位上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点 结论： ①本质为BD十▲ACF中位线 ②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF ③ ④ 18．如图，矩形的面积为8，边在y轴上，E是边的中点，若B，E两点在函数的图象上，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，矩形的性质，设，则，根据B，E两点在函数的图象，列方程即可解答，熟练运用反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 四边形为矩形，且面积为， ，， E是边的中点， ， ， B，E两点在函数的图象， ， 可得，即， 故选：D． 19．如图，点A，B在反比例函数的图象上，延长与x轴负半轴交于点C，连接，若点B是的中点，的面积等于9，则k的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何结合．根据题意过点作于点，设，，即可得到，再列出，得到，继而得到本题答案． 【详解】解：过点作于点，    设，， ∴，， ∵的面积等于9， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意直接根据反比例函数k值的几何意义解答即可，即求出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为E，轴，垂足为D， ∵P为的中点， ∴，, ∵反比例函数的图象经过点A、P， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 21．如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，根据是的中点得到为的中位线，然后设，，，根据，得到，最后根据面积求得，从而求得． 【详解】解：分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，取的中点E，连接，如图所示，    ∵， ∴， 点为的中点，点E为的中点 为的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可得在同一直线上，即点N和点E重合， 设，，， ，    ， ， ， ， ． 故答案为：． 22．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 23．如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设，则，，结合图象经过斜边的中点，得到，根据点D，点C都在图象上，得到，得到，继而得到，结合的面积为9，得到，计算得，解答即可． 【详解】设，则，， ∵图象经过斜边的中点， ∴， ∵点D，点C都在图象上， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，A，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点A作轴于点，交于点，若为的中点，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，先根据求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入中，得， ∴， 故答案为：． 25．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， D为的中点， ， 轴， 的面积为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 【模型5：相等模型】 【方法点拨] 条件：一函数与反比例函数交于点A和点B 结论：①AC=BD ② ③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，先求出点坐标，利用待定系数法即可解决问题；求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵N、F是、的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵N是中点， ∴， ∴， 把代入，得到， 故选：D． 28．如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过点作轴于，先求出，再由结合勾股定理得到，则，，最后根据反比例函数的系数的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于， 点，在反比例函数图象上，点的横坐标为1， ，， ， 设，则 ， ， ， 整理得，即， ∵， ∴， ， （负值舍）， ∴， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ∵由图可知：， ∴， 故答案为：． 29．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接， ，， ， 由反比例函数值的几何意义可知： ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$