专题11 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题11 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 4．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点是平行四边形的对角线上一点，连接，若点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，且，则 ． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 5．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 6．（2025·甘肃天水·一模）如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．10 9．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D． 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E．若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 13．（2025·贵州六盘水·一模）如图，中，为对角线，，且，若的面积为，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作交于点，连接．若的周长为7，则的周长为 ． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，点E在的延长线上，．若平分，则 ． 16．（2025·陕西渭南·一模）如图，的对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为 ． 【题型3 利用平行四边形求面积】 17．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，在上，且，则的面积为（　　） A．8 B．4 C．6 D．12 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 20．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的顶点为、为，则的坐标为 ． 22．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ． 23．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）在中，，，平分，交边于点M，连接，平分，交边于点N，若，，则的面积为 ． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 27．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为 ． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 31．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平行四边形的重难点题型归纳（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3 利用平行四边形求面积】 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 【题型5 平行四边形中的最值问题】 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 【题型7 平行四边形的判定条件】 【题型8 平行四边形的判定与坐标】 【题型9 平行四边形的判定与动点】 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 【题型1 利用平行四边形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得，即可求解． 【详解】解： 平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质得到，，进而得到，再根据折叠的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：A． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 4．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点是平行四边形的对角线上一点，连接，若点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，且，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握平z ∴，，， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由得， 解得， 故答案为：． 【题型2 利用平行四边形的性质求线段长度】 5．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，，根据勾股定理求出，根据平行线的性质推出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：A． 6．（2025·甘肃天水·一模）如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的对角线、相交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ， 故选：D． 7．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形中，根据平行四边形的对角线互相平分，得出，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，在中， ． 故选：C． 8．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质，全等三角形性质及判定等．根据题意可证，继而得到，再由平行四边形性质可知，继而可得本题答案． 【详解】解：∵过对角线的交点O， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为：， ∵的周长为18， ∴， ∴四边形的周长为：， 故选：B． 9．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，先判断出是的中垂线，可得，从而可得出的周长为，再由的周长为，即可得出答案．解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． ∶由作图过程可知平分，得到，在平行四边形中，，得到，得出，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解∶由作图过程可知平分， ， 在平行四边形中， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E．若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质， 先根据平行四边形的性质可得，再结合可得，然后根据的周长，最后根据平行四边形的性质得出答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长. 故选：C. 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 13．（2025·贵州六盘水·一模）如图，中，为对角线，，且，若的面积为，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，据平行四边形的性质可得，设，根据勾股定理可得，然后根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∵平行四边形的面积为， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选：B． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作交于点，连接．若的周长为7，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出为边的垂直平分线是解题的关键． 由平行四边形对角线互相平分和可知为边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， 又∵， ∴为边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，点E在的延长线上，．若平分，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，然后根据等角对等边求解即可． 【详解】解∶ 在中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶5． 16．（2025·陕西渭南·一模）如图，的对角线AC、BD交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质．设，根据平行四边形的性质，得到，再根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型3 利用平行四边形求面积】 17．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形性质，勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意可得，，，，继而利用勾股定理得，后证明，继而得到，，，后即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵的中点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 18．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， ∵， ， ， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：B 19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，在上，且，则的面积为（　　） A．8 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即．其中可以是平行四边形的任何一边，必须是边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平行四边形的面积为， 的面积为 的面积 故选：B． 【题型4 平行四边形的性质与坐标】 20．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据题意结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 的横坐标是，纵坐标是， ．　 故选：A． 21．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的顶点为、为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，根据平行四边形的性质可得，结合的坐标，即可求解． 【详解】解：∵在直角坐标系中，平行四边形的顶点为、为， ∴ ∴ 故答案为：． 22．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与平移，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∵点向左平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位得到点， ∴，即：； 故答案为：． 23．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）在中，，，平分，交边于点M，连接，平分，交边于点N，若，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，延长交于E，先求出，再由平行四边形的性质推出，，再证明，，则可证明，据此利用勾股定理求出，再证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于E， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 平行四边形中的最值问题】 24．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，交于点，过点作于点，连接，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点，过点作于点，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ， 是等腰三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理解直角三角形、垂线段最短，解题关键是利用等面积法求解． 25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接   四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为, ， ∴, ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故选：B. 26．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． 过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即， ，， ． 故答案为：． 27．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和最短路径，解题关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点到的距离最短时三角形的面积最小，利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，而的长不变， 所以面积的最小，就是点到的距离最短． 因为，所以过点作，垂足为． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵． ∴， ∴点E到的距离为， ∵，为边的中点， ∴， ∴点到的最短距离为 所以面积． 故答案为：． 28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求最短路径，勾股定理，含30度的直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，利用轴对称的性质坐辅助线，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，由直角三角形，得出，，根据轴对称的性质，得到是等边三角形，再结合平行四边形的性质推出当、、三点共线时，有最小值，为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形， 在，，， ， ， ，， 由轴对称的性质可知，，，，， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，则，在上截取，连接，，，则是等边三角形，由旋转得，，则是等边三角形，可证明，得，则，所以，取的中点L，连接交于点I，连接，，则，所以垂直平分，则，，求得，，进而求得，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， 在上截取，连接，，，则是等边三角形，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点H且与直线所夹的锐角为的直线上运动，， ∴， 取的中点L，连接交于点I，连接，，则， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型6 平行四边形中的折叠问题】 30．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 31．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，将沿若所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长 (    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质得，先证明为等腰直角三角形，求出 ，在中，求出，，在中，求出，在中，即可求． 【详解】解：∵将沿若所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ， ∴， 由勾股定理得： 解得：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定为等腰直角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处， ，， 四边形纸片为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 35．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，．若恰有，则 ． 【答案】/126度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及垂线定义，熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，由折叠得，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 36．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 【题型7 平行四边形的判定条件】 37．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）在四边形中，对角线，相交于点，下列条件中，不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行线平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据平行四边形判定定理进行判断． 【详解】解：如图， A、，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； C、， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、 ，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 38．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【题型8 平行四边形的判定】 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 41．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 42．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 43．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定性质，三角形全等的判定与性质，．由平行四边形性质得，，，证明，，进而推出，证明，得，进而可得，又因为，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型9 平行四边形的判定与动点】 44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 【题型10 平行四边形的判定与性质综合】 45．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 46．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． (1)若，求的度数． (2)若，在平移过程中，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，交于E，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理．根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得出，进而证明四边形是平行四边形，则，在中，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 又∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则 ∵ ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴四边形的面积为 48．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点． （1）由平行四边形的性质得出，且，由中点的定义得出，结合已知条件即可得出，进一步证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出． （2）过点C作于点H．由平行线的性质得出，则，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图，过点C作于点H． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得： ． 49．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$