2025年巴尔干数学奥林匹克预选题

代数组 题1.设山，，心为正实数.证明存在（仙，U,w)的循环置换（包，，，使得不等式： a b 3 n+b+c+b+c++r+阳+b≥r++ 对所有正实数a.b和c成立. 题2.证明存在正整数，使得数： 8k的十进制表示以2023个数字8结尾. 3k 题3.求所有满足方程组的正实数三元组(a,b,c: 11bc-36b-15c=ab0 12ca-10c-28a abc 13ab-21a -6b abc 题4.设a≥b≥c≥0为实数且满足ab+bc+cm=3,证明： 3+2-同6+(3-1) 6-c2 ≤a+b+c 并确定所有等号成立的清况 题5.设R+=(0.+o)为正实数集合，求所有非负实数C≥0，使得存在函数f:R+→R+ 满足对所有x,y∈R+,均有： f(u'f ()+v+c)=xf(x+y2) 题6.设R+=(0,十0∞)为所有正实数的集合，求所有函数f:R+→R+及具有非负系数且 g(0)=0的多项式g(x),使得对于所有正实数x>y,均有： f(f(x)+g(w)=f(x-)+2u 第1页，共6页 组合组 题1.设n,k为正整数.朱莉娅和弗洛里安在2×2棋盘上玩游戏.朱莉娅已用隐形多米 诺骨牌秘密铺满整个棋盘.弗洛里安选择k个格子后，所有覆盖这些格子的骨牌将显形.求k 的最小值，使得弗洛里安总能据此策略推断出完整铺法 注每个多米诺骨牌为2×1的矩形. 题2.设n≥2和S={1.2..,n2}.对任意函数f:S→S,令Fix(f)={x∈S f()=x}.求当f遍历所有f:S→S函数时，下列表达式可能的值 Fix(f川+Im(f)川+ng|f1( 题3.设n≥3.甲乙两人进行如下游戏：甲选择k∈3,4.，n}并绘制3×k表格，在第一行 k个格子中填入{1.2..n}的不同数字.乙在第二行部分格子（可能全空填入{1.2..n} 的相异数字，其余填0.最后在第三行每个格子写入上方两格之和，证明无论甲如何操作，乙都 能确保第三行数字经排列后形成一个非常数列的等差数列， 题4.证明对每个正整数k,存在整数n和不同质数p1,2.,P张，若用A(n)表示{1,2..，n} 中与四…Pk互质的整数数量，则 (-)(-)(-)-a>2* 题5.设m≥3为自然数.甲和乙在正n边形顶点上游戏：甲先将标记置于某顶点，乙再选不 同顶点放置标记.随后甲先手，双方交替移动标记共2轮：甲在第k轮可顺时针或逆时针移 动k个位置：乙在第k轮每次移动1个位置 若某回合结束时两标记重合，甲获胜：否则乙获胜.对每个值，判定谁有必胜策略 题6.设D为平面直线集合，A为平面17个点集.对l∈D,令nd(A)表示A在d上投彩 的不同点数.求以下集合元素个数的最大值： VA={na(A)dED) 第2页，共6页 几何组 题1.设ABC为锐角三角形，AC>AB且D是A角平分线与BC边的交，点.直线AB 和AC关于BC的对称直线分别交AC和AB于E,F点.设（为过D的直线，分别交 AC,AB于G,H,其中G严格位于A与C之间，H严格位于B与F之间.证明△EDG 和△FDH的外接圆彼此相切， G D H 题2.设ABC为一个锐角三角形，三角形内一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA,用S 表示面积，α，3，y表示△ABC的各角.证明如下不等式并确定等号成立的条件 1+1+1≥PAP+PB+PC+4 sinot sing+sin? 十 25 第3页，共6页 题3.设A.B.C.D为直线上按此顺序排列的定点.w为过C和D的变圆，假设该圆与CD 的垂直平分线相交于点X和Y,令Z和T分别为AX和BY与以的另一个交点.证明 ZT恒通过一个不随圆心变化的定点. 题4.设ABC为锐角三角形，AB<AC为垂心，T为外接圆，O为外心.M是BC的中 点.D为满足ADOH构成平行四边形的点.假设存在点X位于外接圆「上且在DH相对 于A的另一侧，使得∠DXH+∠DHA=g0°.Y是OX的中点.证明若/Y=OA则 O.A=20H. 0 H 第4页，共6页 题5.设ABC为不等边锐角三角形，ABC,D是A到BC的垂足，M和N分别是AB 和AC的中点.令PQ位于△ABC外接圆的劣孤AB和AC上且满足PQ‖BC,证明 △DPQ和△MND的外接圆相切的充要条件是PQ通过， M 题6.设△ABC为三角形，点K和L在AB,M上，N在BC上，P和Q在CA上，满足 AK=LB<是AB,BM=NC<BC和CP=QA<CA.KN与IQ及LP的交点分 别为R和T,NP与LM及KQ的交点分别为D和E,证明直线DR,BE和CT共点. 题7，设∫：π→R为从欧氏平面到实数的函数，满足对于任意以O为外心、G为重心、 H为垂心的锐角三角形ABC,均有 f(A)+f(B)+f(C)=f(O)+f(G)+f() 证明∫为常函数， 第5页，共6页 数论组 题1.设n为给定自然数且 Sn={ncn-1010lq,,cn-19m∈{1.2.3.4}. 是否存在相异数x和.x,y∈Sn使得4nx-y? 题2.证明对任意整数n,数n-12n2+144不是完全立方数。 题3.考虑数列 an=2”+3n+2+5m+1 对于≥1，证明存在无限多个质数，其中每个质数都能整除该数列中的无限多项. 题4.设k为正整数.求出所有正整数数列(an)m≥1，使得对任意n≥1，均有： an+2 (an+1-k)=an (an+1+k) 题5.设a和b为不同的正整数，且39+2能被3沙+2整除.证明a>2. 题6.对于正整数c,定义数列a1=c且对每个n≥2有am=房1十c,若某质数p满足：对 任意正整数c都存在n使得p|am,则称其为橙色质数.是否存在无限多个橙色质数 题7.设a,b为正整数，且a+1,b+1与ab均为完全平方数.证明gcd(a,b)+1也是完全平 方数 第6页，共6页