二次函数压轴之线段问题归纳练2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之线段问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考 1．如图，直线y＝x－1与抛物线y＝ax＋x＋c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C． （1）求此抛物线的表达式； （2）若直线PQ∥y轴， 与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值； （3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣1，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为 （用含m的式子表示）． 3．已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称． （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值． 4．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标； （3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值． 5．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 6．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求m的值及顶点D的坐标； (2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标． (3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系． 7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C． （1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点,当时，求P点的坐标． 12．如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B， （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点关于点对称    (1)填空：点的坐标是 ； (2)过点的直线其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且，求线段的长用含的式子表示，并判断点是否在抛物线上，说明理由； (3)在(2)的条件下，若点关于直线的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点的坐标． 14．如图，已知二次函数y＝－x2＋4x－6． （1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）设二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积； （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出△PAD的周长；若不存在，请说明理由． 15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数压轴之线段问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．（1）；（2）；（3）D或 【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可； （2）设P，求得线段的长度，配方法求解即可； （3）由平行四边形的性质可得，根据（2）中的式子，求解一元二次方程即可． 【详解】（1）直线y＝x－1与抛物线交于点A、B两点，点A在y轴上，则A（0，－1），∴c＝－1， 点B的横坐标为6，则y＝×6－1＝2，∴B（6，2）．把x＝6，y＝2代入得：， ∴抛物线的表达式； （2）设P、则Q， ； ∵，当时，PQ最大＝ （3）当PQ//BC//y轴且PQ＝BC时，四边形PQCB是平行四边形， 即，解得， ∴D或 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 2．m+2． 【详解】试题分析：根据抛物线的对称性得到：OB=2，AB=AO，则四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB，由此得出答案即可． 解：如图， ∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B， ∴OB=2， ∵由抛物线的对称性知AB=AO， ∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=m+2． 故答案为m+2． 考点：抛物线与x轴的交点． 3．解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0）， 解得x1=﹣3，x2=1， ∵B点在A点右侧， ∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）， 答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）． 证明：∵直线l：， 当x=﹣3时，， ∴点A在直线l上． （2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：对称， ∴AH=AB=4， 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点， 则，， ∴顶点， 代入二次函数解析式，解得， ∴二次函数解析式为， 答：二次函数解析式为． （3）解：直线AH的解析式为， 直线BK的解析式为， 由， 解得， 即， 则BK=4， ∵点H、B关于直线AK对称， ∴HN+MN的最小值是MB，， 过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E， 则QM=MK，，AE⊥QK， ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， ∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°， 由勾股定理得QB=8， ∴HN+NM+MK的最小值为8， 答HN+NM+MK和的最小值是8． 【详解】（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上； （2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式； （3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案． 4．（1）抛物线的解析式为：；（2），此时，点P坐标为(2，3)；（3） 【分析】（1）通过求出B、C两点坐标，把点B（4,0）和点C（0,2）代入求出解析式即可； （2）作PD∥y轴，交直线BC于点D，通过可知，从而得出答案； （3）令，可得点A（-1,0）．因为 连接BC，交对称轴于点Q，即为所求； 【详解】解：（1）∵直线过B、C两点， ∴点B（4,0），点C（0,2）． 把点B（4,0）和点C（0,2）代入，得： 解得： ∴抛物线的解析式为： （2）作PD∥y轴，交直线BC于点D． 此时，点P坐标为（2,3）           （3）令，解得：x1=-1，x2=4 ∴点A（-1,0）． 连接BC，交对称轴于点Q，即为所求． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）． 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标． （2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解． （3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，4）； （2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝＝． （3）存在，Q（﹣，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点， ∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得， ， 解得， ∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3， 令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键． 6．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入得的值，从而得出函数解析式，求出顶点的坐标； （2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于，利用，得，设，表示出的长，从而列出的方程； （3）设，，利用待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为，利用根与系数的关系得出、的横坐标，再利用直线与抛物线的交点是、，求出、的横坐标的和，从而解决问题． 【详解】（1）将点代入得， ， 解得， ， 顶点； （2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于， 对称轴是直线， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 由待定系数法可知，直线的解析式为， ， ， ， ， 解得或（舍， ，； （3）设，， 利用待定系数法可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时， ， 由根与系数的关系得，， ， 同理得，， 当时， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，抛物线于直线的交点问题，利用“斜化直”思想是解决（2）的关键，利用根与系数的关系是解题（3）的关键． 7．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D． （3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得 ，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）∵点A，B关于对称轴对称， ∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小． 设直线的解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小． （3）方法1： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴ ， 当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法2： 如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为． ∴，，，，． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法3： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法4： 如图，设过点E与直线AC平行的直线为， ∴由，得， 当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，， ∴点E的坐标为． 设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为． ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴． ∴点F到AC的距离为． 又∵， ∴的最大面积为，此时点E的坐标为． 8．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，用解析式可求得点C的坐标 （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，由点A和点B关于对称轴对称，可知点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小，即可求得点P的坐标 （3）由可知，，设点、，求得，即可求得点M的坐标 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点C的坐标为： （2）∵经过点直线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程组， 解得：或， ∴， ∵抛物线的对称轴为：，且， ∴点A关于对称轴的对称点为点B， ∵， ∴当点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小， ∴ （3）存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形 ∵，即， ∴要使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴设点，则点N的坐标为：， ∴，即， 当时，解得：， ∴点M的坐标为：或， 当，解得：（舍去） 综上所述：存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质；掌握方程的思想和分类讨论的方法是解决问题的关键 9．（1）点H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值为9；（2）（，﹣）或（﹣，）； 【分析】（1）过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12，过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求，即可求解； （2）分B′K为菱形的一条边、B′K为菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C， 则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6）， 则直线BC的表达式为：y＝﹣x+6， 设点P（x，﹣x2+x+6），则点E（x，﹣x+6）， PE﹣2EF＝yP﹣3yE＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12， 当x＝9时，PE﹣2EF有最大值，此时，点P（9，6）， 即点C是点P关于函数对称轴的对称点， 过点B作直线HB与x轴的夹角为45°，则直线HB的表达式为：y＝x﹣12…①， 过点C作CH⊥BH于点H，交函数对称轴于点M，交x轴于点N，则点N为所求， BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即为最小值， 同理直线CH的表达式为：y＝﹣x+6…②， 当y＝0时，x＝6，故点N（6，0）， 联立①②并解得：x＝9，故点H（9，﹣3）， PM+MN+NB的和最小值＝CH＝ ＝9； （2）存在，理由： y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+， 点P（9，6），则点P′（9，﹣6）， 则直线BP′表达式中的k值为：2， 设抛物线向左平移m个单位，则向下平移2m个单位， 则y′＝﹣（x﹣+m）2++2m， 将点A的坐标代入上式并解得：m＝3， 则y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，则x＝﹣3或6，故点N（6，0）， 函数的对称轴为：x＝， 同理可得：直线CN的表达式为：y＝﹣x+6，直线BB′的表达式为：y＝x﹣12， 联立上述两式并解得：x＝9， 即交点坐标为：（9，﹣3），该点是点B（12，0）和点B′的中点， 由中点公式可得：点B′（6，﹣6）， 同理可得：直线CB′的表达式为：y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点K（3，0）， 设点S（m，n），点R（，s），而点B′、K的坐标分别为：（12，0）、（3，0）； ①当B′K为菱形的一条边时， 点K向右平移3个单位向下平移6个单位得到B′， 同样，点R（S）向右平移3个单位向下平移6个单位得到S（R）， 即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2， 解得：m＝或﹣，n＝﹣或， 即点S的坐标为：（，﹣）或（﹣，）； ②当B′K为菱形的一条对角线时， 由中点公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R， 即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2， 解得：m＝，故点P（，﹣）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 10．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或. 【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． 详解：（1）依题意得：，解得：， ∴抛物线的解析式为. ∵对称轴为，且抛物线经过， ∴把、分别代入直线， 得，解之得：， ∴直线的解析式为. （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， ∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为. （注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）. （3）设，又，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则，即：解得：， ②若点为直角顶点，则，即：解得：， ③若点为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述的坐标为或或或. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 11．（1）；（2）；（3）坐标有或或 【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式； (2)将不等式变形为,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解； (3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解． 【详解】解：(1)当时，，解得， 当时，， 则点，点， 把，，，分别代入得 解得：，，， ∴该抛物线的解析式为． (2)由不等式， 得， 由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方， 则不等式的解集为； (3)如图，作轴于点，交于点， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设点，则点， 当点在直线上方时， ， 即，解得， 则， ∴点的坐标为：． 当点在直线下方时， ， 即解得， ∴， ∴或， 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况． 12．(1)y= ， B(1，0) ；(2) P(-1， 2)；理由见解析；(3)见解析． 【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标； （2）首先利用待定系数法求一次函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可； （3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案． 【详解】解：（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，）， 将其代入抛物线解析式得：，解得：， ∴y=， ∵对称轴是x=-1， ∴由对称性得B(1，0)； （2）如图，延长BC与对称轴的交点就是点P， 设直线BC的解析式为y=mx+n， 把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：， 则直线BC解析式为：y=-x+， 当x=-1时，y=2， ∴P(-1， 2)； （3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下： ∵在RT△AOC中，tan∠CAO=， ∴∠CAO=30°，∠ACO=60°， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠ACD=∠DCO=30°， ∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°， ∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°， ∵FG=2， ∴△AFG为等边三角形， ∴∠GAF=60°， ∴∠CAG=30°+60°=90°， ∴AC⊥AG， ∴AG为⊙M的切线． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到切线的判定以及等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|的最大值是解题关键． 13．(1) (2)点在抛物线上,理由详见解析 (3)点坐标为． 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点的坐标，再利用对称可求得点坐标； （2）过点的直线解析式为：，过作于点，利用勾股定理可求得线段的长度，进一步可得出点坐标，代入抛物线解析式可判断点在抛物线上； （3）利用平行线和轴对称的性质可得到，则可求得的长，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点， ， 点与点关于点对称， ， ，即点坐标为，， 故答案为：，； （2）解：点坐标为，， 直线解析式为，令可得，解得， ， ， 点只能在轴上方， 如图1，过作于点，设，    则，， ， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ， 点坐标为，， 当时，代入抛物线解析式可得， 点在抛物线上； （3）解：如图2，连接，    轴， ， 又， ， ， 又、关于对称，且在抛物线的对称轴上，即在轴上， ， ， 在中，，则 ，即点的横坐标为，代入抛物线解析式可得， 点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，线段问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（1）、、；（2）6；（3）存在， 【分析】（1）求与轴交点则令，求与轴的交点则令. （2）根据函数解析式求得对称轴和AC的长度，根据求解. （3）长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置. 【详解】当时,与,与轴交于点B,,即 当时, 与轴交于点A、E,有 解得,即、 综上:、、 （2）对称轴：，则 ∴， ． （3）存在．（长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置．） ∴，， ∴，， ∴周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数的运用，掌握二次函数的性质，拿出交点坐标和对称轴，结合题意，通过分析可解. 15．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11) 【分析】（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式； （2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标； （3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8； （2）△ACD周长能取得最小值， ∵点A（﹣2，0），点B（8，0）， ∴对称轴为直线x＝3， ∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值， ∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值， ∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称， ∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值， 设直线BC解析式为：y＝kx﹣8， ∴0＝8k﹣8， ∴k＝1， ∴直线BC解析式为：y＝x﹣8， 当x＝3，y＝﹣5， ∴点D（3，﹣5）； （3）存在， ∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8）， ∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8， 如图， ∵△ACE与△ACD面积相等， ∴DE∥AC， ∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n， ∴﹣5＝﹣4×3+n， ∴n＝7， ∴DE解析式为：y＝﹣4x+7， 联立方程组可得：， 解得：，， ∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）． 【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$