2025年广西壮族自治区南宁市初中毕业班模拟训练（一）数学

【数学试卷（一）第 1页，共 6页】 2025 届南宁市初中毕业班模拟训练（一） 数 学 (考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 分值：120 分) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．．．．．．．．．。 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．．．．．．．．．．．．．．。 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1．下列各数中，是有理数的是 A． B． 2 C． 3 9 D． 7 1 2．下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．2025年 4月 22日，自治区统计局和国家统计局广西调查总队联合公布今年一季度广西经济主要数据，一季 度全区生产总值 6833.92亿元，其中数据“6833亿”用科学记数法表示为 A． 810833.6  B． 910833.6  C． 1010833.6  D． 1110833.6  4．铜鼓是我国古代南方少数民族所使用的打击乐器及礼器，而世界上最重的铜鼓王则出土于广西。 如图是铜鼓的实物图，它的左视图是 A． B． C． D． 5．壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项 参加，则抽中“抛绣球”的概率是 A． 2 1 B． 3 1 C． 4 1 D． 5 1 6．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是 A．丙家在甲家北偏西30方向 B．甲家在丙家南偏东30方向 C．甲家在乙家南偏西50方向 D．丙家在乙家北偏东80方向 【数学试卷（一）第 2页，共 6页】 7．如图是一个数值转换器，当输入的 x值为 25时，输出的 y值是 A． 5 B． 2 5 C．2 D．4 8．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足 50 75   ，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为多少 米．（结果精确到0.1m）  sin50 0.77,cos50 0.64,sin75 0.97,cos75 0.26        A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 9．下列计算正确的是（ ） A． 8 4 2a a a  B．  33 92 8x x   C．   21a a a a     D．  2 2 2x y x y   10．《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业蕴藏着巨大的发展潜力，未来将在国民经济中发挥重 要作用。2023年，我国低空经济规模已达 0.5万亿元，预计到 2025年，该规模将跃升至 1.5万亿元。如果设 这两年低空经济规模年平均增长率为 x，那么根据题意可列方程 A．  20.5 1 1.5x  B．  0.5 1 2 1.5x  C．  20.5 1 1.5x  D．  20.5 1 1.5x  11．关于 x的二次函数 2 2 3y ax a x a   （ a为常数， 0a  ）的图象可能是 A． B． C． D． 12．如图，在菱形 ABCD中，  60ABC ， 6AD ，点 E在边 CD上，且 4DE ， F是边 AD上一动点，将△DEF沿直线 EF折叠，点 D落在点 N处，当点 N在 四边形 ABCD内部（含边界）时，DF的长度的最小值是 A．2 B． 2 13 C．4 D．4 2 【数学试卷（一）第 3页，共 6页】 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分．把答案填在答题卡上的横线上．） 13．分解因式： 22 18a   ． 14．要使得式子 1 2 x 有意义，则 x的取值范围是 ． 15．已知 2 3 x y     是方程组 2 3 ax by bx ay      的解，则   a b a b   ． 16．如图，把Rt ABO△ 置于平面直角坐标系中，点A的坐标为 (0,4)，点 B的坐标为 (3,0)，点 P是Rt ABO△ 内切 圆的圆心．将Rt ABO△ 沿 x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 x轴重合，第一次滚动后圆心为 1P， 第二次滚动后圆心为 2P ，依此规律，第 2025次滚动后，Rt ABO△ 内切圆的圆心 2025P 的坐标是 ． 三、解答题（本大题共 8小题，满分共 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）计算：   2 0 12025 π 1 8 2           （2）化简： 2 11 2 1 2 1 x x x x       ． 18．（8分）如图，已知CD AB∥ ， 60EAB   ． (1)尺规作图：在CD上找出点M ，使点M 到 EAB 两边的距离相等； (2)根据（1）所求点M ，以点M 为圆心， 1 2 AM 长为半径作 M ，求证：直线 AB与 M 相切． 【数学试卷（一）第 4页，共 6页】 19．（8分）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的 数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取 10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描 述和分析（成绩得分用 x表示，共分成四组： A．80 85x  ，B．85 90x  ，C．90 95x  ，D．95 100x  ），下面给出了部分信息： 七年级 10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级 10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 a  ，b  ，并补全条形统计图． (2)该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为 600人和 700人， 估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（ 90x  ）的学生共有多 少人． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中 的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 20．（10分）某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球， 学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 (1)红色气球、黄色气球每包各是多少元？ (2)该中学决定购买红色和黄色两种气球共 100包，且总费用不超过 1300元，那么该中学至少可以购买多少 包黄色气球？ 【数学试卷（一）第 5页，共 6页】 21．（12分）如图 1， AB和CD是半径为 2的 O 的两条直径，点 P是 BA延长线上的一点．连接 PC交 O 于点 E（点 E在线段 PC上，且不与点 P、点 C重合）． (1)当 PC PO 时，求证： 2CO CE CP  ； (2)连接DE，交半径OA于点 M，已知 2PA  ． ①连接 PD，如图 2，当点 M是 PCD△ 的重心时，求 BOC 的余弦值； ②连接 BD、 BE，当 BDEV 为等腰三角形时，求线段 PE的长． 22．（12分）【模型构建】 如图，将含有 45的三角板的直角顶点放在直线 l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两 个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在 数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 6y x  与 x轴， y轴分别交于 A、B两点， ①则点 A坐标为____ ；点 B坐标为____ ； ②C，D是正比例函数 y kx 图象上的两个动点，连接 AD， BC，若 BC CD ， 4BC  ，则 AD的最 小值是____ ； （2）如图 2，一次函数 2 4y x   的图象与 x轴， y轴分别交于 B，A两点．将直线 AB绕点 A逆时针 旋转 45得到直线 l，求直线 l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图 3，直线 2 3y x   的图象与 x轴，y轴分别交于 A、B两点，直线 : 2l y   与 y轴交于点D．点 ( , 2)P n  、Q分别是直线 l和直线 AB上的动点，点C的坐标为 (3,0)，当 PQC△ 是以CQ为斜边的等腰直角三 角形时，直接写出点Q的坐标． 【数学试卷（一）第 6页，共 6页】 23．（14分）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然 后再研究一般情况，证明结论． 如图 1，在正方形纸片 ABCD中，点 P是边CD上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点 B与点 P 重合，折痕分别交边 BC、 AD于点 M、N， AB的对应边为 PE，PE与 AD交于点Q．探究 DPQV 的周长与 边 AB的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若 8AB  ，点 P恰好是边CD的中点，则 BM  ______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点 P的位置：如图 2，若 1, 3 AB a CP a  ，求 DPQV 的周长（用 含 a的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出 DPQV 的周长与边 AB的等量关系．但由于边长的一般化及点 P位置 的不确定，会导致DP、DQ、PQ的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明 若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想 DPQV 的周长与边 AB的等量关系，并证明你的结论． 2025届南宁市初中毕业班模拟训练（一） 数 学 (考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项。 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1．下列各数中，是有理数的是 A． B． C． D． 2．下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．2025年4月22日，自治区统计局和国家统计局广西调查总队联合公布今年一季度广西经济主要数据，一季度全区生产总值6833.92亿元，其中数据“6833亿”用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．铜鼓是我国古代南方少数民族所使用的打击乐器及礼器，而世界上最重的铜鼓王则出土于广西。如图是铜鼓的实物图，它的左视图是 A． B． C． D． 5．壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是 A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是 A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 7．如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是 A． B． C．2 D．4 8．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为多少米．（结果精确到） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业蕴藏着巨大的发展潜力，未来将在国民经济中发挥重要作用。2023年，我国低空经济规模已达0.5万亿元，预计到2025年，该规模将跃升至1.5万亿元。如果设这两年低空经济规模年平均增长率为x，那么根据题意可列方程 A． B． C． D． 11．关于的二次函数（为常数，）的图象可能是 A． B． C． D． 12．如图，在菱形ABCD中，，，点E在边CD上，且，F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的最小值是 A．2 B． C．4 D． 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上．） 13．分解因式： ． 14．要使得式子有意义，则x的取值范围是 ． 15．已知是方程组的解，则 ． 16．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）计算： （2）化简：． 18．（8分）如图，已知，． (1)尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等； (2)根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切． 19．（8分）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是：  94 90 94  （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并补全条形统计图． (2)该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 20．（10分）某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 (1)红色气球、黄色气球每包各是多少元？ (2)该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？ 21．（12分）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点M，已知． ①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值； ②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长． 22．（12分）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A、B两点， ①则点A坐标为____ ；点B坐标为____ ； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是____ ； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于A、B两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 23．（14分）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点P是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点P重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点P恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点P的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          【数学试卷（一）第1页，共3页】 【数学试卷（一）第1页，共3页】 学科网（北京）股份有限公司 2025届南宁市初中毕业班模拟训练（一） 数学参考答案 1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A 13． 14． 15．1 16． 17．解：（1） ； （2） ． 18．（1）解：如图所示，点为所求．     （2）证明：如图，过点作，垂足为． 点到两边的距离相等， 为的平分线． ， ， ， ， 长为半径， 为半径， 直线与相切． 19．（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 所以众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是， ∴中位数是， 即， 补全统计图： （2）解：由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人； （3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 20．（1）解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元， 根据题意得：， 解得： 答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元； （2）解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为， 答：该中学至少可以购买包黄色气球． 21．（1）解：连接， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过P作于H， 是直径， ， ， ∵点M是的重心， ， ∴， ∵，半径为2， ∴， ，， ， ∴； ②当时，如图， ， ， ， 由（1）知，不符合题意； 当时，连接，， 和是的两条直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 当时，连接，设与交于G， ， ， ，， 是直径， ， ， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ∴， 综上所述，线段的长或． 22．解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，由，解得， 点坐标为：点坐标为； 故答案为：，． ②在图中，过作于， ， ， ， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， ， 在中，； 是正比例函数图象上的两个动点， 根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于， 则， ， ， 直线绕点逆时针旋转得到直线， ， 是等腰直角三角形，则， ， ，， 一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点 当时，，当时，由得， ，， ，， ，， ， 设直线对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， 直线对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 23．（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 【数学（一）答案·第1页，共2页】 【数学（一）答案·第1页，共2页】 学科网（北京）股份有限公司 $$【数学（一）答案·第 1页，共 9页】 2025 届南宁市初中毕业班模拟训练（一） 数学参考答案 1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A 13．   2 3 3a a  14． 2x  15．1 16．  8100,1 17．解：（1）   2 0 12025 π 1 8 2            2 2 41 1   2 2 41 1   6 2 2  ； （2） 2 11 2 1 2 1 x x x x           2 12 1 11 1 2x x xx x x             2 1 1 12 1 1xx xx x        1 1x   ． 18．（1）解：如图所示，点M 为所求． （2）证明：如图，过点M 作MH AB ，垂足为 H． 点M 到 EAB 两边的距离相等， AM 为 EAM 的平分线． 60EAB   ， 1 30 2 MAH EAB    ， MH AB ， 1 2 MH AM  ， 1 2 AM 长为 M 半径， MH 为 M 半径， 直线 AB与 M 相切． 19．（1）解：七年级 10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是 99，共出现 3次， 所以众数为 99，即 99a  ， 八年级 B组的人数为10 2 3 4 1    ， 【数学（一）答案·第 2页，共 9页】 八年级 10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第 5个和第 6个学生竞赛成绩的平均数，即 处在 C组：90 95x  ，由题意可知，C组共三个数据，分别是94 90 94, , ， ∴中位数是 94 94 94 2   ， 即 94b  ， 补全统计图： （2）解：由题意可得， 6 7600 700 850 10 10     （人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀( 90x  ) 的学生共有850人； （3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众 数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 20．（1）解：设红色气球每包为 x元，黄色气球每包为 y元， 根据题意得： 3 4 85 2 3 60 x y x y      ， 解得： 15 10 x y    答：红色气球每包为15元，黄色气球每包为10元； （2）解：设购买黄色气球为m包，则购买红色气球为  100 m 包， 根据题意得：  10 15 100 1300m m   ， 解得： 40m  ， 又 m 为正整数， m 的最小值为 40， 答：该中学至少可以购买40包黄色气球． 21．（1）解：连接OE， EO CO ， OEC OCE  ， PC PO ， PCO POC   ， OEC OCE POC     ， C C  ， ∴ POC OEC ∽ ， 【数学（一）答案·第 3页，共 9页】 ∴ OC PC CE OC  ， ∴ 2CO CE CP  ； （2）解：①过 P作PH OD 于 H， CD 是直径， 90DEC  ， DE PC  ， ∵点 M是 PCD△ 的重心， PE CE  ， ∴ 4PD DC  ， ∵ 2PA  ，半径为 2， ∴ 4PO  ， PO PD  ，， PH OD 1 1 2 OH OD   ， ∴ 1cos cos 4 OHBOC POH PO      ； ②当 BD BE 时，如图， BD BE ，  BD BE  ， OM DE  ， 由（1）知DE PC ，不符合题意； 当 ED BE 时，连接 EO， EA， AB 和CD是 O 的两条直径， 90BEA DEC    ， ED BE ，  ED BE  ， OD BD  ， BEO DEO  ， OE OB ， EBO BEO DEO     ， 2EOP DEB DEO     ， 【数学（一）答案·第 4页，共 9页】 90PEA AED BED AED       ， PEA BED   ， EOP DEB   ， P P   ， ∴ PEA POE∽△ △ ， ∴ EP AP OP PE  ， 2PE AP OP   ， 2 2 4 8PE    ， 2 2PE  ， 当DE DB 时，连接 EA，设CD与 BE交于 G， DE DB ，  ED DB  ， CD BE  ， BG EG ， AB 是直径， 90AEB  ， AE BE  ， ∴ EA CO∥ ， PE PA CE AO   ， PA AO ， PE EC  ， AE 是 POC△ 的中位线， 1 1 2 EA CO   ， ,OA OB BG EG  ， OG 是 BAE 的中位线， 1 1 2 2 OG AE   ， 1 32 2 2 CG    ， ∴ 2 2 15BE AB EA   ， 1 15 2 2 EG BE   ， 【数学（一）答案·第 5页，共 9页】 ∴ 22 2 2 3 15 6 2 2 PE EC CG EG                ， 综上所述，线段 PE的长 6 或 2 2 ． 22．解：（1）①直线 6y x  与 x轴， y轴分别交于A， B两点， 当 0x  时， y  6，当 0y  时，由 6 0x   ，解得 6x  ， 点A坐标为  6,0 ：点 B坐标为  0, 6 ； 故答案为：  6,0 ，  0, 6 ． ②在图1中，过A作 AD CD  于D¢，  BC CD ，  90BCO OD A AOB      ，  90OBC BOC BOC AOD       ，  OBC AOD   ， 点A坐标为  6,0 ，点 B坐标为  0, 6 ，  6OB OA  ，   AASBOC OAD ≌ ，  4BC  ，  4OD BC   ， 在Rt OAD 中， 2 2 2 26 4 2 5AD OA OD      ； D 是正比例函数 y kx 图象上的两个动点， 根据垂线段最短，得 AD的最小值是 AD的长， 故 AD的最小值是 2 5 ； （2）在图 2中，过 B作 BC BA 交直线 l于C，过C作CD x 轴于D， 则 90AOB CDB ABC      ，  90OAB OBA OBA DBC      ，  OAB DBC   ， 直线 AB绕点A逆时针旋转 45得到直线 l，  45BAC  ，  ABCV 是等腰直角三角形，则 AB BC ，   Rt Rt AASAOB BDC ≌ ， 【数学（一）答案·第 6页，共 9页】 OA BD ，OB CD ， 一次函数 2 4y x   的图象与 x轴， y轴分别交于 B，A两点 当 0x  时， 4y  ，当 0y  时，由 2 4 0x   得 2x  ，   0,4A ，  2,0B ，  4OA ， 2OB  ，  2CD  ， 6OD OB BD OB OA     ，   6,2C ， 设直线 l对应的函数表达式为 y kx b  ， 将  0,4A 、  6,2C 代入，得 6 2 4 k b b     ，解得 1 3 4 k b       ， 直线 l对应的函数表达式为 1 4 3 y x   ； （3）根据题意，当 3n  时，如图，过点 P作 PS x 轴于S，过点Q作QT SP ，交 SP延长线于T ， 90CSP PTQ    ， 2 3 90   ， 90CPQ   ， 21 90   ， 1 3   ， 又 , 90PC PQ CAP PTQ     ， PCS QPT ≌ ． 2QT PS   ， 3PT SC n   ， 5ST n   ， 点Q的坐标为  2 , 5n n  ， 将点Q的坐标代入 2 3y x   得，  5 2 2 3n n     ， 解得： 4 3 n  ，  10 112 , 5 3 3 n n     点Q的坐标为 10 11, 3 3      ； 当 3n  时，过点 P作PS x 轴于S，过点Q作QT SP ，交 SP延长线于T ， 90CSP PTQ    ， 【数学（一）答案·第 7页，共 9页】 1 3 90   ， 90CPQ   ， 21 90   ， 2 3  ， 又 , 90PC PQ CAP PTQ     ，  AASPCS QPT ≌ ． 2QT PS   ， 3PT SC n   ， 1ST n   ， 点Q的坐标为  2,1n n  ， 将点Q的坐标代入 2 3y x   得，  1 2 2 3n n     ， 解得： 6n  ， 点Q的坐标为  4, 5 ． 综上，点Q的坐标为 10 11, 3 3      或  4, 5 ． 23．（1）解：∵正方形纸片 ABCD， 8AB  ，点 P恰好是边CD的中点， ∴ 8AB BC CD DA    ， 1 4 2 PD PC CD   ， 90A B C D     ， 设 BM x ，则 8CM BC BM x    ， ∴  22 8 16x x   ， 解得 5x  ， ∴ 5BM  ； （2）解：∵正方形纸片 ABCD， AB a= ， 1 3 CP a ， ∴ AB BC CD DA a    ， 2 3 PD CD PC a   ， 90A B C D     ， 设 BM x ，则CM BC BM a x    ， ∴  22 21 9 x a x a   ， 解得 5 9 x a ， ∴ 5 4 9 9 CM a a a   ， 根据折叠的性质，得 90MPQ B   ， ∵ 90D C MPQ    ， 【数学（一）答案·第 8页，共 9页】 ∴ 90MPC DPQ PQD    ， ∴ MPC PQD ∽ ， ∴ MC PC PD QD  ， ∴ 4 1 9 3 2 3 a a QDa  ， 解得 1 2 DQ a ， ∴ 2 21 2 5 2 3 6 PQ a a a             ， 故 DPQV 的周长为： 5 1 2 2 6 2 3 PQ DQ DP a a a a      ， 故 DPQV 的周长为 2a； （3）解：∵正方形纸片 ABCD， AB a= ， 1CP a n  ， ∴ AB BC CD DA a    ， 1nPD CD PC a n     ， 90A B C D     ， 设 BM x ，则CM BC BM a x    ， ∴  22 22 1x a x a n    ， 解得 2 2 1 2 nx a n   ， ∴ 2 2 2 2 1 1 2 2 n nCM a a a n n      ， 根据折叠的性质，得 90MPQ B   ， ∵ 90D C MPQ    ， ∴ 90MPC DPQ PQD    ， ∴ MPC PQD ∽ ， ∴ MC PC PD QD  ， ∴ 2 2 1 1 2 1 n a a n n n QDa n    ， 解得 2 1 DQ a n   ， ∴   2 2 22 1 1 1 1 n nPQ a a a n n n n               ， 【数学（一）答案·第 9页，共 9页】 故 DPQV 的周长为：   2 1 2 1 2 2 1 1 n nPQ DQ DP a a a a AB n n n n            ， 故 DPQV 的周长为 2AB．