精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试题

东北师范大学附属实验学校初中部 2024—2025下学期八年级数学学科期中考试 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 水是生命之源，水以多种形态存在，固态水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.00000000014m．将数据0.00000000014用科学记数法表示正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各式从左往右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示不是函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数，给出下列说法正确的是（ ） ①无论取何值，点一定在该函数图象上； ②当时，该函数图象不经过第四象限； ③若，该函数图象可以看成正比例函数的图象向下平移2个单位得到； ④若点，在该函数图象上，且，则． A ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为零，则______． 10. 函数的自变量的取值范围是______． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 如果点、点在直线上，那么______（填“”或“”）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是______． 14. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2，其中长与运动时间（单位：）的关系如图2，则的长为________． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 16 计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）若点为轴上一动点，使得值最小，在轴上画出点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______． 21. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． （1）点的坐标______； （2）求一次函数的解析式； （3）直接写出当时，自变量的取值范围______． 22. 某校八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即．当时，函数化简为______，当时，函数化简为______； （2）当，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … －2 －1 0 1 2 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______，______； ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数的图象； （3）请写出函数的一条性质：______． 23. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为______； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． （1）点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； （2）若点的美好点在直线上，求的值； （3）正方形各顶点的坐标分别为，，，，点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点， ①点______直线（填“在”或“不在”）； ②连结，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北师范大学附属实验学校初中部 2024—2025下学期八年级数学学科期中考试 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：C． 2. 水是生命之源，水以多种形态存在，固态的水即我们熟知的冰，气态的水即我们所说的水蒸气，水分子的半径约是0.00000000014m．将数据0.00000000014用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将数据0.00000000014用科学记数法表示正确的是． 故选：B． 3. 下列各式从左往右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、正确，该选项符合题意； 故选；D． 4. 下列图象中，表示不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义∶设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 选项A、B、D中的图象，是的函数，故A、B、D不符合题意；选项C中的图象，不是的函数，故C符合题意， 故选：C． 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分子和分母不含公因式，这样的分式叫做最简分式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选B． 6. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的横坐标是，纵坐标是，即点的坐标为． 故选：B． 7. 将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据上加下减的原则平移求解即可． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故选：D． 8. 关于一次函数，给出下列说法正确的是（ ） ①无论取何值，点一定在该函数图象上； ②当时，该函数图象不经过第四象限； ③若，该函数图象可以看成正比例函数的图象向下平移2个单位得到； ④若点，在该函数图象上，且，则． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：令，则， 无论取何值，点一定该函数图象上， 故①正确； 若该函数不经过第四象限，则， 解得， 故②正确； 当时，函数为， 正比例函数的图象向下平移2个单位得， 故③错误； ，， 随的增大而增大， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①②④， 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0． 根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为零，则且， ， ， 故答案为：． 10. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 如果点、点在直线上，那么______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键．根据随增大而减小判断即可． 【详解】解：∵直线中， 故随的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解；∵直线与直线相交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 14. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2，其中长与运动时间（单位：）的关系如图2，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图象可知：时，点与点重合， ， 点从点运动到点所需的时间为； 点从点运动到点的时间为， ； 在中，由勾股定理可得； 故答案为：． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出，的长是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 17 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键． （1）根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是增根， ∴原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【解析】 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）若点为轴上一动点，使得值最小，在轴上画出点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画图即可； （2）连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，点即为所求； 由图可知：． 21. 如图，一次函数图象与正比例函数的图象交于点，与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． （1）点的坐标______； （2）求一次函数的解析式； （3）直接写出当时，自变量的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式及一次函数与一元一次不等式间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将代入求出，即可得到答案； （2）根据题意得到,用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， , 将代入得， 解得;， 一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解:对于，令即 ；由函数图象得，当时，自变量的取值范围是， 故答案为：． 22. 某校八年级数学兴趣小组同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即．当时，函数化简为______，当时，函数化简为______； （2）当，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … －2 －1 0 1 2 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______，______； ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数的图象； （3）请写出函数的一条性质：______． 【答案】（1）， （2）①4，3②见解析 （3）函数的图象有最低点，最低点是（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据绝对值的意义进行化简； （2）①根据一次函数图象上点的特征代入求出m，n的值即可；②根据描点法作图； （3）根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：， 当时，函数化简为， 当时，函数为：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①当，时，， 当，时，， 解得：， （舍）， 故答案为：4，3； ②把①中的各个点在平面直角坐标系中描出并连接各点，如图1所示： ； 【小问3详解】 解：由②中的图象可得：函数的图象有最低点，最低点是． 23. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为______； （2）若可以分式分解为（其中是常数），则______，______； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】（1） （2）1，3 （3），证明过程见详解 【解析】 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； 【小问3详解】 证明： ， 当时，，，， ． 24. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． （1）点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； （2）若点的美好点在直线上，求的值； （3）正方形各顶点的坐标分别为，，，，点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点， ①点______直线（填“在”或“不在”）； ②连结，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）， （2） （3）①在；②或 【解析】 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“美好点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“美好点”的定义进行求解即可； （2）若点的美好点在直线上，可得方程，解之可得； （3）①先根据点Q为点P的美好点．求得点Q的坐标，再代入，求解即可； ②先根据题意画出图形，然后根据题意分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解： 根据题意可得：点的美好点坐标是 ，， 即； 若点P的美好点为， 则， 解得，， 点P的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点的美好点为，即， 若点的美好点在直线上， 得， 解得：， 所以的值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ①点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的美好点， ， 令，得， 也在直线上， 故答案为：在； ②解： 如图，     将代入中， 得，则， 将代入中，得，则， 当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F下方（含点F），点Q在线段上时，符合题意， ， 解得， 当点P在线段上，点Q在点E上方（含点E）时，符合题意， ， 解得， 故的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$