二次函数压轴之线段问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之线段问题归纳练 2025年中考数学三轮复习备考 1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． (1)分别求b、t的值； (2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．    (1)求直线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，连接，点F是线段（不与点A，点P重合）上的动点，连接，作，交x轴于点G，设点G的横坐标为m，求m的取值范围． 3．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 4．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 5．如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． (1)求搬物线C1的解析式； (2)若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点． 6．如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； (3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴正半轴上，点C的坐标为，抛物线经过O，A两点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度． (3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请写出点P的坐标． 9．抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左边），与y轴交于点C． (1)直接写出点A，B，C坐标； (2)如图（1），连接，过抛物线第四象限上一点D作交延长线于E，若直线平分线段，求点D坐标； (3)如图（2），将抛物线向左平移使其顶点在y轴上，得到新抛物线L；过原点的直线交新抛物线L于点M，N，点P是y轴上一点，连接，当时，，求P点坐标． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 11．如图，抛物线经过、、三点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)若为抛物线上一动点，，求点坐标． (3)若为直线上方抛物线上一动点，于点，求线段长度的最大值． 12．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积； (3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，直线与轴、轴分别交于点与点，抛物线经过点，在线段上有一动点，点不与点，重合，过点作轴的垂线分别交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当点是的中点时，求的值； (3)过点作，垂足为点，当点坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？ 14．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形． 15．如图，直线与x轴、y轴交于点B、C，抛物线的对称轴为直线，抛物线经过B、C，与x轴交于另一个点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点E从A点出发，在线段上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动，设的面积为S，点E运动的时间为t， ①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标； ②点E、F在运动过程中，直接写出为直角三角形时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数压轴之线段问题归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确画出图形，利用分类讨论解题是关键． （1）根据二次函数的解析式可得，代入可得，再求得的坐标，代入抛物线即可； （2）①画出图形，分类讨论即可； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，分类讨论，分或，逐一分析即可． 【详解】（1）解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得， ， 把代入，可得， 解得； （2）解：①由（1）可得抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ， 将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A， 设平移后的直线解析式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线解析式为， 由题意可得点 当点在图象G的抛物线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得， 根据图象可得点在点和顶点之间，此时线段与图象G有两个交点， ， ， 故； 当点在图象G的直线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得（舍去）， 根据图象可得点在之间，此时线段与图象G有两个交点， 故； 综上，或； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，才符合题意， 如图，当点在点之间，点在之间时， ， 把代入，可得， 解得， ， ， ， 解得， ； 如图，当点在点之间，点在之间时， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求解即可． （2）由（1）知，得，，当时，则得到轴，设，则，当时，则，解得，代入即可得解． （3）延长交轴于点，证，得到，设，，则，得当时，的最大值为，即有最大值，即可得解． 【详解】（1）在中，令，得，令，得，， ∴，，     设直线的解析式为.把，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为． （2）如图，由（1）知，    ∴， ∴，   ∵轴， ∴， 当时，则， ∴，此时轴， 设，则， ∴，， 当时，则， 解得（舍去），，     当时，， ∴点的坐标为． （3）如图，延长交轴于点.    由（2）知点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，，   ∵，， ∴， ∴， ∴，     设，，则； ∴； ∴， ∴当时，的最大值为，即有最大值，     ∵， ∴的最大值为，     又点在线段上， ∴点横坐标的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，灵活运用所学知识解决问题． 3．(1) (2)直线l总经过定点，理由见解析 (3)最大值为 【分析】（1）当时，，求得点A的坐标，将函数解析式化为顶点式，得到点C的坐标； （2）由直线与抛物线相交得到，根据根与系数的关系得到，由等式变形后，将根与系数的关系式代入求得，由此得到答案； （3）作于M，由是等腰直角三角形，得，求出，将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H，证得，推出，由，得，由两点距离公式求出得到当A，N，P三点共线时，有最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴； （2）解：直线l总经过定点，理由如下： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 得， ∴ 当时， ∴直线l总经过定点； （3）解：作于M， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当A，N，P三点共线时，有最大值． 【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与特殊三角形问题，勾股定理，一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．(1) (2)①；②最大值为． 【分析】本题主要考查待定系数法求函数关系式，交点坐标，三角形面积等． （1）先求出直线的解析式，求出点B的坐标，再求得点A的坐标，再将A，B坐标代入，求出a，b即可； （2）求出直线的解析式，的解析式，联立方程组，求出点P的坐标，可得，再证明，得，从而可得结论； （3）设与交于点R，G，与交于点F，K，分别求出直线的解析式，再分别用含有a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，利用二次函数的性质，可求出和公共部分面积的最大值． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入得， ， 解得，， 所以，二次函数解析式为：； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由平移得，， ∴设直线的解析式为， 把代入得，， ∴设直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ， ∴， ∴， ∵是由平移得到的， ∴， ∴； ②设点P的坐标为其中，， 由平移知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， ∴ ∴； 设与交于G，R，与交于K，F， 联立， 解得，，， ∴，， 在中， 当时，， ∴，， ∵点P的横坐标为， ∴，， ∴， 设和公共部分的面积为S， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； ∴和公共部分的面积最大值为． 5．(1) (2)不存在，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据二次函数的交点式即可得到结论； （2）过点A作y轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，根据相似三角形的性质得到，求得，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点则，整理得到，由于，得到原方程无实数根，得到不存在点P，使得K刚好为的中点； （3）过M作轴于K，过N作轴于T，如图：根据将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，得到抛物线的解析式为，设，根据相似三角形的性质得到，即，整理化简得到，由点M、N的坐标得，直线解析式为，求得，当时，，得到直线经过． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 即； （2）解：不存在， 理由：过点A作y轴的平行线交的延长线于点M，过点P作y轴的平行线交BC于点N， 则， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得直线的表达式为：， 则点，即，则， 设点，则点， 则， 整理得，， ∵， ∴原方程无实数根， ∴不存在点P，使得K刚好为的中点； （3）证明：过M作轴于K，过N作轴于T ∵将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵M，N分别在第四象限和第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理化简得：， 由点M、N的坐标得得直线解析式为， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∴直线经过一定点． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 6．(1) (2)见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证； （3）根据直线恒过点，得到当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，过点作轴，推出点，以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，求出点坐标，圆周角定理，推出点在以为圆心，为半径的圆上，根据到线段的距离大于半径，得到与线段相离，得到线段上不存在点使． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； （2）由（1）知：， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 又∵当时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； （3）不存在，理由如下： 由（2）知道，直线恒过点， ∴当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，如图， 此时， 过点作轴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，则：在的中垂线上，且， ∴点的横坐标为， 设，则：， ∴或（舍去）； ∴， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵到轴的距离为2，， ∴圆与直线相离， ∴线段上不存在点使． 7．(1) (2) (3)，都是定值，， 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，先结合函数图象判断出，，，，则，，，再利用二次函数与一元二次方程的关系可得，，联立两条直线的解析式可得，代入化简计算即可得； （3）如图（见解析），过点作轴的垂线，交于点，连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，根据平行线的判定与性质可得，根据三角形的外角性质即可得；然后根据等腰三角形的判定可得，，设，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将代入抛物线得：，即， 将代入一次函数得：， 一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方， 由函数图象可知，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点， ∴点，，的横坐标均大于0， ∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，， ∴，，，，，， 联立，得， ∴，， ∴， 联立，得， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 由轴对称的性质得：垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上，，都是定值，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键． 8．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）先求出点D的坐标，延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，证明是等腰直角三角形，得到，由折叠的性质得：，推出，求出，，利用勾股定理即可求解； （3）设与抛物线对称轴交于点H，连接，求出直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为，求出点，设，则，根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，，抛物线经过O，A两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：四边形是菱形，， 点的纵坐标为4， 令抛物线， 解得：或， 根据题意：， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 延长交y轴与点G，延长交x轴与点F， 轴， 轴， 则， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得：， ， 轴， ，即轴， ，， ，， ； （3）解：设与抛物线对称轴交于点H，连接， 由（2）知， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：或， 或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解题的关键． 9．(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3) (2) (3)P点坐标为． 【分析】（1）令和，分别求得或，，即可求解； （2）过E作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求得直线解析式，联立解方程组即可求解； （3）利用平移的性质求得平移后的解析式，设，，联立，求得，，在中，由勾股定理得到，在和中，利用勾股定理列式得到，再结合已知求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，； （2）解：如图（1），过E作轴于F，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵直线平分线段， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点代入得， 解得， 故直线解析式为； 联立得 解得，（舍）， 故D； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴新抛物线L顶点为，其解析式为， 如图（2），设，，直线解析式为， 联立，消元得， ∴，， 分别过M，N分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，轴于T，交y轴于K， 设，则，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 10．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 11．(1) (2)或 或或． (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数，一次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，求二次函数的最大值，是解题的关键． （1）把，，分别代入，解方程组求出a、b、c的值，可得函数解析式； （2）设点D的坐标为，根据题意得到，解得或，即可求出答案； （3）过点D作轴交于M点，垂足为N，求出直线的解析是为，设点M的坐标为，则，得到，证明，得到，则，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵抛物线经过，，， ∴， 解得，． ∴抛物线的函数表达式为． （2）设点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或 ∴点坐标为或或或． （3）过点D作轴交于M点，垂足为N， 由题意可得， 由勾股定理得，， 设直线的解析是为， 则， 解得， ∴直线的解析是为， 设点M的坐标为，则， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 当时，取最大值，最大值是． 12．(1) (2)四边形的最大面积为 (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意将A，C两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点，则点，可表示出的长，则四边形的面积，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的对角线互相平分即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为，把点、的坐标代入得： ，解得 ∴直线的表达式为： 设点，则点，则， 则四边形的面积， 即四边形的最大面积为； （3）解：存在， 理由： 由（2）知，四边形的最大面积时，，即点， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 设点的横坐标为， 当为对角线时，则， 解得，即点 当或为对角线时， 同理可得：或 解得或，即点或， 综上，点或或 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用中点坐标进行分类讨论求出存在的点的坐标． 13．(1)抛物线的函数表达式为； (2)； (3)，有最大值． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由求出，，然后代入求出的值即可； （）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可； （）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标． 【详解】（1）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，当时，，， ∴，， ∵点是的中点时， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点不与点，重合， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴． 14．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)以、为邻边的平行四边形不是菱形 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知， 从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值，最后再分别计算出的长，由此即可判断以为邻边的平行四边形是否为菱形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：． （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积， ， 面积的最大值为3，此时， ∴，， ∴， ∴以、为邻边的平行四边形不是菱形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键． 15．(1) (2)①，；②或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由题意得，，过点作轴于点，由，求得，而，即可求解函数关系式，再化为二次函数求最值即可； ②若，则，若，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴交于点B、C， ∴当， 时，， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：①由题意得，， 过点作轴于点，如图： ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，，此时； ②∵，， ∴， 若，如图： 则， 解得：； 若，如图： 则， 解得：， 综上所述：为直角三角形时，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质等知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$