2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程

2025年中考数学解答题系列： 实际问题与一元二次方程 1．某公司通过甲、乙两个直播间促销商品，成本为每件元，售价为每件元．调查发现：若每件商品提成元，甲主播可以销售件，并且在此基础上，每件商品每多提成元，可以多售出件，乙主播每件商品可固定提成元，销售量比甲主播少卖件．设甲主播每件商品提成元． (1)甲主播可以销售________件，乙主播可以销售________件（用含的代数式表示）； (2)当为多少时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； (3)当甲主播的提成比乙主播的提成多元时，直接写出的值为________． 2．【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 3．春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y(卷)与每卷售价x(元)满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式： ； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 4．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）． (1)求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？ 5．某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加．第三季度的产量比第二季度减少，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为． (1)请用含的代数式填写下表（填化简之后的结果）： 季度 一 二 三 产量/辆 (2)求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率． 6．【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______． 【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？ 7．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 8．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为5000平方米，求边减少的长度． 9．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 10．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 11．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 12．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 13．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 14．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 15．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程》参考答案 1．(1)，； (2)，元； (3) 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列二次函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意得到关于的解析式，再根据二次函数的性质确定最值，即可得到答案； （3）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，甲主播可以销售件， 乙主播可以销售件， 故答案为：，； （2）解：由题意得，甲直播间的利润为元， 乙直播间的利润为元， ， ， 当时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大，最大利润为元； （3）解：根据题意得：， 解得或（舍去）， 故答案为：． 2．； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 3．(1)() (2)将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 (3)当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式． （1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每卷利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w元，根据总利润=每卷利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为()， 故答案为：()； （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元； （3）解：设利润为w元， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， 当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 4．(1) (2)这种台灯的售价应定为50元 (3)商场不能实现平均每月15000元的销售利润 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程在销售问题中的应用，解题关键是根据售价与销售量的关系建立函数及利润方程求解． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出并化简即可解答． （2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价30，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价． （3）依“利润（售价进价）    销售量润”列方程，整理方程为，计算判别式，判定方程无解，得出不能实现的结论． 【详解】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个） ∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得 ． （2）解：依题意，得： ， 整理，得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这种台灯的售价应定为50元 （3）解：依题意，得： ， 整理，得：． ∵， ∴方程无解． ∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润． 5．(1)填表见解析 (2)该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加．第三季度的产量比第二季度减少，列出代数式即可； （2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第二季度的产量为：； 第三季度的产量为：； 填表如下： 季度 一 二 三 产量/辆 （2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为． 6．（1）35（2）（３）195 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图例得出规律即可解答； （2）根据图例得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解． 【详解】解：（1）图⑤中共有小正方形的个数为， 故答案为：35； （2）图中共有小正方形的个数为， 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， 所以，该物体在第（）次测量时移动了195米． 7．(1)衬衫的单价应下降25元 (2)单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可； （2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得： ， 解得：， 经检验都符合题意． ∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利， ∴x应取25元． 答：衬衫的单价应下降25元． （2）设每天利润为w元， 由题意，得： ， ， 当时，盈利最多为1250元， 所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 8．米． 【分析】考查了一元二次方程的应用，设边减少的长度为为米，根据题意列出方程求解即可，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设边减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 答：边减少的长度为米． 9．(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 11．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 13．(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 14．(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 15．(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$