2025年中考数学复习图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练

2025年中考数学复习 图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练 1．大秦文明园的雕塑“秦简”，主体宛如凤鸟展翅，喻秦之诞生；造型似旋转上升，喻秦之奋斗．莉莉和数学社团的成员想要用所学过的知识测量该雕塑的高度．小组成员在E处竖立一根长为3.5米的标杆，莉莉站在雕塑与标杆之间的点C处，看雕塑顶端A的仰角为，原地转身再看标杆顶端F的仰角为，发现与恰好互余，此时测得， ．已知莉莉的眼睛到地面的距离．图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在水平地面上的一条直线上，点D在上，点H、G分别在上，，，求该雕塑的高度． 2．如图，菱形的边长为5，，，垂足分别为点，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，与相交于点，将图1中的绕点旋转，当点落在线段上时，如图2，点在线段上，连接，与相交于点，，求的值． 3．综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 4．问题背景：如图①，在矩形中，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图①中的绕点B按顺时针方向旋转，如图②所示，得到结论：①＝______；②直线与所夹锐角的度数为______； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上，如图③所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 5．已知，为等腰直角三角形，，点为中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交延长线于点，交延长线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，连接，， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 6．如图，点是正方形对角线的交点，是等腰直角三角形，，，当的顶点在线段（不与，重合）上绕点旋转的过程中，直角边交边于点，直角边交边于点． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当（为正整数，）时，在旋转过程中， ①请写出线段，之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长（用含，的代数式表示）． 7．【初步感知】 （1）如图1，在中，点为边上一点，点为边上一点，过点作交射线于，且，求与之间的数量关系； 【深入探究】 （2）如图2，为等边三角形，点为边上一点，射线绕点逆时针旋转得到射线，射线与延长线交于，点为边上一点，线段与交于点，若，求，和之间的数量关系（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当，为中点时，将线段绕点旋转得到线段；线段与射线交于点；若到线段的距离为的长度，请直接写出的值． 8．在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 9．如图，在中，，，，在平面内将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，是的中点． (1)如图，若，求的长； (2)如图，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)如图，点关于直线的对称点为，在线段的旋转过程中，当的长取得最小值时，请直接写出的面积． 10．如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到；所以．我们还可以得到________，________； (2)进一步观察，我们还会发现四边形是平行四边形，请证明这一结论； (3)已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离． 11．如图，在中，，点D在边上（不与点C重合），将绕点D旋转，得到，其中点C的对应点为点E，点A的对应点为点F． (1)如图1，点D与点B重合，将绕点D逆时针方向旋转，当点E落在边上时，与的交点为G，求证：； (2)如图2，点D是边上任一点（不与点A、B重合），将绕点D逆时针方向旋转，当点E落在边上时，连接，求证：； (3)若，，D为中点． ①将绕点D逆时针方向旋转，点E落在边上，连接并延长与的延长线交于点P，求的长； ②将绕点D顺时针方向旋转，当经过点C时，连接并延长与的延长线交于点Q，请直接写出的长． 12．如图，在中，，，点，分别是，上的点，且满足，连接，若．将绕点逆时针旋转（旋转过程中不与直线重合），连接，，直线，交于点，连接． (1)如图，若为延长线与延长线交点时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)试探究：在旋转过程中，与的位置关系是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 若，请直接写出的长（用表示）； (3)如图，时，直线与直线相交于点，若，求证：． 13．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在轴上，．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，，直线与交于点，旋转角记为． (1)如图2，点恰好落在线段上． ①求点的坐标； ②证明：点为的中点； (2)旋转过程中，当为等边三角形时，直接写出的长． 14．如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 15．如图，已知四边形，，且，过点作交于，点在上且，点在延长线上且，连接． (1)如图1，若，，，，求的长度． (2)如图2，取中点，连接，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着点旋转，所在直线与直线交于，是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学复习 图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练》参考答案 1．该雕塑的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，矩形的判定与性质；根据题意证出，利用相似三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：由题意知，四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵与互余，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：该雕塑的高度为． 2．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由垂直得到，由四边形是菱形得到，，即可证明； （2）连接，相交于点O，求出，由（1）可知，，得到则，证明，则，即可得到答案； （3）作交于点V，作于点W，作于点Q，则，得到，，由，，由得到，则,得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ （2）如图，连接，相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，, ∵ ∴ ∴在中， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （3）如图，作交于点V，作于点W，作于点Q， ∴， ∴，， 由（2）可知， ， ∴， ∴ 由得到， ， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到，在中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 4．(1)  ， (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质以及特殊角的三角函数值，证明，再结合相似三角形的性质求解即可； ②延长与交于点M，记交于点N，利用相似三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）过点A作于H，证明，结合相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变， 找出高最大，以及最小的情况求解即可． 【详解】（1）解：①在矩形中，， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故答案为：； ②延长与交于点M，记交于点N， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：； （2）过点A作于H ∵D，E，F共线 ∴， 又，， ∴，   ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴； （3）在绕点B按顺时针方向旋转一周的过程中，的底边长度不变， 当A、E、F三点共线，面积最小，即， 记边上的高为h，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ， 即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．(1)见解析 (2)①；②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）①如图，过点作，交于点，根据题意证明出，得到，即可得到； ②由得到，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． ∵， ∴． ∴； （2）①，理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴． ∴． ∴． 由①知， ∴． ∵， ∴． ∴． 7．（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）证明，从而得出结论； （2）作交的延长线于，证明，可得出，可证明，从而，进一步得出结果； （3）作交的延长线于点G，作于H，作于R，连接， 不妨设，，则，，，根据，可以求得，然后解三角形，进而求得，进一步得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，， ， ， ； （2）如图1， 作交的延长线于， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2， 作交的延长线于点G，作于H，作于R，连接， 不妨设，，则， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 由得 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．(1) (2)正确，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定及性质、外角的性质等知识点，解答本题的关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等． （1）如图，过点D作于点G，于点H，证明，得四边形的面积和正方形的面积相等，进而可以解决问题． （2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出． （3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出，则对应边成比例，即，由点F放在的中点， 可得，变形即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，于点H， ． 在中，， 四边形是矩形． 点D放在的中点处，，， 是的垂直平分线． 四边形是正方形． ． ， ， ． ， ． ，， ． 点D放在的中点处，， 点G，H是的中点． 是的中位线． ． ，，， ． 正方形的面积为∶ 四边形的面积为． （2）正确，理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似）． （3），理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴ 点F放在的中点 ， ∴， 即： 9．(1) (2) (3)的面积为 【分析】（1）根据角的和差关系得出，利用含角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的性质，结合勾股定理即可得答案； （2）作，交的延长线于，作于，由可得，利用含角的直角三角形的性质得出，，由可证明，根据相似三角形的性质，结合点为的中点得出、的长进而求出的长，利用勾股定理求出的长，即可得出； （3）取的中点，连接，，根据中位线的性质得出，根据轴对称的性质得出，利用三角函数求出，得出当点、、共线时，最小，利用特殊角的三角函数值得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段的位置， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）作，交的延长线于，作于， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得， ； ∴． （3）取的中点，连接，，， 则是的中位线， ， ∵点关于直线的对称点为， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ， 当点、、共线时，最小， 如图，连接，， ∵是的中位线， ∴， ， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、三角形中位线的性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 10．(1) (2)见解析； (3)与之间的距离为 【分析】（1）由推动矩形框时，矩形的各边的长度没有改变，可求解； （2）证明，即可证明四边形是平行四边形，可得结论； （3）由勾股定理可求的长，再证明，得到，代入数值求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． ∴由旋转的性质可知矩形的各边的长度没有改变， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点E作于点G， ∵，点H是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与之间的距离为． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 11．(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等角对等边得出结论即可； （2）根据解析（1）证明，先得出，求出．根据等腰三角形的判定得出． 证明，根据平行线的判定得出答案； （3）①根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理求出．证明四边形为矩形，得出，证明，得出，求出即可； ②连接，证明四边形为矩形，根据等积法求值．根据勾股定理求出，求出，证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：， ，， ， 旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：同理（1）得，． ，旋转得到， ， ． ，即．     ．     ，，． ， ∴； （3）解：①，，D为中点， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， 如图，连接，． 旋转得到， ，． ， ，． ． ， ， ， ． ， ， ， 根据勾股定理得： ．     旋转得到， ， ， 又， ， ， ． ， ，即． 由（2）得， ， 四边形为矩形， ．     ， ∵， ， ， ， ； ②解：连接，如图所示： 绕点D顺时针旋转得到， ，，， ，， ． 又， ． ． ， ， ， 即， 又，， ， 即． ， ． ，，， ， 即． 四边形为矩形，同理①： ， ， ． ， ， ， ∵， ． ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线． 12．(1)，理由见解析； (2)在旋转过程中，始终成立，理由见解析；的长为或， (3)证明见解析； 【分析】（）由，得，根据角度和差得出，证明，根据相似三角形的性质可得，则，，，四点共圆，最后圆周角定理即可； （）同（）即可求解； 分当时，如解图，过点作，垂足为点，当时，如解图，过点作，交延长线于点即可求解； （）过点作交于点，交于点，过点作于点，证明四边形为菱形，则，再证明，，根据相似三角形的性质得， 再通过解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； （2）在旋转过程中，始终成立， 证明：如解图，若为延长线与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 如解图，若为线段与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 综上可知：在旋转过程中，始终成立； 当时，如解图，过点作，垂足为点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， 在中，， ∵，， ∴，， 由（）得，，，四点共圆， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴； 当时，如解图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 由（）可知，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， ∴在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）证明：∵， ∴，， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，四点共圆， ∴平分 如解图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 则四边形为平行四边形， ∵平分， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形和菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，，结合已知可求，即可求出的坐标； ②连接，可证明，得出，则A、、、M四点共圆，根据圆内接四边形的性质求出，然后根据三线合一的性质即可得证； （2）分两种情况讨论：①当在的右侧时，连接，过A作于H，由（1）同理可证点为的中点，可证也是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理等可求，，，然后根据线段的和差关系求解即可；②当在的左侧时，类似①求解即可． 【详解】（1）解∶①∵，， ∴，， ∴， ∵旋转 ∴，，，， ∵后点恰好落在线段上， ∴， ∴； ②连接， 由①知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴A、、、M四点共圆， ∴， 又， ∴点为的中点； （2）解：①当在的右侧时，连接，过A作于H， 由（1）同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ②当在的左侧时，连接，过A作于H， 同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点，也是等边三角形， 同理可求，，，，， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明A、、、M四点共圆是解题的关键． 14．(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）过点作于点H，先根据正方形的性质和解直角三角形求得，再由等腰直角三角形性质求得，从而由，即可求解； （2）①求扇形的面积即可；②设交于点P， 过点D作于点E．先证明是等腰直角三角形，得到，再解得，解得，则平移的距离为，即可由求解； （3）连接，过点A作交于点F，证明，得．则．然后在中， 由勾股定理得．在中，由勾股定理得． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点H． 在正方形中， ，， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴． （2）解：①如图2， 边旋转结束扫过的面积为扇形的面积． ∵， ∴旋转角． 在中， ， ， ∴， ∴扇形的面积． ②如图3，设交于点P， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， 过点D作于点E． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴平移的距离为， ∴ ． （3）解：DM2+DN2=(k+1)a2． 如图4，连接，过点A作交于点F， 则为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中， ． 在中， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作于，证明四边形是矩形，易得，利用面积法求得的值，再利用三角形函数解得，，的值，进而可得的长度，在中，由三角函数解得的值，即可获得答案； （2）延长至，使，连接，证明， ，结合全等三角形的性质证明是等腰直角三角形，进而证明结论； （3）由旋转得点在以为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点在的延长线上，首先解得的值，将绕点顺时针旋转得到，在上截取，过点作交于，连接，，过点作于，当且仅当点在同一条直线上时，取得最小值，然后求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于，如图1， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； （3）解：由旋转得点在以为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点在的延长线上， ∵，，， ∴， 如图3，将绕点顺时针旋转得到，在上截取，过点作交于， 连接，，过点作于， 由旋转得，，，，， 则是等边三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当且仅当点在同一条直线上时，取得最小值， 在中，， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$