第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步阶段性检测A卷-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2025人教A高中数学必修第二册 阶段检测卷（A卷） （第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步） 试卷满分：150分 考试时间：100分钟 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 第Ⅰ卷（选择题　共50分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填在上面表格上. 1.设复数满足（为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 2.如图所示，点A、直线,m,n与平面的位置关系用符号语言可表述为 （ ） A． B． C． D． 3.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ） A. B. C. D. 4.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则 （ ） A．1 B． C．2 D． 5. (2024新课标I卷)已知向量，若，则 （ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 6.（2025山东济南高三模拟）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为 （ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 7.如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 8.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填在上面表格上. 9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，真命题是 （ ） A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 10．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是 （ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为9π C. 点C到平面AEF的距离为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12．已知，则的虚部是_______． 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 . 14.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，则其体积为 ， ( B A C A 1 B 1 C 1 )若一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为__________. （第1空2分，第2空3分） 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 16．（15分）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，E为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 18.（17分）如图，在平行四边形ABCD中，，，，E为CD中点，，． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 19.（17分） 如图，在三棱锥中，底面，，、分别是和的中点，为上一点，且，． （1）求证：平面； （2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025人教A高中数学必修第二册 阶段检测卷（A卷） （第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步） 试卷满分：150分 考试时间：100分钟 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 第Ⅰ卷（选择题　共50分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填在上面表格上. 1.设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【解析】由得.故选A. 2.如图所示，点A、直线,m,n与平面的位置关系用符号语言可表述为 （ ） A． B． C． D． 【解析】由图可知平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点A，结合选项可得D正确，故选D. 3.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【解析】选D.由正方体的性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于选项D，如下图，分别取正方体所在棱的中点E，F，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D. 4.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则 （ ） A．1 B． C．2 D． 【解析】选A.由三点共线，得， 故解得． 5. (2024新课标I卷)已知向量，若，则 （ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【解析】选D.根据向量垂直的坐标运算可求的值. 因为，所以，所以即，故，故选D. 6.（2025山东济南高三模拟）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为 （ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【解析】如图，设圆台的侧面展开图中的小圆半径和大圆半径分别为， 则圆台的侧面积，即，因为圆台的上底面半径，下底面半径，所以圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选B. 7.如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【解析】选C.如图，取的中点，连接、， 则， 又因为，所以，， 即，所以，． 故的取值范围为．故选C. 8.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（ ） A B. C. D. ( C )【解析】D如图，设AB=a,图②中水面高为h1,水位在DE，显然DE//AB, ( D E ) ( h-h 1 )所以=,解得DE=,所以梯形ABED的面积为ah-, ( h 1 )由直棱柱的体积公式得ah×16=(ah-)×18， ( A B )整理得9h12-18hh1+8h2=0,即(3h1-2h)(3h1-4h)=0,所以h1=h，h1=h（舍去）. 故选D. 二、多项选择题：本题共3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填在上面表格上. 9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，真命题是 （ ） A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 【解析】选ABC因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故B正确，D不正确，例如底面是一个等腰梯形时,如图，顶点在底面的射影O到各边的距离不一定相等，所以四棱锥各个侧面与底面所成二面角的正切值不一定相等，结论就不成立. ( O )故选ABC. 10．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于A：若 ，则，故，所以A正确； 对于B：若，则，所以B正确； 对于C：设 ，， 则 ，故 ，所以C正确； 对于D：如下图所示，若 ，，则，，故 ， 所以D错误. 故选ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是 （ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为9π C. 点C到平面AEF的距离为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 【解析】如图，对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面， 又平面，，若，又， 平面，平面，又平面，则， 但正方形中，对角线互相垂直，是中点，不可能有，则A错误； 对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则，又底面，则底面，又底面，则，则， 又可得，则即为三棱锥外接球的球心， 又，则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确； 对于C，连接，，则， 则，则，，底面， 设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确； 对于D，连接，易得，则，又， 则平面AEF截正方体所得截面即为等腰梯形，， 则等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确.故选BCD. 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分. 12．已知，则的虚部是_______． 【解析】由题意化简得，故，故z的虚部是. 答案： 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 . 【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类： 一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上. 在面AA1B1B上，交线为圆弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则. 同理，所以，故圆弧EF的长为，此圆弧共有三条； 在面BB1C1C上，交线为圆弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以圆弧FG的长为，此圆弧也有三条.于是，所得的曲线长为. 答案： 14.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，则其体积为 ， 若一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为__________. （第1空2分，第2空3分） 【解析】正三棱柱的体积，如图，要求最短路线长，可以看成两个正三棱柱都沿剪开拼接,所以最短路线为. ( A A 1 ) ( B A C A 1 B 1 C 1 ) 答案：2,10 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. （1）证明：因为，为的中点，故， 因为平面平面，平面平面，故平面. （2）解：由，，得，. 故. 16．（15分）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 【解析】(1)由z1为纯虚数，得解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 17．（15分）如图，四棱锥中，平面，E为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【证明】（1）⸪平面，平面， ⸫， 又， 平面，又平面,⸫. （2）如图，设，连接,在中，, ⸫F为AC的中点， ⸪E为PC的中点， ⸫，EF平面BDE，PA平面BDE， ⸫PA//平面BDE. 18.（17分）如图，在平行四边形ABCD中，，，，E为CD中点，，． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 【解析】（1）在平行四边形中，，，，建立如图平面直角坐标系， 则，，，，得， 为的中点，故， ，故， ，， ，， 所以，解得. (2)由（1）可知，，，， 所以，， 得，相应抛物线的对称轴为． ，当时，的最大值为， 当时，最小值为，所以． 19.（17分） 如图，在三棱锥中，底面，，、分别是和的中点，为上一点，且，． （1）求证：平面； （2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比． 【解析】（1）∵平面，且平面， ∴平面平面，且相交于. 在△中，∵，是边上的中线， ∴．∴平面. ∵平面，∴. 利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面. 在△和△中，设，则， ∴，，， ∵，， ∵，∴△～△， ∵，∴， ∴．∵， 利用相似三角形的性质，得到， ∴， ∵，∴平面． （2）∵， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴截面分棱锥为两部分，三棱锥与四棱锥的体积之比为1：2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$