第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》章末综合检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B A C B B D AD BD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 复数，则，， 所以，得的虚部为. 2. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为，所以，又，， 所以，解得. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 【解析】B 因为， 由正弦定理，可得， 又因为，所以，故，所以. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题意，在上的投影向量为. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【解析】C 因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【解析】B 因为，所以， 故. 7. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】B 因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形. 8. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数纯虚数，则 D. 若为复数，则为实数 【解析】AD A：，故A正确； B：对于复数的虚部为，故B错误； C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误； D：设复数()，则，所以，故D正确. 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【解析】BD 由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确. 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 【解析】ACD 对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______. 【解析】由题意，，故，在复平面上对应的点分别为，故. 13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 【解析】由，得， 即，因为，所以， 因为，所以， 由，两边平方， 所以，则. 14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________． 【解析】因为 三点共线，且，点是边的中点， 所以存在实数x满足， 又因为三点共线，所以， 所以，而， 且， 所以 . 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当m取何值时，z为纯虚数？ （2）当时，求的值． 【解析】（1）若为纯虚数，则，解得. （2）当时，， 所以， 所以. 16. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）设的夹角为，则. （3）由，得， 由向量与互相垂直得，， 所以， 化简得，解得. 17. 在中，内角所对的边分别为．已知． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【解析】（1）由，结合正弦定理， 得， 即， 即， 即， 因为，所以，即． （2）因为，所以． 利用正弦定理得． 而， 故的面积为． 18. 邳州市沙沟湖水杉公园为了更好的服务游客，对赏柳观光区进行改造升级．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值； （2）如图2，拟在观光区规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值． 【解析】（1）因为，，所以， 又，设，， 在中，由正弦定理得，， 所以，， 所以的周长为，. 化简得. 所以当时，的周长有最大值米. (2)因为图2中与图1中面积相等， 而在中，因为，，，所以. 由余弦定理得，， 所以，，， 所以平方米. 当且仅当时等号成立， 所以花圃面积的最大值为平方米. 19. 已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. （1）求的值； （2）设， ①用来表示与； ②求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以； （2）①因为， 所以 ， 因为， 所以，所以； ②因为，， 所以 ， 设，则， 因为，所以，所以， 即， 由，得， 所以， 所以. ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《平面向量及其应用》第七章《复数》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数纯虚数，则 D. 若为复数，则为实数 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______. 13. 在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________. 14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）当m取何值时，z为纯虚数？ （2）当时，求的值． 16. 已知向量. （1）求； （2）设的夹角为，求的值； （3）若向量与互相垂直，求的值. 17. 在中，内角所对的边分别为．已知． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 18. 邳州市沙沟湖水杉公园为了更好的服务游客，对赏柳观光区进行改造升级．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值； （2）如图2，拟在观光区规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点在半径上，且，求花圃面积的最大值． 19. 已知是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点. （1）求的值； （2）设， ①用来表示与； ②求的取值范围. ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$