2025年辽宁省铁岭市开原市中考二模数学试题

九 年 级 质 量 监 测 数 学 试 卷 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求) 1.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为 ( ) 2. 在-3、 - 、 0、 这四个数中，最小的数为 ( ) A. - 3 B. C. 0 D. 3.为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力.某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛.下面是根据9位评委给某位选手的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 ( ) A.平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4.某幼儿园附近道路对汽车的限速标志如图所示，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h.设汽车的速度为 vkm/h，则v与30之间的大小关系为 ( ) A. v<30 B. v≤30 C. v>30 D. v≥30 5.下列运算正确的是 ( ) 6. 如图,OA、OB为⊙O的半径, 过点B作 BC⊥OA于点D, 交⊙O于点C, 连结AC. 若∠ACB=35° , 则∠CBO的大小为 ( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 九年数学质量监测 第 1 页 共 6页 学科网（北京）股份有限公司 7.古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步.问人与车各几何?其大意是：每车坐 5人，2车空出来；每车坐 3 人，多出 10人无车坐.问人数和车数各多少?设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为 ( ) 8.如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度, 且点A, C, D在同一直线上, BD⊥AC,若测得AC=200m,则塔高BD是 ( ) A. 200tanαm C. 100tanαm D. 100sinαm 9. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, 以点A 为圆心,适当长为半径画圆弧,分别交AC、AB于点M、N，再分别以点 M、N为圆心，大于 MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB 上，连结DE.则下列结论错误的是 ( ) A. AM=AN B. 连结 PM、PN, 根据SAS 可判定△AMP≌△ANP C. ∠CAD=∠BAD D. DE的最小值是DC 的长 10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上，点A、点C在函数 的图象上，延长CB 交y轴于点 D(0，-2).若点B的横坐标为4，则k的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 因式分解： 12. 某公司运用5G 技术, 下载一个2.4M 的文件大约需要0.000048秒, 将数字0.000048用科学记数法表示为 △ . 13.如图，若随机闭合开关S₁，S₂，S₃中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为 △ . 九年数学质量监测 第 2 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A，B，点B 的坐标为(3，0), 若点C(2,3)在抛物线上, 则AB的长为 ▲ . 5.如图,在矩形ABCD中, 点F为边BC上一点， , 以点A 为圆心,AB长为半径的圆交 AD 于点 E，点P为 上运动，则 的最小值为 ▲ . 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 5. (10分) (1)解不等式 并将其解集在数轴上表示出来. (2) 化简: 7. (8分)甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为 工作期间需同时排水，乙池的排水速度是 若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍. (1)求甲池的排水速度. (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于 那么最多可以排水几小时? 8. (8分)某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了 5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组(阅读)的学生人数； (3)学校计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率. 九年数学质量监测 第 3 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 19. (8分)某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元.某农户日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系，部分图像如图所示，设该水果的日销售利润为w元. (1)分别求出y与x，w与x之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)； (2)若该水果的日销售量不低于 90 千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大?最大利润是多少元? 20. (8分)法门寺地处陕西省宝鸡市的法门镇，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地.小明想利用刚学过的测量知识来测量法门寺塔的高度.一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到这座塔前，但他们无法到达塔的底部B.如图，小明先在塔前方的点 C处用侧倾器测得塔顶端A的仰角为 然后，他沿BC方向前进65米至塔的影子顶端E处.此时，测得小明的影长为5.4米.已知小明的身高为1.8米，测倾器的高度CD为1.5米，且. 求这座宝塔的高度AB. (参考数据： 21. (8分)如图,在 Rt△ABC中,∠B=90°, O为AC上一点, 作半圆O切BC于点D, 交AB于点 E, 连接AD. (1) 求证: ∠BAD=∠CAD; (2) 若半圆O的半径为5, AE=6, 求OC的长. 九年数学质量监测 第 4 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 22.(12分)2 【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，△ABC是等腰直角三角形, ∠BAC=90°, AB=AC、∠DAE=45°, 求证: 小智是这样思考的,如图②把△ABD沿AD折叠至△ADG,连接GE,易证△AEG≌△AEC,所以BD=DG, GE=EC, ∠DGE=∠ABD+∠ACB=90° , 在 Rt△DEG中由勾股定理得: 所以有 小慧是这样思考的,如图③把△ABD 绕点A 旋转至△ACF,连接EF,易证△ADE≌△AFE,所以 BD=CF, DE=EF, ∠ECF=∠ACF+∠ACB=90°, 在 Rt△ECF 中由勾股定理得: 所以有 【问题迁移】 Rt△AEF的直角顶点E在菱形ABCD 的对角线BD上运动,斜边 AF交BD于G点,且∠BAD=2∠EAF; ①如图1, 当∠BAD=90° , AB =6 , BG=3, 则EG的值为 ▲ . 如图2, 当∠BAD=120° , AB =4 , BG=2, 则EG 的值为 ▲ . 【问题拓展】 ②如图3,在矩形ABCD中, ∠MAN=45°, 当CM=CN时, 求证: ③如图4,在矩形ABCD中, 请直接写出线段ND、NK、MB 的数量关系. 九年数学质量监测 第 5 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 23. (13分)随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作. 如：根据指令[θ°，S]，机器人能在平面内完成下列动作： 先原地顺时针旋转 ，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离S(其中( 如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对y轴的正方向，根据指令 “创创”到达点A. (1) 点A 的坐标为 △ ; (2)若“创创”根据第二个指令 S]完成动作后恰好在x轴上. ①若 则 ②若 求θ的值. (3)若“创创”根据第二个指令 完成动作，另一机器人“新新”在y 轴负半轴的点 P 处，面对y轴的正方向，根据指令 完成动作，其中 且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，求OP 的最大值. 九年数学质量监测 第 6 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年数学参考答案 1、 选择题 1~~5 C A C B D 6~~10 A A C B C 2、 填空题 11. 2n(n=3)(n-3) 12. 4.8×10-5 13. 14.4 15. 3、 解答题 16.（1）解：7≤1x， 去分母，得：3（5x﹣3）﹣42≤6﹣4x，------------2分 去括号，得：15x﹣9﹣42≤6﹣4x， 移项及合并同类项，得：19x≤57， 系数化为1，得：x≤3，---------------------------------------4分 将这个不等式的解集在数轴上表示如下， ．-------------------5分 （2）解： • ---------------------------7分 • ------------------------8分 ．-------------------------------10分 17.解：（1）设甲池的排水速度是x m3/h． 根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），-------------------------2分 解得x＝4， 答：甲池的排水速度是4m3/h．--------------------------------4分 （2）设排水t小时． 根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，---------------------6分 解得t≤4， 答：最多可以排水4小时．------------------------------------8分 18.解：（1）此次调查一共随机抽取学生人数为：100÷25%＝400（名）， A组的人数：400×15%＝60（名）， C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名）；---------------------2分 补全条形统计图如图所示；（补图略）--------------------3分 （2）2800980（名）， 答：参加D组（阅读）的学生人数约为980名；-------------------------------5分 （3）画树状图如下： 所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）=． 答：恰好抽中甲、乙两人的概率为.-----------------------------8分 19. 解：（1）设一次函数的解析式为 y=kx+b, 将点（30，100），（40，80），代入y=kx+b, ∴， ∴， ∴函数解析式为 y=-2x+160（20＜x≤50）；--------------2分 W=（x-20）（-2x+160）=-2x2+200x-3200（20＜x≤50）； ∴ y=-2x+160（20＜x≤50），W==-2x2+200x-3200（20＜x≤50）.----------------4分 （2）W=-2x2+200x-3200=-2（x-50）2+1800（20＜x≤50） 由题意可知y≥90，即-2x+160≥90， 解得：x≤35 又∵20＜x≤50 ∴20＜x≤35， ∴W=-2（x-50）2+1800（20＜x≤35）-------------------------------6分 ∵-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为：直线x=50 ∴当x＜50是，W随x的增大而增大， ∴当x=35时，W最大=-2（35-50）2+1800=1350． 答：当销售单价为35时，商场每月获得利润最大，最大利润是1350元．-------8分 20.解：如图： 由题意得：CD＝BF＝1.5米，BC＝CD，CE＝65米， 设BC＝CD＝x米，则BE＝BC+CE＝（x+65）米， 在Rt△ADF中，∠ADF＝26.6°， ∴AF＝DF•tan26.6°≈0.5x（米）， ∴AB＝AF+BF＝（0.5x+1.5）米，----------------------3分 由题意得：， 即，---------3分 解得：x＝121， 经检验：x＝121是原方程的根， ∴AB＝0.5x+1.5＝62（米）， ∴这座宝塔的高度AB约为62米．-------------------8分 21.解：（1）证明：如图1连接OD， ∵BC与O相切于点D， ∴OD⊥BC ∴∠ODC＝90°， ∵∠B＝90°， ∴OD∥AB， ∴∠ODA＝∠BAD，------------------------------2分 ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴∠BAD＝∠CAD；------------------------------4分 （2）如图1，过点O作OF⊥AE于F， ∴AFAE，---------5分 ∵OD∥AB， ∴∠OAF＝∠COD， ∴cos∠OAF＝cos∠COD，即， ∴，---------------------------7分 解得CO＝， 即CO长为．--------------------8分 22.【问题迁移】①5，；--------------------4分 【问题拓展】②证明：如图3所示，延长AD、MN交于点G，将△ANG顺时针旋转90°至△AKJ， 易知△ANG≌△AKJ，连接KM、JM． ∵CM＝CN， ∴∠NMC＝∠MNC＝45°＝∠DNG＝∠G， ∴DN＝DG，∠AJK＝∠G＝45°． 又BJ＝AJ﹣AB＝AG﹣CD ＝AD+DG﹣CD ＝AD+DG﹣（DN+NC） ＝AD﹣NC ＝BC﹣CM＝BM， 即BJ＝BM， ∴∠BJM＝45°， 从而∠KJM＝90°， 易证△AMK≌△AMN， ∴MN＝MK，--------------------------------7分 在Rt△KMJ中，由勾股定理得KM2＝KJ2+JM2， 即KM2＝NG2+（）2＝（）2+（）2＝2DN2+2BM2， 又∵MN2＝2CM2， ∴2CM2＝2DN2+2BM2，即CM2＝DN2+BM2，-------------------------10分 ③NKBM+DN．-------------------------12分 23.（1）（3，3）---------------2分 解：（2）① 6；------------------------4分 ②根据题意可知：“创创”根据第二个指令[θ°，S]完成动作后，可在点F的两侧， i）点B在点F的右侧时，如图3，当S＝2时，AB＝2， ∵cos∠BAF， ∴∠BAF＝30°， ∴θ＝180﹣45﹣30＝105；------------------------7分 ii）点B在点F的左侧时，同理可得：θ＝165； 综上，θ的值是105或165；---------------------8分 （3）由题意得：机器人“新新”的行进轨迹是：线段PM（tan∠OPM＝2，PM＝5）， ∵“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点，且OP要取最大值， ∴线段PM所在的直线与以点A为圆心，以2为半径的圆（不含端点）相切，切点是Q， ∴∠AQP＝90°， 如图4，连接AQ，过点Q作EF⊥x轴，过点A作AE⊥EF于E，过点P作PF⊥EF于F， ∴EF∥y轴， ∴∠OPQ＝∠PQF， ∵∠AQP＝∠AQE+∠PQF＝90°，∠EAQ+∠AQE＝90°， ∴∠PQF＝∠EAQ＝∠OPQ， ∴tan∠EAQ＝tan∠OPQ＝tan∠PQF＝2， ∴2， ∴EQ＝2AE，PF＝2FQ， ∵AQ＝2， ∴AE＝2，EQ＝4， ∴PF＝2+3＝5， ∴FQPF， ∴EF＝PD＝4， 此时OP＝PD﹣OD＝EF﹣OD3， ∴OP的最大值是．-------------------------------------------13分 4 学科网（北京）股份有限公司 $$