专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B．5 C．2 D．不存在 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知是一个整数的平方，则满足要求的正整数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）如果方程，那么（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·山东济宁·期末）现有一列数：，，，，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． 2、 C． D． 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程，方程的所有的实数根的和为 ． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知关于的方程的解是，，应用此结论解方程：的解为 ． 15．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 16．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 18．（22-23八年级上·四川成都·期末）对于每个非零自然数n，x轴上有，两点，以表示这两点间的距离，其中x、y是方程组的解，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）解方程 （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（2019·河北石家庄·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 23．（本小题满分10分）（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组； （3）已知、、为实数，，，，求分式的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.9 分式方程（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． 根据分式方程的解法解答即可． 解：方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 检验：当时，， 是原方程的解， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B．5 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根．解题的关键在于正确的解分式方程；先把分式方程化成整式方程，再解整式方程表示出x的值，根据方程有增根得出最简公分母，然后代入整式方程，解出m的值即可得出答案. 解：， 方程两边都乘，得 ， 原分式方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 故选：B 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知是一个整数的平方，则满足要求的正整数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、一元一次方程的应用，理解题意，根据当时，当时，当时，当时，分别进行计算即可得到答案，得出一元一次方程是解此题的关键． 解：是一个整数的平方，为正整数， ， ，, 当时，解得：，符合题意； 当时，解得：，符合题意； 当时，解得：，符合题意； 当时，解得：，不符合题意； 综上所述，满足要求的正整数的为10，16，18，共3个， 故选：C． 5．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）如果方程，那么（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，可得出，再代入中，整理可得，最后等式两边同时除以n，即可得． 解：∵， ∴． 将代入，得：， ∴ 整理，得：， 等式两边同时除以n，得． 故选B． 【点拨】本题主要考查代数式求值，等式的性质．利用整体代入得思想是解题关键． 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可． 解：由题意，得：无解， 方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 8．（22-23八年级上·山东济宁·期末）现有一列数：，，，，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，通过计算，，，，并观察规律得到是解题的关键． 根据条件， ，， ，求出，，， 由此得出，根据，化简在解方程即可求出n的值． 解：， ，， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ， 故选：C． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、解分式方程必须检验是解题的关键． 按照解分式方程的步骤逐步判断即可． 解： 两边同乘以最简公分母得： 得到整式方程为，解得， 检验：当时，， 所以该分式方程无解，即④错误． 故选：D． 10．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，列出方程即可． 解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，由题意，得： ； 故选A． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 先解关于x的方程可得，再根据方程的解x为非负数可得且，然后进行计算即可解答． 解：， 去分母得： 解得 ∵分母 ，即 ，代入解得：， ∴， 又∵关于x的方程解为非负数，即， ∴， ∴. 综上， 的取值范围是 且 。 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程，方程的所有的实数根的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．求出原分式方程的根，再求和即可． 解：由， 得， 去分母，得， 整理，得， 解得． 经检验：是原分式方程的根， ∴方程的所有的实数根的和为． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 14．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知关于的方程的解是，，应用此结论解方程：的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．观察阅读材料中解方程的过程，归纳总结得到结果．弄清题中的规律是解本题的关键． 解：把方程变形为， 关于的方程的解是，， 方程的解是或， 即，， 故答案为：，． 15．（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 16．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查根据分式方程的解求参数，先去分母解方程求出得，根据分式方程的解为负数，得到，且，，即可求出答案． 解：原式去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且，， ∴且， 故答案为：且． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【答案】1230 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 18．（22-23八年级上·四川成都·期末）对于每个非零自然数n，x轴上有，两点，以表示这两点间的距离，其中x、y是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题． 解：（1）解： 方程两边同乘，得 ， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 20．（本小题满分8分）（2019·河北石家庄·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 解：（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】（1）款施肥无人机有架，款施肥无人机有架；（2）每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 解：（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 解：（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 23．（本小题满分10分）（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）；（2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 解：（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） （2）①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元）    选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组； （3）已知、、为实数，，，，求分式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的求值，解分式方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 解：（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 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