专题5.2 分式的乘除（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.2 分式的乘除（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【特别提示】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【知识点二】分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 【特别提示】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点与题型目录 【题型1】分式乘法...................................................................2 【题型2】分式除法...................................................................2 【题型3】分式乘除混合运算...........................................................2 【题型4】分式乘方...................................................................3 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...................................................3 【题型6】链接中考...................................................................3 【题型7】拓展延伸...................................................................3 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式乘法 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·山东济南·期中）若，则代数式的值是 ． 【题型2】分式除法 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024·山西朔州·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是 ． 【题型3】分式乘除混合运算 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 【题型4】分式乘方 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业） （1）计算：. （2）化简：. 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式1】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）计算 ． 【题型6】链接中考 【例1】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东济南·一模）的结果为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【例2】（22-23九年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 分式的乘除（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【特别提示】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【知识点二】分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 【特别提示】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点与题型目录 【题型1】分式乘法...................................................................2 【题型2】分式除法...................................................................3 【题型3】分式乘除混合运算...........................................................4 【题型4】分式乘方...................................................................5 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...................................................7 【题型6】链接中考...................................................................8 【题型7】拓展延伸...................................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式乘法 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）（2）原式约分即可得到结果； 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ； 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘法法则进行计算即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·山东济南·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 解：原式 ． 当时．原式． 故答案为：4． 【点拨】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【题型2】分式除法 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024·山西朔州·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法运算，先将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质约分，即可求解． 解： 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 解： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 【题型3】分式乘除混合运算 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解； （2）运用乘法公式，分式的性质进行化简即可求解． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【点拨】本题主要考查分式的乘除运算，正确约分是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除即可． 解： 故答案为： 【点拨】本题综合考查分式的乘除和乘方运算．熟记相关运算法则即可． 【题型4】分式乘方 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业） （1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 解：（1）原式 ； （2）原式 . 【点拨】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 解：， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法与乘方运算，负整数指数幂等知识，熟练掌握这些知识是关键；先计算乘方，再计算除法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 解：； 故答案为：． 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）13；（2）2 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方，再进行加减计算； （2）先计算乘方，再计算乘法． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）计算 ． 【答案】－1 【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可． 解： ． 故答案为：． 【题型6】链接中考 【例1】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 解：， 故选：A． 【点拨】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 【例2】（2025·山东济南·一模）的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 把分子分母因式分解，然后约分即可． 解： ． 故答案为：． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 【例2】（22-23九年级下·重庆万州·期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点拨】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$